Función divisora

En matemáticas , y específicamente en teoría de números , una función divisora ​​es una función aritmética relacionada con los divisores de un número entero . Cuando se la denomina función divisora, cuenta la cantidad de divisores de un número entero (incluyendo el 1 y el propio número). Aparece en varias identidades notables, incluyendo relaciones en la función zeta de Riemann y la serie de Eisenstein de formas modulares . Las funciones divisoras fueron estudiadas por Ramanujan , quien proporcionó varias congruencias e identidades importantes ; estas se tratan por separado en el artículo «La suma de Ramanujan» .

Una función relacionada es la función sumatoria del divisor , que, como su nombre indica, es una suma sobre la función divisor.

La función suma de divisores positivos σ _z ( n ), para un número real o complejo z , se define como la suma de las potencias z -ésimas de los divisores positivos de n . Se puede expresar en notación sigma como

${\displaystyle \sigma _{z}(n)=\sum _{d\mid n}d^{z}\,\!,}$

dónde${\displaystyle {d\mid n}}$es una abreviatura de " d divide a n ". Las notaciones d ( n ), ν ( n ) y τ ( n ) (para el alemán Teiler = divisores) también se utilizan para denotar σ ₀ ( n ), o la función número de divisores ^{[ 1 ] [ 2 ]} ( OEIS : A000005  ). Cuando z es 1, la función se llama función sigma o función suma de divisores , ^{[ 1 ] [ 3 ]} y el subíndice a menudo se omite, por lo que σ ( n ) es lo mismo que σ ₁ ( n ) ( OEIS : A000203  ).

La suma de alícuotas s ( n ) de n es la suma de los divisores propios (es decir, los divisores excluyendo a n mismo, OEIS : A001065  ), y es igual a σ ₁ ( n ) − n ; la secuencia de alícuotas de n se forma aplicando repetidamente la función de suma de alícuotas.  

Por ejemplo, σ ₀ (12) es el número de divisores de 12:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{0}(12)&=1^{0}+2^{0}+3^{0}+4^{0}+6^{0}+12^{0}\\&=1+1+1+1+1+1=6,\end{aligned}}}$

mientras que σ ₁ (12) es la suma de todos los divisores:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{1}(12)&=1^{1}+2^{1}+3^{1}+4^{1}+6^{1}+12^{1}\\&=1+2+3+4+6+12=28,\end{aligned}}}$

y la suma alícuota s(12) de divisores propios es:

${\displaystyle {\begin{aligned}s(12)&=1^{1}+2^{1}+3^{1}+4^{1}+6^{1}\\&=1+2+3+4+6=16.\end{aligned}}}$

σ ₋₁ ( n ) a veces se denomina índice de abundancia de n , y tenemos:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{-1}(12)&=1^{-1}+2^{-1}+3^{-1}+4^{-1}+6^{-1}+12^{-1}\\[6pt]&={\tfrac {1}{1}}+{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{3}}+{\tfrac {1}{4}}+{\tfrac {1}{6}}+{\tfrac {1}{12}}\\[6pt]&={\tfrac {12}{12}}+{\tfrac {6}{12}}+{\tfrac {4}{12}}+{\tfrac {3}{12}}+{\tfrac {2}{12}}+{\tfrac {1}{12}}\\[6pt]&={\tfrac {12+6+4+3+2+1}{12}}={\tfrac {28}{12}}={\tfrac {7}{3}}={\tfrac {\sigma _{1}(12)}{12}}\end{aligned}}}$

Los casos x = 2 a 5 se enumeran en OEIS : A001157  a OEIS : A001160  , x = 6 a 24 se enumeran en OEIS : A013954  a OEIS : A013972  .

Dos series de Dirichlet que involucran la función divisor son: ^{[ 9 ]}

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sigma _{a}(n)}{n^{s}}}=\zeta (s)\zeta (s-a)\quad {\text{for}}\quad \Re (s)>1+\max\{\Re (a),0\},}$

dónde${\displaystyle \zeta }$es la función zeta de Riemann . La serie para d ( n )  = σ ₀ ( n ) da: ^{[ 9 ]} 

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {d(n)}{n^{s}}}=\zeta ^{2}(s)\quad {\text{for}}\quad \Re (s)>1,}$

y una identidad Ramanujan ^{[ 10 ]}

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sigma _{a}(n)\sigma _{b}(n)}{n^{s}}}={\frac {\zeta (s)\zeta (s-a)\zeta (s-b)\zeta (s-a-b)}{\zeta (2s-a-b)}},}$

que es un caso especial de la convolución de Rankin-Selberg .

Una serie de Lambert que involucra la función divisor es: ^{[ 11 ]}

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }q^{n}\sigma _{a}(n)=\sum _{n=1}^{\infty }\sum _{j=1}^{\infty }n^{a}q^{j\,n}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{a}q^{n}}{1-q^{n}}}=\sum _{n=1}^{\infty }\operatorname {Li} _{-a}(q^{n})}$

para un complejo arbitrario | q |  ≤  1 y a ( ${\displaystyle \operatorname {Li} }$es el polilogaritmo ). Esta suma también aparece como la serie de Fourier de la serie de Eisenstein y los invariantes de las funciones elípticas de Weierstrass .

Para${\displaystyle k>0}$, existe una representación explícita en serie con sumas de Ramanujan${\displaystyle c_{m}(n)}$como  : ^{[ 12 ]}

${\displaystyle \sigma _{k}(n)=\zeta (k+1)n^{k}\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {c_{m}(n)}{m^{k+1}}}.}$

El cálculo de los primeros términos de${\displaystyle c_{m}(n)}$muestra sus oscilaciones alrededor del "valor promedio"${\displaystyle \zeta (k+1)n^{k}}$:

${\displaystyle \sigma _{k}(n)=\zeta (k+1)n^{k}\left[1+{\frac {(-1)^{n}}{2^{k+1}}}+{\frac {2\cos {\frac {2\pi n}{3}}}{3^{k+1}}}+{\frac {2\cos {\frac {\pi n}{2}}}{4^{k+1}}}+\cdots \right]}$

En notación de o minúscula , la función divisora ​​satisface la desigualdad: ^{[ 13 ] [ 14 ]}

${\displaystyle {\mbox{for all }}\varepsilon >0,\quad d(n)=o(n^{\varepsilon }).}$

Más precisamente, Severin Wigert demostró que: ^{[ 14 ]}

${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }{\frac {\log d(n)}{\log n/\log \log n}}=\log 2,}$

abordado por${\displaystyle n}$tomando los primordios desde

${\displaystyle p_{k}\#=e^{(1+o(1))k\log k}.}$^{[ 15 ]}

Por otro lado, dado que hay infinitos números primos , ^{[ 14 ]}

${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }d(n)=2.}$

En notación Big-O , Peter Gustav Lejeune Dirichlet demostró que el orden promedio de la función divisor satisface la siguiente desigualdad: ^{[ 16 ] [ 17 ]}

${\displaystyle {\mbox{for all }}x\geq 1,\sum _{n\leq x}d(n)=x\log x+(2\gamma -1)x+O({\sqrt {x}}),}$

dónde${\displaystyle \gamma }$es la constante gamma de Euler . Mejorando el límite${\displaystyle O({\sqrt {x}})}$en esta fórmula se conoce como el problema del divisor de Dirichlet .

El comportamiento de la función sigma es irregular. La tasa de crecimiento asintótico de la función sigma se puede expresar mediante: ^{[ 18 ]}

${\displaystyle \limsup _{n\rightarrow \infty }{\frac {\sigma (n)}{n\,\log \log n}}=e^{\gamma },}$

donde lim sup es el límite superior . Este resultado es el teorema de Grönwall , publicado en 1913 ( Grönwall 1913 ) . Su demostración utiliza el tercer teorema de Mertens , que dice que:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{\log n}}\prod _{p\leq n}{\frac {p}{p-1}}=e^{\gamma },}$

donde p denota un número primo. Grönwall también demostró que

${\displaystyle \limsup _{n\rightarrow \infty }{\frac {\sigma _{a}(n)}{n^{a}}}=\zeta (a),\quad a>1,}$

dónde${\displaystyle \zeta }$es la función zeta de Riemann .

En 1915, Ramanujan demostró que bajo el supuesto de la hipótesis de Riemann , la desigualdad de Robin

${\displaystyle \ \sigma (n)<e^{\gamma }n\log \log n}$(donde γ es la constante de Euler-Mascheroni )

se cumple para todo n suficientemente grande ( Ramanujan 1997 ) . El mayor valor conocido que viola la desigualdad es n = 5040. [ ^{19 ] En} 1984, Guy Robin demostró que la desigualdad es verdadera para todo n > 5040 si y solo si la hipótesis de Riemann es verdadera ( Robin 1984 ) . Este es el teorema de Robin y la desigualdad se conoció después de él. Robin demostró además que si la hipótesis de Riemann es falsa, entonces hay un número infinito de valores de n que violan la desigualdad, y se sabe que el más pequeño de tales n > 5040 debe ser superabundante ( Akbary y Friggstad 2009 ) . Se ha demostrado que la desigualdad se cumple para enteros grandes impares y libres de cuadrados, y que la hipótesis de Riemann es equivalente a la desigualdad solo para n divisible por la quinta potencia de un primo ( Choie et al. 2007 ) .

Robin también demostró, incondicionalmente, que la desigualdad:

${\displaystyle \ \sigma (n)<e^{\gamma }n\log \log n+{\frac {0.6483\ n}{\log \log n}}}$

se cumple para todo n ≥ 3.

Jeffrey Lagarias dio una cota relacionada en 2002, demostrando que la hipótesis de Riemann es equivalente a la afirmación de que:

${\displaystyle \sigma (n)<H_{n}+e^{H_{n}}\log(H_{n})}$

para cada número natural n > 1, donde${\displaystyle H_{n}}$es el n -ésimo número armónico , ( Lagarias 2002 ) .

• Convoluciones de suma de divisores , enumera algunas identidades que involucran las funciones divisores.
• Función totiente de Euler , función phi de Euler
• Número refactorizable
• Tabla de divisores
• Divisor unitario

• Akbary, Amir; Friggstad, Zachary (2009), "Números superabundantes y la hipótesis de Riemann" (PDF) , American Mathematical Monthly , 116 (3): 273–275 , doi : 10.4169/193009709X470128 , archivado del original (PDF) el 11 de abril de 2014..
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• Evaluación elemental de ciertas sumas de convolución que involucran funciones divisorias. PDF de un artículo de Huard, Ou, Spearman y Williams. Contiene demostraciones elementales (es decir, que no se basan en la teoría de formas modulares) de convoluciones de sumas de divisores, fórmulas para el número de maneras de representar un número como suma de números triangulares y resultados relacionados.