Teorema de Rokhlin

En topología de 4 dimensiones, una rama de las matemáticas, el teorema de Rokhlin establece que si una 4- variedad M suave , orientable y cerrada tiene una estructura de espín (equivalentemente, si la segunda clase de Stiefel-Whitney)${\displaystyle w_{2}(M)}$se desvanece), entonces la signatura de su forma de intersección , una forma cuadrática en el segundo grupo de cohomología${\displaystyle H^{2}(M)}$, es divisible por 16. El teorema lleva el nombre de Vladimir Rokhlin , quien lo demostró en 1952.

• La forma de intersección en M

${\displaystyle Q_{M}\colon H^{2}(M,\mathbb {Z} )\times H^{2}(M,\mathbb {Z} )\rightarrow \mathbb {Z} }$

es unimodular en${\displaystyle \mathbb {Z} }$por la dualidad de Poincaré y la desaparición de${\displaystyle w_{2}(M)}$implica que la forma de intersección es par. Según un teorema de Cahit Arf , cualquier retículo unimodular par tiene signatura divisible por 8, por lo que el teorema de Rokhlin obliga a añadir un factor extra de 2 para dividir la signatura.

• Una superficie K3 es compacta, de 4 dimensiones y${\displaystyle w_{2}(M)}$desaparece, y la signatura es − 16, por lo que 16 es el mejor número posible en el teorema de Rokhlin.
• Una superficie compleja en${\displaystyle \mathbb {CP} ^{3}}$de grado${\displaystyle d}$es giro si y solo si${\displaystyle d}$es uniforme. Tiene firma${\displaystyle (4-d^{2})d/3}$, lo cual se puede observar en el teorema de la signatura de Friedrich Hirzebruch . El caso${\displaystyle d=4}$devuelve el último ejemplo de una superficie K3 .
• La variedad E8 de Michael Freedman es una variedad topológica compacta simplemente conexa con ceros evanescentes.${\displaystyle w_{2}(M)}$y forma de intersección${\displaystyle E_{8}}$de signatura 8. El teorema de Rokhlin implica que esta variedad no tiene estructura suave . Esta variedad muestra que el teorema de Rokhlin falla para el conjunto de variedades meramente topológicas (en lugar de suaves).
• Si la variedad M es simplemente conexa (o más generalmente si el primer grupo de homología no tiene 2-torsión), entonces la desaparición de${\displaystyle w_{2}(M)}$es equivalente a que la forma de intersección sea par. Esto no es cierto en general: una superficie de Enriques es una variedad compacta lisa de 4 dimensiones y tiene forma de intersección par II _1,9 de signatura − 8 (no divisible por 16), pero la clase${\displaystyle w_{2}(M)}$no se desvanece y está representada por un elemento de torsión en el segundo grupo de cohomología.

El teorema de Rokhlin se puede deducir del hecho de que el tercer grupo de homotopía estable de esferas${\displaystyle \pi _{3}^{S}}$es cíclico de orden 24; este es el enfoque original de Rokhlin.

También se puede deducir del teorema del índice de Atiyah-Singer . Véase género y teorema de Rochlin .

Robion Kirby ( 1989 ) ofrece una demostración geométrica. 

Dado que el teorema de Rokhlin establece que la signatura de una variedad suave de espín es divisible por 16, la definición del invariante de Rokhlin se deduce de la siguiente manera:

Para colector de 3 vías${\displaystyle N}$y una estructura de espín${\displaystyle s}$en${\displaystyle N}$, el invariante de Rokhlin${\displaystyle \mu (N,s)}$en${\displaystyle \mathbb {Z} /16\mathbb {Z} }$se define como la firma de cualquier variedad de espín 4-dimensional compacta y suave con límite de espín${\displaystyle (N,s)}$.

Si N es una variedad de espín 3, entonces delimita una variedad de espín 4 M. La signatura de M es divisible por 8, y una aplicación sencilla del teorema de Rokhlin muestra que su valor módulo 16 depende solo de N y no de la elección de M. Las 3-esferas de homología tienen una estructura de espín única , por lo que podemos definir el invariante de Rokhlin de una 3-esfera de homología como el elemento${\displaystyle \operatorname {sign} (M)/8}$de${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$, donde M es cualquier variedad de espín 4 que delimita la esfera de homología.

Por ejemplo, la esfera de homología de Poincaré delimita una variedad de espín 4 con forma de intersección.${\displaystyle E_{8}}$, por lo que su invariante de Rokhlin es 1. Este resultado tiene algunas consecuencias elementales: la esfera de homología de Poincaré no admite una incrustación suave en${\displaystyle S^{4}}$, ni tampoco delimita una variedad de Mazur .

De manera más general, si N es una variedad de espín 3 (por ejemplo, cualquier${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$Si se trata de una esfera de homología, entonces la signatura de cualquier variedad de espín 4 M con frontera N está bien definida módulo 16 y se denomina invariante de Rokhlin de N. En una variedad topológica 3 N , el invariante de Rokhlin generalizado se refiere a la función cuyo dominio son las estructuras de espín en N y que se evalúa como el invariante de Rokhlin del par.${\displaystyle (N,s)}$donde s es una estructura de espín en N.

El invariante de Rokhlin de M es igual a la mitad del invariante de Casson módulo 2. El invariante de Casson se considera como la elevación con valores Z del invariante de Rokhlin de la 3-esfera de homología integral.

El teorema de Kervaire-Milnor ( Kervaire y Milnor, 1960 ) establece que si${\displaystyle \Sigma }$es una esfera característica en una 4-variedad compacta y lisa M , entonces

${\displaystyle \operatorname {signature} (M)=\Sigma \cdot \Sigma {\bmod {1}}6}$.

Una esfera característica es una 2-esfera incrustada cuya clase de homología representa la clase de Stiefel-Whitney.${\displaystyle w_{2}(M)}$. Si${\displaystyle w_{2}(M)}$desaparece, podemos tomar${\displaystyle \Sigma }$sea ​​cualquier esfera pequeña, que tiene número de autointersección 0, por lo que se deduce el teorema de Rokhlin.

El teorema de Freedman-Kirby ( Freedman y Kirby, 1978 ) establece que si${\displaystyle \Sigma }$es una superficie característica en una variedad compacta y lisa de 4 dimensiones M , entonces

${\displaystyle \operatorname {signature} (M)=\Sigma \cdot \Sigma +8\operatorname {Arf} (M,\Sigma ){\bmod {1}}6}$.

dónde${\displaystyle \operatorname {Arf} (M,\Sigma )}$es el invariante Arf de cierta forma cuadrática en${\displaystyle H_{1}(\Sigma,\mathbb {Z} /2\mathbb {Z})}$. Este invariante Arf es obviamente 0 si${\displaystyle \Sigma }$es una esfera, por lo que el teorema de Kervaire-Milnor es un caso especial.

Una generalización del teorema de Freedman-Kirby a variedades topológicas (en lugar de suaves) establece que

${\displaystyle \operatorname {signature} (M)=\Sigma \cdot \Sigma +8\operatorname {Arf} (M,\Sigma )+8\operatorname {ks} (M){\bmod {1}}6}$,

dónde${\displaystyle \operatorname {ks} (M)}$es el invariante de Kirby-Siebenmann de M. El invariante de Kirby-Siebenmann de M es 0 si M es suave.

Armand Borel y Friedrich Hirzebruch demostraron el siguiente teorema: Si X es una variedad de espín compacta y lisa de dimensión divisible por 4, entonces el género  es un entero, y es par si la dimensión de X es 4 mod 8. Esto se puede deducir del teorema del índice de Atiyah-Singer : Michael Atiyah e Isadore Singer demostraron que el género  es el índice del operador de Atiyah-Singer, que siempre es entero, y es par en dimensiones 4 mod 8. Para una variedad de 4 dimensiones, el teorema de la signatura de Hirzebruch muestra que la signatura es − 8 veces el género Â, por lo que en dimensión 4 esto implica el teorema de Rokhlin.

Ochanine (1980) demostró que si X es una variedad de espín suave orientada y compacta de dimensión 4 mod 8, entonces su signatura es divisible por 16.

• Freedman, Michael ; Kirby, Robion (1978), "Una demostración geométrica del teorema de Rochlin", Topología algebraica y geométrica (Actas del Simposio de Matemáticas Puras, Universidad de Stanford, Stanford, California, 1976), Parte 2, págs.  85-97 , Actas de Simposios de Matemáticas Puras, vol.  XXXII, Providence, Rhode Island: Sociedad Matemática Americana, ISBN 0-8218-1432-X, MR 0520525 
• Kirby, Robion (1989), La topología de las 4-variedades , Lecture Notes in Mathematics, vol.  1374, Springer-Verlag, doi : 10.1007/BFb0089031 , ISBN 0-387-51148-2, MR 1001966 
• Kervaire, Michel A.; Milnor , John W. (1960), "Números de Bernoulli, grupos de homotopía y un teorema de Rohlin", Actas del Congreso Internacional de Matemáticos, 1958 , Nueva York: Cambridge University Press , págs. 454–458 , MR 0121801  
• Kervaire, Michel A.; Milnor, John W. (1961), "Sobre 2-esferas en 4-variedades", Actas de la Academia Nacional de Ciencias , vol.  47, págs. 1651–1657 , MR 0133134  
• Matsumoto, Yoichirou (1986), Una demostración elemental del teorema de la firma de Rochlin y su extensión por Guillou y Marin (PDF)
• Michelsohn, Marie-Louise ; Lawson, H. Blaine (1989), Geometría de espín , Princeton, Nueva Jersey: Princeton University Press , ISBN 0-691-08542-0, MR 1031992 (especialmente la página 280)
• Ochanine, Serge, Signature módulo 16, invariantes de Kervaire généralisés et nombres caractéristiques dans la K-théorie réelle , Mém. Soc. Matemáticas. Francia 1980/81, núm. 5, señor 1809832 
• Rokhlin, Vladimir A. , ​​Nuevos resultados en la teoría de variedades de cuatro dimensiones , Doklady Acad. Nauk. SSSR (NS) 84 (1952) 221–224. MR 0052101 
• Scorpan, Alexandru (2005), El salvaje mundo de las 4-variedades , American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-3749-8, MR 2136212 
• Szűcs, András (2003), "Dos teoremas de Rokhlin", Journal of Mathematical Sciences , 113 (6): 888– 892, doi : 10.1023/A:1021208007146 , MR 1809832 , S2CID 117175810