Rodión Kuzmin

Rodion Osievich Kuzmin ( en ruso : Родион Осиевич Кузьмин ; 9 de noviembre de 1891, aldea de Riabye en el distrito de Haradok - 24 de marzo de 1949, Leningrado ) fue un matemático soviético , conocido por sus trabajos en teoría y análisis de números . ^[1] Su nombre a veces se transcribe como Kusmin. Fue orador invitado del ICM en 1928 en Bolonia. ^[2]

• En 1928, Kuzmin resolvió ^[3] el siguiente problema debido a Gauss (ver distribución de Gauss-Kuzmin ): si x es un número aleatorio elegido uniformemente en (0, 1), y

${\displaystyle x={\frac {1}{k_{1}+{\frac {1}{k_{2}+\cdots }}}}}$

es su expansión fraccionaria continua , encuentre un límite para

${\displaystyle \Delta _{n}(s)=\mathbb {P} \left\{x_{n}\leq s\right\}-\log _{2}(1+s),}$

dónde

${\displaystyle x_{n}={\frac {1}{k_{n+1}+{\frac {1}{k_{n+2}+\cdots }}}}.}$

Gauss demostró que Δ _n tiende a cero cuando n tiende a infinito, sin embargo, no pudo dar un límite explícito. Kuzmin demostró que

${\displaystyle |\Delta _{n}(s)|\leq Ce^{-\alpha {\sqrt {n}}}~,}$

donde C , α > 0 son constantes numéricas. En 1929, Paul Lévy mejoró  el límite a C  0,7 ⁿ .

• En 1930, Kuzmin demostró ^[4] que los números de la forma a ^b , donde a es algebraico y b es un irracional cuadrático real , son trascendentales . En particular, este resultado implica que la constante de Gelfond-Schneider

${\displaystyle 2^{\sqrt {2}}=2,6651441426902251886502972498731\ldots }$

es trascendental. Véase el teorema de Gelfond-Schneider para desarrollos posteriores.

• También es conocido por la desigualdad de Kusmin-Landau: Si es continuamente diferenciable con derivada monótona que satisface (donde denota la función entera más cercana ) en un intervalo finito , entonces${\estilo de visualización f}$${\estilo de visualización f'}$${\displaystyle \Vert f'(x)\Vert \geq \lambda >0}$${\displaystyle \Vert \cdot \Vert}$${\displaystyle I}$

${\displaystyle \sum _{n\in I}e^{2\pi si(n)}\ll \lambda ^{-1}.}$

• Rodion Kuzmin en el Proyecto de Genealogía Matemática (La cronología allí aparentemente es errónea, ya que JV Uspensky vivió en EE. UU. desde 1929.)