Fórmula de Rodrigues

En matemáticas , la fórmula de Rodrigues (antes llamada fórmula de Ivory-Jacobi ) genera los polinomios de Legendre . Fue introducida independientemente por Olinde Rodrigues ( 1816 ) , Sir James Ivory ( 1824 ) y Carl Gustav Jacobi ( 1827 ) . El nombre "fórmula de Rodrigues" fue introducido por Heine en 1878, después de que Hermite señalara en 1865 que Rodrigues fue el primero en descubrirla. El término también se utiliza para describir fórmulas similares para otros polinomios ortogonales . Askey (2005) describe la historia de la fórmula de Rodrigues en detalle.

Declaración

Dejar $(P_{n}(x))_{n=0}^{\infty }$ sea una sucesión de polinomios ortogonales en el intervalo $[a,b]$ con respecto a la función de peso $w(x)$ Es decir, tienen títulos $\deg(P_{n})=n$ , satisfacen la condición de ortogonalidad $\int _{a}^{b}P_{m}(x)P_{n}(x)w(x)\,dx=K_{n}\delta _{m,n}$ dónde $K_{n}$ son constantes distintas de cero que dependen de $n$ , y $\delta _{m,n}$ es el delta de Kronecker . El intervalo $[a,b]$ puede ser infinito en uno o ambos extremos.

Fórmula tipo Rodrigues — Si $w(x)=W(x)/B(x),\quad {\frac {W'(x)}{W(x)}}={\frac {A(x)}{B(x)}},$ dónde $A(x)$ es un polinomio con grado como máximo 1 y $B(x)$ es un polinomio de grado como máximo 2, y $\lim _{x\to a}x^{k}W(x)=0,\qquad \lim _{x\to b}x^{k}W(x)=0.$ para cualquier $k=0,1,2,\dots$ .

Entonces, si ${\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\!\left[B(x)^{n}w(x)\right]\neq 0$ a pesar de $n=0,1,2,\dots$ , entonces $P_{n}(x)={\frac {c_{n}}{w(x)}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\!\left[B(x)^{n}w(x)\right],$ para algunas constantes $c_{n}$ .

Prueba ^{[ 1 ]}

Dejar ${\textstyle F_{k}:={\frac {1}{w}}D_{x}^{k}(B^{n}w)}$ , entonces ${\textstyle F_{k}=B^{nk}p_{k}}$ a pesar de ${\textstyle k\in 0:n}$ para algunos polinomios ${\textstyle p_{k}}$ , de tal manera que ${\textstyle deg(p_{k})\leq k}$ . Probado por inducción en ${\textstyle k}$ : $F_{k+1}=B^{nk-1}(Bp_{k}'+(nk)B'p_{k}+(AB')p_{k})$

Dejar ${\textstyle Q_{n}:={\frac {1}{w}}D_{x}^{n}(B^{n}w)}$ Hemos demostrado que ${\textstyle Q_{n}}$ es un polinomio de grado $\leq n$ . Con la integración por partes, tenemos para todos ${\textstyle n>m}$ , $\int _{a}^{b}Q_{m}Q_{n}wdx=\int _{a}^{b}B^{n}w(D_{x}^{n}Q_{m})dx=0$ desde ${\textstyle D_{x}^{n}Q_{m}=0}$ . De este modo, ${\textstyle Q_{0},Q_{1},\dots }$ formar una serie polinómica ortogonal con respecto a ${\textstyle w}$ . De este modo, ${\textstyle P_{n}=c_{n}Q_{n}}$ para algunas constantes ${\textstyle c_{n}}$ .

Ecuación diferencial ^{[ 2 ]} — $B(x){\frac {d^{2}}{dx^{2}}}P_{n}(x)+A(x){\frac {d}{dx}}P_{n}(x)+\lambda _{n}P_{n}(x)=0$

$\lambda _{n}=-{\frac {1}{2}}n(n-1)B''-nA'$

Prueba ^{[ 3 ]}

Cuando $n=0$ , es trivial. Cuando $n=1$ , se simplifica a $AP_{1}'=A'P_{1}$ , lo cual es cierto ya que $P_{1}={\frac {c_{1}}{w}}(Bw)'=c_{1}A$ Así que supongamos. $n\geq 2$ . Definir $I_{n}(x)={\frac {d^{n}}{dx^{n}}}(B^{n}(x)w(x))$ , entonces mediante cálculo directo y simplificación, la ecuación que se debe demostrar es equivalente a

${\frac {d^{2}}{dx^{2}}}(B(x)I_{n}(x))-{\frac {d}{dx}}(A(x)I_{n}(x))+\lambda _{n}I_{n}(x)=0$

Por la regla de diferenciación de Leibniz, tenemos

$B(x){\frac {d^{n}}{dx^{n}}}y={\frac {d^{n}}{dx^{n}}}(B(x)y)-n{\frac {d^{n-1}}{dx^{n-1}}}(B'(x)y)+{\frac {n(n-1)}{2}}{\frac {d^{n-2}}{dx^{n-2}}}(B''y)$

$A(x){\frac {d^{n}}{dx^{n}}}y={\frac {d^{n}}{dx^{n}}}(A(x)y)-n{\frac {d^{n-1}}{dx^{n-1}}}(A'y)$

para arbitrario $y$ Esto nos permite movernos. $A(x),B(x)$ al otro lado de la $n$ -ésima derivada. Conjunto $y=B^{n}(x)w(x)$ y definir

$J(x)={\frac {d^{2}}{dx^{2}}}(B(x)y(x))-n{\frac {d}{dx}}(B'(x)y(x))+{\frac {n(n-1)}{2}}B''y(x)$

$K(x)=-{\frac {d}{dx}}(A(x)y(x))+nA'y(x)$

$L(x)=\lambda _{n}y(x)$

Entonces la ecuación se simplifica a ${\frac {d^{n}}{dx^{n}}}(J+K+L)=0$

$J(x)$ Tiene tres términos, llámelos en orden $J_{1}(x),J_{2}(x),J_{3}(x)$ . $K(x)$ tiene dos términos, llámelos en orden $K_{1}(x),K_{2}(x)$ .

$J_{3}(x)+K_{2}(x)+L(x)=(\lambda _{n}+{\frac {n(n-1)}{2}}B''+nA')y=0$ .

Eso $J_{1}(x)+J_{2}(x)+K_{1}(x)=0$ . sigue del primer escrito $J_{1}(x)$ como

$J_{1}(x)={\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\left(B^{n}(x)\int \exp \left({\frac {A(x)}{B(x)}}\right)dx\right)$

y luego tomando la primera derivada más interna para obtener

$J_{1}(x)={\frac {d}{dx}}\left[{\bigg (}nB'(x)B^{n-1}(x)+A(x)B^{n-1}(x){\bigg )}\int \exp \left({\frac {A(x)}{B(x)}}\right)dx\right]$

y luego reescribiendo esto como

$J_{1}(x)={\frac {d}{dx}}{\Big (}nB'(x)B^{n}(x)w(x)+A(x)B^{n}(x)w(x){\Big )}$

El primer término es el negativo de $J_{2}(x)$ y el segundo término es el negativo de $K_{1}(x)$ .

De forma más abstracta, esto puede verse a través de la teoría de Sturm-Liouville . Definamos un operador. $Lf:=-{\frac {1}{w}}(Wf')'$ , entonces la ecuación diferencial es equivalente a $LP_{n}=\lambda _{n}P_{n}$ . Definir el espacio funcional $X=L^{2}([a,b],w(x)dx)$ como el espacio de Hilbert de funciones sobre $[a,b]$ , de tal manera que ${\displaystyle \langle f,g\rangle$ . Entonces el operador $L$ es autoadjunto en funciones que satisfacen ciertas condiciones de contorno, lo que nos permite aplicar el teorema espectral .

Función generadora

Un argumento sencillo que utiliza la fórmula integral de Cauchy muestra que los polinomios ortogonales obtenidos a partir de la fórmula de Rodrigues tienen una función generadora de la forma

$G(x,u)=\sum _{n=0}^{\infty }u^{n}P_{n}(x)$

El $P_{n}(x)$ Las funciones aquí pueden no tener las normalizaciones estándar. Pero podemos escribir esto de forma equivalente como

$G(x,u)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {u^{n}}{N_{n}}}N_{n}P_{n}(x)$

donde el $N_{n}$ se eligen según la aplicación para dar las normalizaciones deseadas. La variable u puede ser reemplazada por un múltiplo constante de u de modo que

$G(x,\alpha u)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\alpha ^{n}u^{n}}{N_{n}}}N_{n}P_{n}(x)$

Esto proporciona una forma alternativa de la función generadora.

Según la fórmula integral de Cauchy , la fórmula de Rodrigues es equivalente a $P_{n}(x)={\frac {n!}{2\pi i}}{\frac {c_{n}}{w(x)}}\oint _{C}{\frac {B^{n}(t)w(t)}{(t-x)^{n+1}}}\,dt$ donde la integral se encuentra a lo largo de un bucle cerrado en sentido contrario a las agujas del reloj alrededor $x$ . Dejar

$u={\frac {t-x}{B(t)}}$

Entonces, la integral de trayectoria compleja toma la forma

$P_{n}(x)={\frac {n!}{2\pi i}}c_{n}\oint _{C}{\frac {G(x,u)}{u^{n+1}}}\,du$

$G(x,u)={\frac {w(t){\frac {dt}{du}}}{w(x)B(t)}}$

donde ahora el camino cerrado C rodea el origen. En la ecuación para $G(x,u)$ , $t$ es una función implícita de $u$ Ampliando $G(x,u)$ en la serie de potencias dada anteriormente da

${\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}{\frac {G(x,u)}{u^{n+1}}}\,du={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}{\frac {\sum _{m=0}^{\infty }u^{m}P_{m}(x)}{u^{n+1}}}\,du=P_{n}(x)$

Solo el $m=n$ El término tiene un residuo distinto de cero, que es $P_{n}(x)$ . El $n!\,c_{n}$ El coeficiente se eliminó ya que las normalizaciones son convenciones que se pueden insertar posteriormente, como se explicó anteriormente.

Al expresar t en términos de u en la fórmula general que acabamos de dar para $G(x,u)$ , fórmulas explícitas para $G(x,u)$ se pueden encontrar. Como ejemplo sencillo, dejemos $B(x)=1$ y $A(x)=-x$ (polinomios de Hermite) de modo que $w(x)=\exp \left(-{\frac {x^{2}}{2}}\right)$ , $t=u+x$ , $w(t)=\exp \left(-{\frac {(u+x)^{2}}{2}}\right)$ y entonces $G(x,u)=\exp \left(-xu-{\frac {u^{2}}{2}}\right)$ .

Ejemplos

Estas fórmulas ^{[ 4 ]}^{[ 5 ]} son para los polinomios ortogonales clásicos . Fórmulas similares son válidas para muchas otras secuencias de funciones ortogonales que surgen de las ecuaciones de Sturm-Liouville , y estas también se denominan fórmula de Rodrigues (o fórmula de tipo Rodrigues), especialmente cuando la secuencia resultante es polinómica.

Legendre

Fuente: ^{[ 6 ]}

Rodrigues enunció su fórmula para los polinomios de Legendre. $P_{n}$ :

$P_{n}(x)={\frac {1}{2^{n}n!}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\!\left[(x^{2}-1)^{n}\right]\!.$ $(1-x^{2})P_{n}''(x)-2xP_{n}'(x)+n(n+1)P_{n}(x)=0$

Para los polinomios de Legendre, la función generadora se define como

$G(x,u)=\sum _{n=0}^{\infty }u^{n}P_{n}(x)$ .

La integral de contorno proporciona la integral de Schläfli ^{[ 7 ]} para polinomios de Legendre:

$P_{n}(x)={\frac {1}{2\pi i2^{n}}}\oint _{C}{\frac {(t^{2}-1)^{n}}{(t-x)^{n+1}}}dt$

Resumiendo el integrando

$G(x,u)={\frac {1}{\sqrt {1-2ux+u^{2}}}}{\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}\left({\frac {1}{t-t_{-}}}-{\frac {1}{t-t_{+}}}\right)dt$

dónde $t_{\pm }={\frac {1}{u}}(1\pm {\sqrt {1-2ux+u^{2}}})$ Para pequeños $u$ , tenemos $t_{-}\approx x,t_{+}\to \infty$ , lo que sugiere heurísticamente que la integral debería ser el residuo alrededor de . $t_{-}$ , dando así

$G(x,u)={\frac {1}{\sqrt {1-2ux+u^{2}}}}$

Ermitaño

Fuente: ^{[ 8 ]}

Polinomios de Hermite para físicos :

$H_{n}(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\!\left[e^{-x^{2}}\right]=\left(2x-{\frac {d}{dx}}\right)^{n}\cdot 1.$ $H_{n}''-2xH_{n}'+2nH_{n}=0$

La función generadora se define como

$G(x,u)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {H_{n}(x)}{n!}}\,u^{n}.$

La integral de contorno da

$H_{n}(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}}{\frac {n!}{2\pi i}}\oint _{C}{\frac {e^{-t^{2}}}{(t-x)^{n+1}}}\,dt.$

${\begin{aligned}G(x,u)&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}e^{x^{2}}}{n!}}{\frac {n!}{2\pi i}}\,u^{n}\oint _{C}{\frac {e^{-t^{2}}}{(t-x)^{n+1}}}\,dt\\&=e^{x^{2}}{\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}e^{-t^{2}}\left(\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}u^{n}}{(t-x)^{n+1}}}\right)dt\\&=e^{x^{2}}{\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}e^{-t^{2}}{\frac {1}{t-x+u}}\\&=e^{x^{2}}\,e^{-(x-u)^{2}}\\&=e^{2xu-u^{2}}\end{aligned}}$

Laguerre

Fuente: ^{[ 9 ]}

Para polinomios de Laguerre asociados

$L_{n}^{(\alpha )}(x)={x^{-\alpha }e^{x} \over n!}{d^{n} \over dx^{n}}\left(e^{-x}x^{n+\alpha }\right)={\frac {x^{-\alpha }}{n!}}\left({\frac {d}{dx}}-1\right)^{n}x^{n+\alpha }.$

$xL_{n}^{(\alpha )}(x)''+(\alpha +1-x)L_{n}^{(\alpha )}(x)'+nL_{n}^{(\alpha )}(x)=0~.$

La función generadora se define como

$G(x,u):=\sum _{n=0}^{\infty }u^{n}L_{n}^{(\alpha )}(x)$

Por el mismo método, tenemos $G(x,u)={\frac {1}{(1-u)^{\alpha +1}}}e^{-{\frac {ux}{1-u}}}$ .

Jacobi

Fuente: ^{[ 10 ]}

$P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x)={\frac {(-1)^{n}}{2^{n}n!}}(1-x)^{-\alpha }(1+x)^{-\beta }{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left\{(1-x)^{\alpha }(1+x)^{\beta }\left(1-x^{2}\right)^{n}\right\}.$ $\left(1-x^{2}\right)P_{n}^{(\alpha ,\beta )}{}''+(\beta -\alpha -(\alpha +\beta +2)x)P_{n}^{(\alpha ,\beta )}{}'+n(n+\alpha +\beta +1)P_{n}^{(\alpha ,\beta )}=0.$

\sum _{n=0}^{\infty }P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x)u^{n}=2^{\alpha +\beta }R^{-1}(1-u+R)^{-\alpha }(1+u+R)^{-\beta },

dónde ${\textstyle R={\sqrt {1-2ux+u^{2}}}}$ y la rama de la raíz cuadrada se elige de manera que $R(x,0)=1$ .

Véase también

Polinomios ortogonales clásicos

Referencias

↑ Shapiro, Joel (2016). "La fórmula de Rodrigues y los polinomios ortogonales" (PDF) . pág. 1.
↑ Shapiro 2016, pág. 2.
↑ Shapiro 2016, pág. 2.
↑ Shapiro (2016). "Física 464/511 Lección J" (PDF) .
↑ NIST. "Fórmula de Rodrigues y polinomios ortogonales" .
↑ Arfken, George B.; Weber, Hans J. (2005). Métodos matemáticos para físicos, sexta edición . Elsevier Academic Press. pág. 741. ISBN 0-12-059876-0.
^ Schläfli, Ludwig (1881), "Über die zwei Heineschen Kugelfunktionen mit beliebigem Parameter und ihre ausnahmslose Darstellung durch bestimmte Integrale" , Gesammelte Mathematische Abhandlungen , Basilea: Springer Basel, págs. 317– 392, ISBN 978-3-0348-4044-6{{citation}}: Incompatibilidad de ISBN/Fecha ( ayuda )
↑ Arfken y Weber 2005, pág. 817.
↑ Arfken y Weber 2005, pág. 837.
↑ NIST. "§18.12 Funciones generadoras" .

Askey, Richard (2005), «El artículo de 1839 sobre permutaciones: su relación con la fórmula de Rodrigues y desarrollos posteriores» , en Altmann, Simón L.; Ortiz, Eduardo L. (eds.), Matemáticas y utopías sociales en Francia: Olinde Rodrigues y su época , Historia de las matemáticas, vol. 28, Providence, RI: American Mathematical Society , pp. 105–118 , ISBN 978-0-8218-3860-0
Ivory, James (1824), "Sobre la figura necesaria para mantener el equilibrio de una masa fluida homogénea que gira sobre un eje", Philosophical Transactions of the Royal Society of London , 114 , The Royal Society: 85–150 , doi : 10.1098/rstl.1824.0008 , JSTOR 107707
Jacobi, CGJ (1827), "Ueber eine besondere Gattung algebraischer Functionen, die aus der Entwicklung der Function (1 − 2 xz + z ² ) ^1/2 entstehen". , Journal für die Reine und Angewandte Mathematik (en alemán), 2 : 223– 226, doi : 10.1515/crll.1827.2.223 , ISSN 0075-4102 , S2CID 120291793
O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. , "Olinde Rodrigues" , Archivo MacTutor de Historia de las Matemáticas , Universidad de St Andrews
Rodrigues, Olinde (1816), "De l'attraction des sphéroïdes" , Correspondence sur l'École Impériale Polytechnique , (Tesis para la Facultad de Ciencias de la Universidad de París), 3 (3): 361– 385

[Shapiro-1] Shapiro, Joel (2016). "La fórmula de Rodrigues y los polinomios ortogonales" (PDF) . pág. 1.

[2] Shapiro 2016, pág. 2.

[3] Shapiro 2016, pág. 2.

[4] Shapiro (2016). "Física 464/511 Lección J" (PDF) .

[NIST-5] NIST. "Fórmula de Rodrigues y polinomios ortogonales" .

[6] Arfken, George B.; Weber, Hans J. (2005). Métodos matemáticos para físicos, sexta edición . Elsevier Academic Press. pág. 741. ISBN 0-12-059876-0.

[7] Schläfli, Ludwig (1881), "Über die zwei Heineschen Kugelfunktionen mit beliebigem Parameter und ihre ausnahmslose Darstellung durch bestimmte Integrale" , Gesammelte Mathematische Abhandlungen , Basilea: Springer Basel, págs. 317– 392, ISBN 978-3-0348-4044-6{{citation}}: Incompatibilidad de ISBN/Fecha ( ayuda )

[8] Arfken y Weber 2005, pág. 817.

[9] Arfken y Weber 2005, pág. 837.

[10] NIST. "§18.12 Funciones generadoras" .

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