Teorema de Romanov

En matemáticas, específicamente en teoría aditiva de números , el teorema de Romanov es un teorema matemático demostrado por Nikolai Pavlovich Romanov. Afirma que, dada una base fija b , el conjunto de números que son la suma de un número primo y una potencia entera positiva de b tiene una densidad asintótica inferior positiva .

Romanov inicialmente declaró que había probado las declaraciones "In jedem Intervall (0, x) liegen mehr als ax Zahlen, welche als Summe von einer Primzahl und einer k-ten Potenz einer ganzen Zahl darstellbar sind, wo a eine gewisse positiv, nur von k abhängige Konstante bedeutet" y "In jedem Intervall (0, x) liegen mehr als bx Zahlen, weiche als Summe von einer Primzahl und einer Potenz von a darstellbar sind Hier ist a eine gegebene ganze Zahl und beine positiv Konstante, welche nur von a abhängt". ^{[ 1 ]} Estas declaraciones se traducen como "En cada intervalo${\displaystyle (0,x)}$hay más de${\displaystyle \alpha x}$números que pueden representarse como la suma de un número primo y una k -ésima potencia de un entero, donde${\displaystyle \alpha }$es una cierta constante positiva que solo depende de k y en cada intervalo${\displaystyle (0,x)}$hay más de${\displaystyle \beta x}$números que pueden representarse como la suma de un número primo y una potencia de a . Aquí a es un número entero dado y${\displaystyle \beta }$es una constante positiva que solo depende de " respectivamente. La segunda afirmación se acepta generalmente como el teorema de Romanov, por ejemplo en el libro de Nathanson. ^{[ 2 ]}

Precisamente, dejemos${\displaystyle d(x)={\frac {\left\vert \{n\leq x:n=p+2^{k},p\ {\textrm {prime,}}\ k\in \mathbb {N} \}\right\vert }{x}}}$y dejar${\displaystyle {\underline {d}}=\liminf _{x\to \infty }d(x)}$,${\displaystyle {\overline {d}}=\limsup _{x\to \infty }d(x)}$Entonces, el teorema de Romanov afirma que${\displaystyle {\underline {d}}>0}$. ^{[ 3 ]}

Alphonse de Polignac escribió en 1849 que todo número impar mayor que 3 puede escribirse como la suma de un primo impar y una potencia de 2. (Pronto notó un contraejemplo, a saber, 959). ^{[ 4 ]} Esto corresponde al caso de${\displaystyle a=2}$en la declaración original. El contraejemplo de 959, de hecho, también fue mencionado en la carta de Euler a Christian Goldbach , ^{[ 5 ]} pero estaban trabajando en la dirección opuesta, tratando de encontrar números impares que no se pueden expresar de la forma.

En 1934, Romanov demostró el teorema. La constante positiva${\displaystyle \beta }$mencionado en el caso${\displaystyle a=2}$más tarde se la conoció como la constante de Romanov . ^{[ 6 ]} Varias estimaciones sobre la constante, así como${\displaystyle {\overline {d}}}$, se ha realizado. La historia de tales refinamientos se enumera a continuación. ^{[ 3 ]} En particular, desde${\displaystyle {\overline {d}}}$Se demuestra que es menor que 0,5, lo que implica que los números impares que no se pueden expresar de esta manera tienen una densidad asintótica inferior positiva.

Resultados análogos del teorema de Romanov fueron demostrados en cuerpos numéricos por Riegel en 1961. ^{[ 11 ]} En 2015, el teorema también fue demostrado para polinomios en cuerpos finitos. ^{[ 12 ]} También en 2015, se dio una progresión aritmética de enteros gaussianos que no se pueden expresar como la suma de un primo gaussiano y una potencia de 1+i . ^{[ 13 ]}