Polinomios de Romanovski

Para valores reales de α , β y n = 0, 1, 2, ... , una función R ^{( α , β )} _n ( x ) puede definirse mediante la fórmula de Rodrigues en la ecuación ( 4 ) como

donde w ^{( α , β )} es la misma función de peso que en ( 2 ), y s ( x ) = 1 + x ² es el coeficiente de la segunda derivada de la ecuación diferencial hipergeométrica como en ( 1 ).

Nótese que hemos elegido las constantes de normalización N _n = 1 , lo cual es equivalente a elegir el coeficiente de mayor grado en el polinomio, como se indica en la ecuación ( 5 ). Toma la forma

También tenga en cuenta que el coeficiente c _n no depende del parámetro α , sino solo de β y, para valores particulares de β , c _n se anula (es decir, para todos los valores

${\displaystyle \beta ={\frac {k(k-1)-n(n-1)}{2(nk)}}}$

donde k = 0, ..., n − 1 ). Esta observación plantea un problema que se aborda a continuación.

Para referencia posterior, escribimos explícitamente los polinomios de grado 0, 1 y 2,

${\displaystyle {\begin{aligned}R_{0}^{(\alpha ,\beta )}(x)&=1,\\[6pt]R_{1}^{(\alpha ,\beta )}(x)&={\frac {1}{w^{(\alpha ,\beta )}(x)}}\left(w'^{(\alpha ,\beta )}(x)s(x)+s'(x)w^{(\alpha ,\beta )}(x)\right)\\[6pt]&=t^{(\alpha ,\beta )}(x)=2\beta x+\alpha ,\\[6pt]R_{2}^{(\alpha ,\beta )}(x)&={\frac {1}{w^{(\alpha ,\beta )}(x)}}{\frac {\mathrm {d} }{{\mathrm {d} }x}}\left(s^{2}(x)w'^{(\alpha ,\beta )}(x)+2s(x)s'(x)w^{(\alpha ,\beta )}(x)\right)\\&={\frac {1}{w^{(\alpha ,\beta )}(x)}}{\frac {\mathrm {d} }{{\mathrm {d} }x}}\left(s(x)w^{(\alpha ,\beta )}(x)\left(t^{(\alpha ,\beta )}(x)+s'(x)\right)\right)\\[6pt]&=\left(2x+t^{(\alpha ,\beta )}(x)\right)t^{(\alpha ,\beta )}(x)+\left(2+t'^{(\alpha ,\beta )}(x)\right)s(x)\\[6pt]&=(2\beta +1)(2\beta +2)x^{2}+2(2\beta +1)\alpha x+\left(2\beta +\alpha ^{2}+2\right),\end{aligned}}}$

que se derivan de la fórmula de Rodrigues ( 10 ) junto con la EDO de Pearson ( 3 ).

Los dos polinomios, R ^{( α , β )} _m ( x ) y R ^{( α , β )} _n ( x ) con m ≠ n , son ortogonales, ^{[ 3 ]}

si y solo si,

En otras palabras, para parámetros arbitrarios, solo un número finito de polinomios de Romanovski son ortogonales. Esta propiedad se conoce como ortogonalidad finita . Sin embargo, en algunos casos especiales en los que los parámetros dependen de una manera particular del grado del polinomio, se puede lograr una ortogonalidad infinita.

Este es el caso de una versión de la ecuación ( 1 ) que se ha encontrado de nuevo de forma independiente en el contexto de la solubilidad exacta del problema mecánico cuántico del potencial trigonométrico de Rosen-Morse y se informa en Compean y Kirchbach (2006). ^{[ 17 ]} Allí, los parámetros polinómicos α y β ya no son arbitrarios, sino que se expresan en términos de los parámetros del potencial, a y b , y el grado n del polinomio según las relaciones,

Correspondientemente, λ _n emerge como λ _n = − n (2 a + n − 1) , mientras que la función de peso toma la forma

${\displaystyle \left(1+x^{2}\right)^{-(a+n+1)}\exp \left(-{\frac {2b}{n+a+1}}\operatorname {arccot} x\right).}$

Finalmente, la variable unidimensional, x , en Compean & Kirchbach (2006) ^{[ 17 ]} se ha tomado como

${\displaystyle x=\cot \left({\frac {r}{d}}\right),}$

donde r es la distancia radial, mientras que${\displaystyle d}$es un parámetro de longitud apropiado. En Compean y Kirchbach ^{[ 17 ]} se ha demostrado que la familia de polinomios de Romanovski correspondiente a la secuencia infinita de pares de parámetros,

es ortogonal.

En Weber (2007) ^{[ 18 ]} se han estudiado los polinomios Q ^{( α _n , β _n + n )} _ν ( x ) , con β _n + n = − a , y complementarios a R ^{( α _n , β _n )} _n ( x ) , generados de la siguiente manera:

Al tener en cuenta la relación,

La ecuación ( 16 ) se vuelve equivalente a

y de este modo vincula los polinomios de Romanovski complementarios con los principales.

El principal atractivo de los polinomios complementarios es que su función generadora puede calcularse en forma cerrada. ^{[ 19 ]} Dicha función generadora , escrita para los polinomios de Romanovski basados ​​en la ecuación ( 18 ) con los parámetros en ( 14 ) y por lo tanto referida a ortogonalidad infinita, se ha introducido como

Las diferencias de notación entre Weber ^{[ 18 ]} y las utilizadas aquí se resumen de la siguiente manera:

• G ^{( α _n , β _n )} ( x , y ) aquí frente a Q ( x , y ; α ,− a ) allí, α allí en lugar de α _n aquí,
• a = − β _n − n , y
• Q ^{( α ,− a )} _ν ( x ) en la ecuación (15) en Weber ^{[ 18 ]} correspondiente a R ^{( α _n , β _n + n − ν )} _ν ( x ) aquí.

La función generadora en discusión obtenida en Weber ^{[ 18 ]} ahora se lee: