raíz cuadrática media

En matemáticas , la raíz cuadrática media (abreviatura RMS , rms o rms ) de un conjunto de valores es la raíz cuadrada de la media cuadrática del conjunto . ^{[ 1 ]} Dado un conjunto $x_{i}$ , su RMS se denota como $x_{\mathrm {RMS} }$ o $\mathrm {RMS} _{x}$ . El RMS también se conoce como la media cuadrática (denotada $M_{2}$ ), ^{[ 2 ]}^{[ 3 ]} un caso especial de la media generalizada . El RMS de una función continua se denota $f_{\mathrm {RMS} }$ y puede definirse en términos de una integral del cuadrado de la función. En la teoría de la estimación , la desviación cuadrática media de un estimador mide cuánto se desvía el estimador de los datos.

Definición

El valor RMS de un conjunto de valores (o una forma de onda de tiempo continuo ) es la raíz cuadrada de la media aritmética de los cuadrados de los valores, o el cuadrado de la función que define la forma de onda continua.

En el caso de un conjunto de n valores $\{x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\}$ , el RMS es

x_{\text{RMS}}={\sqrt {{\frac {1}{n}}\left({x_{1}}^{2}+{x_{2}}^{2}+\cdots +{x_{n}}^{2}\right)}}.

La fórmula correspondiente para una función continua (o forma de onda) f ( t ) definida sobre el intervalo $T_{1}\leq t\leq T_{2}$ es

f_{\text{RMS}}={\sqrt {{1 \over {T_{2}-T_{1}}}{\int _{T_{1}}^{T_{2}}{[f(t)]}^{2}\,{\rm {d}}t}}},

y el RMS para una función en todo el tiempo es

f_{\text{RMS}}=\lim _{T\rightarrow \infty }{\sqrt {{1 \over {2T}}{\int _{-T}^{T}{[f(t)]}^{2}\,{\rm {d}}t}}}.

El valor cuadrático medio (RMS) de una función periódica a lo largo del tiempo es igual al RMS de un período de dicha función. El valor RMS de una función o señal continua puede aproximarse calculando el RMS de una muestra compuesta por observaciones igualmente espaciadas. Además, el valor RMS de diversas formas de onda también puede determinarse sin cálculo diferencial , como demostró Cartwright. ^{[ 4 ]}

En el caso del estadístico RMS de un proceso aleatorio , se utiliza el valor esperado en lugar de la media.

En formas de onda comunes

Formas de onda sinusoidales , cuadradas , triangulares y de diente de sierra . En cada una, la línea central está en 0, el pico positivo está en $y=A_{1}$ y el pico negativo está en $y=-A_{1}$

{\displaystyle y=A_{1}} — Formas de onda sinusoidales , cuadradas , triangulares y de diente de sierra . En cada una, la línea central está en 0, el pico positivo está en $y=A_{1}$ y el pico negativo está en $y=-A_{1}$

Una onda de pulso rectangular con ciclo de trabajo D, la relación entre la duración del pulso ( $\tau$ ) y el período (T); ilustrado aquí con a = 1.

{\displaystyle \tau } — Una onda de pulso rectangular con ciclo de trabajo D, la relación entre la duración del pulso ( $\tau$ ) y el período (T); ilustrado aquí con a = 1.

Si la forma de onda es una onda sinusoidal pura , las relaciones entre las amplitudes (de pico a pico, pico) y el valor RMS son fijas y conocidas, como ocurre con cualquier onda periódica continua. Sin embargo, esto no se cumple para una forma de onda arbitraria, que puede no ser periódica ni continua. Para una onda sinusoidal de media cero, la relación entre el valor RMS y la amplitud de pico a pico es:

De pico a pico

=2{\sqrt {2}}\times {\text{RMS}}\approx 2.8\times {\text{RMS}}.

Para otras formas de onda, las relaciones no son las mismas que para las ondas sinusoidales. Por ejemplo, para una onda triangular o de diente de sierra:

De pico a pico

=2{\sqrt {3}}\times {\text{RMS}}\approx 3.5\times {\text{RMS}}.

En combinaciones de formas de onda

Las formas de onda formadas al sumar formas de onda simples conocidas tienen un valor RMS que es la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de los valores RMS de las componentes, si las formas de onda componentes son ortogonales (es decir, si el promedio del producto de una forma de onda simple con otra es cero para todos los pares excepto para una forma de onda multiplicada por sí misma). ^{[ 5 ]}

{\text{RMS}}_{\text{Total}}={\sqrt {{\text{RMS}}_{1}^{2}+{\text{RMS}}_{2}^{2}+\cdots +{\text{RMS}}_{n}^{2}}}

Alternativamente, para formas de onda que están perfectamente correlacionadas positivamente, o "en fase" entre sí, sus valores RMS se suman directamente.

Usos

En ingeniería eléctrica

Actual

El valor eficaz (RMS) de una corriente eléctrica alterna es igual al valor de una corriente continua constante que disiparía la misma potencia en una carga resistiva . ^{[ 1 ]}

Voltaje

Un caso especial de RMS de combinaciones de formas de onda es: ^{[ 6 ]}

{\text{RMS}}_{\text{AC+DC}}={\sqrt {{\text{V}}_{\text{DC}}^{2}+{\text{RMS}}_{\text{AC}}^{2}}}

dónde ${\text{V}}_{\text{DC}}$ se refiere al componente de corriente continua (o promedio) de la señal, y ${\text{RMS}}_{\text{AC}}$ es el componente de corriente alterna de la señal.

Potencia eléctrica promedio

Los ingenieros eléctricos a menudo necesitan conocer la potencia , P , disipada por una resistencia eléctrica , R. El cálculo es sencillo cuando circula una corriente constante , I , a través de la resistencia. Para una carga de R ohmios, la potencia viene dada por:

P=I^{2}R.

Sin embargo, si la corriente es una función que varía con el tiempo, I ( t ), esta fórmula debe extenderse para reflejar el hecho de que la corriente (y por lo tanto la potencia instantánea) varía con el tiempo. Si la función es periódica (como la corriente alterna doméstica), sigue siendo útil analizar la potencia promedio disipada en el tiempo, que se calcula tomando la disipación de potencia promedio:

{\begin{aligned}P_{\text{Avg}}&=\left(I(t)^{2}R\right)_{\text{Avg}}&&{\text{where }}(\cdots )_{\text{Avg}}{\text{ denotes the temporal mean of a function}}\\[3pt]&=\left(I(t)^{2}\right)_{\text{Avg}}R&&{\text{(as }}R{\text{ does not vary over time, it can be factored out)}}\\[3pt]&=I_{\text{RMS}}^{2}R&&{\text{by definition of root-mean-square}}\end{aligned}}

Entonces, el valor RMS, I _RMS , de la función I ( t ) es la corriente constante que produce la misma disipación de potencia que la disipación de potencia promedio en el tiempo de la corriente I ( t ).

La potencia promedio también se puede encontrar utilizando el mismo método que en el caso de un voltaje variable en el tiempo , V ( t ), con valor RMS V _RMS ,

P_{\text{Avg}}={V_{\text{RMS}}^{2} \over R}.

Esta ecuación se puede utilizar para cualquier forma de onda periódica , como una forma de onda sinusoidal o de diente de sierra , lo que nos permite calcular la potencia media suministrada a una carga específica.

Al tomar la raíz cuadrada de ambas ecuaciones y multiplicarlas, se obtiene la siguiente potencia:

P_{\text{Avg}}=V_{\text{RMS}}I_{\text{RMS}}.

Ambas derivaciones dependen de que el voltaje y la corriente sean proporcionales (es decir, que la carga, R , sea puramente resistiva). Las cargas reactivas (es decir, las cargas capaces no solo de disipar energía sino también de almacenarla) se analizan en el tema de la potencia de CA.

En el caso común de corriente alterna, cuando I ( t ) es una corriente sinusoidal , como ocurre aproximadamente en la red eléctrica, el valor RMS se calcula fácilmente a partir de la ecuación del caso continuo anterior. Si I _p se define como la corriente pico, entonces:

I_{\text{RMS}}={\sqrt {{1 \over {T_{2}-T_{1}}}\int _{T_{1}}^{T_{2}}\left[I_{\text{p}}\sin(\omega t)\right]^{2}dt}},

donde t es $el$ tiempo y ω es la frecuencia angular ( ω = 2π / T , donde T es el período de la onda).

Dado que I _p es una constante positiva y debía elevarse al cuadrado dentro de la integral:

I_{\text{RMS}}=I_{\text{p}}{\sqrt {{1 \over {T_{2}-T_{1}}}{\int _{T_{1}}^{T_{2}}{\sin ^{2}(\omega t)}\,dt}}}.

Utilizar una identidad trigonométrica para eliminar la elevación al cuadrado de una función trigonométrica:

{\begin{aligned}I_{\text{RMS}}&=I_{\text{p}}{\sqrt {{1 \over {T_{2}-T_{1}}}{\int _{T_{1}}^{T_{2}}{1-\cos(2\omega t) \over 2}\,dt}}}\\[3pt]&=I_{\text{p}}{\sqrt {{1 \over {T_{2}-T_{1}}}\left[{t \over 2}-{\sin(2\omega t) \over 4\omega }\right]_{T_{1}}^{T_{2}}}}\end{aligned}}

pero dado que el intervalo es un número entero de ciclos completos (por definición de RMS), los términos seno se cancelarán, quedando:

I_{\text{RMS}}=I_{\text{p}}{\sqrt {{1 \over {T_{2}-T_{1}}}\left[{t \over 2}\right]_{T_{1}}^{T_{2}}}}=I_{\text{p}}{\sqrt {{1 \over {T_{2}-T_{1}}}{{T_{2}-T_{1}} \over 2}}}={I_{\text{p}} \over {\sqrt {2}}}.

Un análisis similar conduce a la ecuación análoga para el voltaje sinusoidal:

V_{\text{RMS}}={V_{\text{p}} \over {\sqrt {2}}},

donde I _P representa la corriente pico y V _P representa el voltaje pico.

Debido a su utilidad para realizar cálculos de potencia, los voltajes indicados para las tomas de corriente (por ejemplo, 120 V en EE. UU. o 230 V en Europa) casi siempre se citan en valores RMS, y no en valores pico. Los valores pico se pueden calcular a partir de los valores RMS con la fórmula anterior, que implica V _P = V _RMS × √ 2 , suponiendo que la fuente es una onda sinusoidal pura. Así, el valor pico del voltaje de la red eléctrica en EE. UU. es de aproximadamente 120 × √ 2 , o aproximadamente 170 voltios. El voltaje pico a pico, que es el doble de este, es de aproximadamente 340 voltios. Un cálculo similar indica que el voltaje pico de la red eléctrica en Europa es de aproximadamente 325 voltios, y el voltaje pico a pico de la red eléctrica, de aproximadamente 650 voltios.

Las magnitudes RMS, como la corriente eléctrica, se suelen calcular en un ciclo. Sin embargo, para algunos fines, se requiere la corriente RMS durante un período más prolongado al calcular las pérdidas de potencia en la transmisión. Se aplica el mismo principio y, por ejemplo, una corriente de 10 amperios utilizada durante 12 horas al día (24 horas al día) representa una corriente promedio de 5 amperios, pero una corriente RMS de 7,07 amperios a largo plazo.

El término potencia RMS se usa a veces erróneamente (por ejemplo, en la industria del audio) como sinónimo de potencia media o potencia promedio (es proporcional al cuadrado de la tensión RMS o la corriente RMS en una carga resistiva). Para un análisis de las mediciones de potencia de audio y sus limitaciones, consulte Potencia de audio .

Velocidad

En la física de las moléculas de gas , la velocidad cuadrática media se define como la raíz cuadrada de la velocidad media al cuadrado. La velocidad cuadrática media de un gas ideal se calcula mediante la siguiente ecuación:

v_{\text{RMS}}={\sqrt {3RT \over M}}

donde R representa la constante de los gases , 8,314 J/(mol·K), T es la temperatura del gas en kelvin y M es la masa molar del gas en kilogramos por mol. En física, la velocidad se define como la magnitud escalar de la velocidad. Para un gas en reposo, la velocidad media de sus moléculas puede ser del orden de miles de km/h, aunque la velocidad media de sus moléculas sea cero.

Error

Cuando se comparan dos conjuntos de datos —uno proveniente de una predicción teórica y otro de la medición real de alguna variable física, por ejemplo—, la desviación cuadrática media (RMS) de las diferencias entre pares de ambos conjuntos puede servir como medida de la diferencia promedio entre el error y cero. La media de los valores absolutos de las diferencias entre pares podría ser una medida útil de la variabilidad de dichas diferencias. Sin embargo, la RMS suele ser la medida preferida, probablemente debido a convenciones matemáticas y a su compatibilidad con otras fórmulas.

Ingeniería de audio

El RMS se utiliza en ingeniería de audio para medir el volumen de la señal, particularmente en el procesamiento de audio . La medición de volumen alternativa es el volumen pico, en analógico como la señal Vpp _, o en digital como el pico de -dB por debajo del recorte, según el formato de codificación. En este contexto, el RMS de la señal se usa a menudo como señal de comparación para la compresión , que produce un efecto de "suavizado" al responder más lentamente a transitorios bruscos como los de la batería. ^{[ 7 ]} El RMS también se usa como métrica de masterización para comparar con otras unidades de promedio temporal, como los LUF . ^{[ 8 ]}

En el dominio de la frecuencia

El RMS se puede calcular en el dominio de la frecuencia, utilizando el teorema de Parseval . Para una señal muestreada $x[n]=x(t=nT)$ , dónde $T$ es el período de muestreo,

\sum _{n=1}^{N}{x^{2}[n]}={\frac {1}{N}}\sum _{m=1}^{N}\left|X[m]\right|^{2},

dónde $X[m]=\operatorname {DFT} \{x[n]\}$ y N es el tamaño de la muestra, es decir, el número de observaciones en la muestra y los coeficientes DFT.

En este caso, el valor RMS calculado en el dominio del tiempo es el mismo que en el dominio de la frecuencia:

{\text{RMS}}\{x[n]\}={\sqrt {{\frac {1}{N}}\sum _{n}{x^{2}[n]}}}={\sqrt {{\frac {1}{N^{2}}}\sum _{m}{{\bigl |}X[m]{\bigr |}}^{2}}}={\sqrt {\sum _{m}{\left|{\frac {X[m]}{N}}\right|^{2}}}}.

Relación con otras estadísticas

La desviación estándar $\sigma _{x}=(x-{\overline {x}})_{\text{rms}}$ de una población o una forma de onda $x$ es la desviación RMS de $x$ de su media aritmética ${\bar {x}}$ Están relacionados con el valor RMS de $x$ por ^{[ 9 ]}

\sigma _{x}^{2}={\overline {(x-{\overline {x}})^{2}}}=x_{\text{rms}}^{2}-{\overline {x}}^{2}

.

De esto se desprende que el valor RMS siempre es mayor o igual que el promedio, ya que el RMS incluye también la desviación al cuadrado (error).

Los científicos físicos suelen usar el término raíz cuadrática media como sinónimo de desviación estándar cuando se puede asumir que la señal de entrada tiene una media de cero, es decir, se refiere a la raíz cuadrada de la desviación cuadrática media de una señal con respecto a una línea base o ajuste dado. ^{[ 10 ]}^{[ 11 ]} Esto es útil para los ingenieros eléctricos al calcular el valor RMS "solo de CA" de una señal. La desviación estándar es el valor RMS de la variación de una señal con respecto a la media, en lugar de con respecto a 0, por lo que se elimina el componente de CC (es decir, RMS(señal) = desviación estándar(señal) si la señal media es 0).

Véase también

Notas

↑ Si NM = a y PM = b . AM = AM de a y b , y radio r = AQ = AG.Usando el teorema de Pitágoras , QM ² = AQ ² + AM ² ∴ QM = √ AQ ² + AM ² = QM .Usando el teorema de Pitágoras , AM ² = AG ² + GM ² ∴ GM = √ AM ² − AG ² = GM .Usando triángulos semejantes , ⁠ HM / GM ⁠ = ⁠ GM / AM ⁠ ∴ HM = ⁠ GM ² / AM ⁠ = HM .

Referencias

1 2 "Valor cuadrático medio". Diccionario de Física (6.ª ed.) . Oxford University Press. 2009. ISBN 9780199233991.
↑ Thompson, Sylvanus P. (1965). Cálculo simplificado . Macmillan International Higher Education. pág. 185. ISBN 9781349004874. Consultado el 5 de julio de 2020 .
↑ Jones, Alan R. (2018). Probabilidad, estadística y otras cosas aterradoras . Routledge. pág. 48. ISBN 9781351661386. Consultado el 5 de julio de 2020 .
↑ Cartwright, Kenneth V (otoño de 2007). "Determinación del voltaje efectivo o RMS de varias formas de onda sin cálculo" (PDF) . Technology Interface . 8 (1): 20 páginas.
↑ Nastase, Adrian S. "Cómo derivar el valor RMS de formas de onda de pulso y cuadradas" . MasteringElectronicsDesign.com . Consultado el 21 de enero de 2015 .
↑ "Realice mejores mediciones de RMS de CA con su multímetro digital" (PDF) . Keysight . Archivado del original (PDF) el 15 de enero de 2019. Consultado el 15 de enero de 2019 .
↑ Lecciones, Alex-Mixing (23-09-2019). "Compresión de pico vs RMS: La diferencia entre pico y RMS" . mixinglessons.com . Consultado el 07-04-2025 .
↑ Luthar, Margaret (12 de junio de 2024). "Niveles RMS definidos: cómo obtener niveles de sonoridad consistentes en la masterización" . izotope.com . Consultado el 7 de abril de 2025 .
↑ Chris C. Bissell; David A. Chapman (1992). Transmisión de señales digitales (2.ª ed.). Cambridge University Press. pág. 64. ISBN 978-0-521-42557-5.
↑ Weisstein, Eric W. "Raíz cuadrática media" . MathWorld .
↑ "ROOT, TH1:GetRMS" . Archivado del original el 30-06-2017 . Consultado el 18-07-2013 .

Enlaces externos

Un argumento que explica por qué el término RMS es un nombre inapropiado cuando se aplica a la potencia de audio.
Un applet de Java para aprender RMS

[9] Si NM = a y PM = b . AM = AM de a y b , y radio r = AQ = AG.Usando el teorema de Pitágoras , QM ² = AQ ² + AM ² ∴ QM = √ AQ ² + AM ² = QM .Usando el teorema de Pitágoras , AM ² = AG ² + GM ² ∴ GM = √ AM ² − AG ² = GM .Usando triángulos semejantes , ⁠ HM / GM ⁠ = ⁠ GM / AM ⁠ ∴ HM = ⁠ GM ² / AM ⁠ = HM .

[dicphys-1] 1 2 "Valor cuadrático medio". Diccionario de Física (6.ª ed.) . Oxford University Press. 2009. ISBN 9780199233991.

[2] Thompson, Sylvanus P. (1965). Cálculo simplificado . Macmillan International Higher Education. pág. 185. ISBN 9781349004874. Consultado el 5 de julio de 2020 .

[3] Jones, Alan R. (2018). Probabilidad, estadística y otras cosas aterradoras . Routledge. pág. 48. ISBN 9781351661386. Consultado el 5 de julio de 2020 .

[4] Cartwright, Kenneth V (otoño de 2007). "Determinación del voltaje efectivo o RMS de varias formas de onda sin cálculo" (PDF) . Technology Interface . 8 (1): 20 páginas.

[5] Nastase, Adrian S. "Cómo derivar el valor RMS de formas de onda de pulso y cuadradas" . MasteringElectronicsDesign.com . Consultado el 21 de enero de 2015 .

[6] "Realice mejores mediciones de RMS de CA con su multímetro digital" (PDF) . Keysight . Archivado del original (PDF) el 15 de enero de 2019. Consultado el 15 de enero de 2019 .

[7] Lecciones, Alex-Mixing (23-09-2019). "Compresión de pico vs RMS: La diferencia entre pico y RMS" . mixinglessons.com . Consultado el 07-04-2025 .

[8] Luthar, Margaret (12 de junio de 2024). "Niveles RMS definidos: cómo obtener niveles de sonoridad consistentes en la masterización" . izotope.com . Consultado el 7 de abril de 2025 .

[10] Chris C. Bissell; David A. Chapman (1992). Transmisión de señales digitales (2.ª ed.). Cambridge University Press. pág. 64. ISBN 978-0-521-42557-5.

[11] Weisstein, Eric W. "Raíz cuadrática media" . MathWorld .

[12] "ROOT, TH1:GetRMS" . Archivado del original el 30-06-2017 . Consultado el 18-07-2013 .

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