La conjetura de Rota sobre la base

En álgebra lineal y teoría de matroides , la conjetura de Rota sobre bases es una conjetura no demostrada sobre reordenamientos de bases , que recibe su nombre de Gian-Carlo Rota . Establece que, si X es un espacio vectorial de dimensión n o, más generalmente, un matroide de rango n , con n bases disjuntas B _i , entonces es posible ordenar los elementos de estas bases en una matriz n  × n de tal manera que las filas de la matriz sean exactamente las bases dadas y las columnas de la matriz también sean bases. Es decir, debería ser posible encontrar un segundo conjunto de n bases disjuntas C _i , cada una de las cuales consta de un elemento de cada una de las bases B _i . 

La conjetura de Rota sobre la base tiene una formulación sencilla para puntos en el plano euclidiano : establece que, dados tres triángulos con vértices distintos, cada uno coloreado con uno de tres colores, debe ser posible reagrupar los nueve vértices en tres triángulos "arcoíris", con un vértice de cada color. Se requiere que todos los triángulos sean no degenerados, es decir, que sus tres vértices no estén alineados.

Para ver esto como un ejemplo de la conjetura de la base, se puede utilizar la independencia lineal de los vectores (${\displaystyle x_{i},y_{i},1}$) en un espacio vectorial real tridimensional (donde (${\displaystyle x_{i},y_{i}}$(son las coordenadas cartesianas de los vértices del triángulo) o, equivalentemente, se puede usar un matroide de rango tres en el que un conjunto S de puntos es independiente si | S |  ≤  2 o si S forma los tres vértices de un triángulo no degenerado. Para esta álgebra lineal y este matroide, las bases son precisamente los triángulos no degenerados. Dados los tres triángulos de entrada y los tres triángulos arcoíris, es posible organizar los nueve vértices en una matriz de 3  ×  3 en la que cada fila contiene los vértices de uno de los triángulos de un solo color y cada columna contiene los vértices de uno de los triángulos arcoíris.

De forma análoga, para puntos en el espacio euclidiano tridimensional , la conjetura afirma que los dieciséis vértices de cuatro tetraedros no degenerados de cuatro colores diferentes pueden reagruparse en cuatro tetraedros arcoíris.

El enunciado de la conjetura de la base de Rota fue publicado por primera vez por Huang y Rota (1994) , atribuyéndola (sin citar) a Rota en 1989. ^{[ 1 ]} La conjetura de la base ha sido demostrada para matroides de pavimentación (para todo n ) ^{[ 2 ]} y para el caso n ≤ 3 (para todos los tipos de matroid). ^{[ 3 ]} Para matroides arbitrarios, es posible organizar los elementos de la base en una matriz cuyas primeras Ω( √ n ) columnas son bases. ^{[ 4 ]} La conjetura de la base para álgebras lineales sobre cuerpos de característica cero y para valores pares de n se derivaría de otra conjetura sobre cuadrados latinos de Alon y Tarsi. ^{[ 1 ] [ 5 ]} Basándose en esta implicación, se sabe que la conjetura es verdadera para álgebras lineales sobre los números reales para infinitos valores de n . ^{[ 6 ]}    

En relación con el teorema de Tverberg , Bárány y Larman (1992) conjeturaron que, para cada conjunto de r ( d  +  1) puntos en el espacio euclidiano d -dimensional, coloreados con d  +  1 colores de tal manera que hay r puntos de cada color, existe una forma de particionar los puntos en símplices arcoíris (conjuntos de d  +  1 puntos con un punto de cada color) de tal manera que las envolturas convexas de estos conjuntos tengan una intersección no vacía. ^{[ 7 ]} Por ejemplo, el caso bidimensional (demostrado por Bárány y Larman) con r  =  3 establece que, para cada conjunto de nueve puntos en el plano, coloreados con tres colores y tres puntos de cada color, es posible particionar los puntos en tres triángulos arcoíris que se intersecan, una afirmación similar a la conjetura de base de Rota que establece que es posible particionar los puntos en tres triángulos arcoíris no degenerados. La conjetura de Bárány y Larman permite considerar una terna colineal de puntos como un triángulo arcoíris, mientras que la conjetura de la base de Rota lo impide; por otro lado, la conjetura de la base de Rota no requiere que los triángulos tengan una intersección común. Blagojević, Matschke y Ziegler (2009) realizaron avances sustanciales en la conjetura de Bárány y Larman . ^{[ 8 ]}

• La conjetura de Rota , una conjetura diferente de Rota sobre álgebra lineal y matroides.

• Conjetura fundamental de Rota , Jardín de Problemas Abiertos.