aproximación de onda rotatoria

La aproximación de onda rotatoria es una aproximación utilizada en óptica atómica y resonancia magnética . En esta aproximación, se desprecian los términos de un hamiltoniano que oscilan rápidamente. Esta es una aproximación válida cuando la radiación electromagnética aplicada está cerca de la resonancia con una transición atómica y la intensidad es baja. ^{[ 1 ]} Explícitamente, los términos en los hamiltonianos que oscilan con frecuencias${\displaystyle \omega _ {L}+\ omega _ {0}}$se descuidan, mientras que los términos que oscilan con frecuencias${\displaystyle \omega _{L}-\omega _{0}}$se guardan, donde${\displaystyle \omega _{L}}$es la frecuencia de la luz, y${\displaystyle \omega _{0}}$es una frecuencia de transición.

El nombre de la aproximación proviene de la forma del hamiltoniano en la representación de interacción , como se muestra a continuación. Al adoptar esta representación, la evolución de un átomo debida al hamiltoniano atómico correspondiente se incorpora al sistema ket , quedando solo la evolución debida a la interacción del átomo con el campo de luz. En esta representación, se pueden despreciar los términos de rápida oscilación mencionados anteriormente. Dado que, en cierto sentido, la representación de interacción puede considerarse como una rotación con el sistema ket, solo se conserva la parte de la onda electromagnética que aproximadamente corrota; el componente de contrarrotación se descarta.

La aproximación de onda rotatoria está estrechamente relacionada con la aproximación secular , pero es diferente de ella . ^{[ 2 ]}

Para simplificar, consideremos un sistema atómico de dos niveles con estados fundamental y excitado .${\displaystyle |{\text{g}}\rangle }$y${\displaystyle |{\text{e}}\rangle }$, respectivamente (usando la notación de corchetes de Dirac ). Sea la diferencia de energía entre los estados${\displaystyle \hbar \omega _ {0}}$de modo que${\displaystyle \omega _{0}}$es la frecuencia de transición del sistema. Entonces, el hamiltoniano no perturbado del átomo se puede escribir como

${\displaystyle H_{0}={\frac {\hbar \omega _{0}}{2}}|{\text{e}}\rangle \langle {\text{e}}|-{\frac {\hbar \omega _{0}}{2}}|{\text{g}}\rangle \langle {\text{g}}|}$.

Supongamos que el átomo experimenta un campo eléctrico clásico externo de frecuencia${\displaystyle \omega _{L}}$, dado por ${\displaystyle {\vec {E}}(t)={\vec {E}}_{0}e^{-i\omega _{L}t}+{\vec {E}}_{0}^{*}e^{i\omega _{L}t}}$; por ejemplo, una onda plana que se propaga en el espacio. Entonces, bajo la aproximación dipolar, el hamiltoniano de interacción entre el átomo y el campo eléctrico se puede expresar como

${\displaystyle H_{1}=-{\vec {d}}\cdot {\vec {E}}}$,

dónde${\displaystyle {\vec {d}}}$es el operador del momento dipolar del átomo. Por lo tanto, el hamiltoniano total para el sistema átomo-luz es${\displaystyle H=H_{0}+H_{1}.}$ El átomo no tiene momento dipolar cuando se encuentra en un autoestado de energía , por lo tanto${\displaystyle \left\langle {\text{e}}\left|{\vec {d}}\right|{\text{e}}\right\rangle =\left\langle {\text{g}}\left|{\vec {d}}\right|{\text{g}}\right\rangle =0.}$ Esto significa que definir${\displaystyle {\vec {d}}_{\text{eg}}\mathrel {:=} \left\langle {\text{e}}\left|{\vec {d}}\right|{\text{g}}\right\rangle }$permite escribir el operador dipolar como

${\displaystyle {\vec {d}}={\vec {d}}_{\text{eg}}|{\text{e}}\rangle \langle {\text{g}}|+{\vec {d}}_{\text{eg}}^{*}|{\text{g}}\rangle \langle {\text{e}}|}$

(con${\displaystyle ^{*}}$denotando el conjugado complejo ). Entonces se puede demostrar que el hamiltoniano de interacción es

${\displaystyle H_{1}=-\hbar \left(\Omega e^{-i\omega _{L}t}+{\tilde {\Omega }}e^{i\omega _{L}t}\right)|{\text{e}}\rangle \langle {\text{g}}|-\hbar \left({\tilde {\Omega }}^{*}e^{-i\omega _{L}t}+\Omega ^{*}e^{i\omega _{L}t}\right)|{\text{g}}\rangle \langle {\text{e}}|}$

dónde${\displaystyle \Omega =\hbar ^{-1}{\vec {d}}_{\text{eg}}\cdot {\vec {E}}_{0}}$es la frecuencia Rabi y${\displaystyle {\tilde {\Omega }}\mathrel {:=} \hbar ^{-1}{\vec {d}}_{\text{eg}}\cdot {\vec {E}}_{0}^{*}}$es la frecuencia de contrarrotación. Para ver por qué la${\displaystyle {\tilde {\Omega }}}$Los términos se denominan contrarrotatorios; considere una transformación unitaria a la interacción o imagen de Dirac donde el hamiltoniano transformado${\displaystyle H_{1,I}}$es dado por

${\displaystyle H_{1,I}=-\hbar \left(\Omega e^{-i\Delta \omega t}+{\tilde {\Omega }}e^{i(\omega _ {L}+\omega _ {0})t}\right)|{\text{e}}\rangle \langle {\text{g}}|-\hbar \left({\tilde {\Omega }}^{*}e^{-i(\omega _ {L}+\omega _ {0})t}+\Omega ^{*}e^{i\Delta \omega t}\right)|{\text{g}}\rangle \langle {\text{e}}|,}$

dónde${\displaystyle \Delta \omega \mathrel {:=} \omega _{L}-\omega _{0}}$es la desintonización entre el campo de luz y el átomo.

Hacer la aproximación

Este es el punto en el que se hace la aproximación de onda rotatoria. Se ha asumido la aproximación dipolar, y para que esta siga siendo válida, el campo eléctrico debe estar cerca de la resonancia con la transición atómica. Esto significa que${\displaystyle \Delta \omega \ll \omega _{L}+\omega _{0}}$y las exponenciales complejas multiplicando${\displaystyle {\tilde {\Omega }}}$y${\displaystyle {\tilde {\Omega }}^{*}}$puede considerarse que oscila rápidamente. Por lo tanto, en cualquier escala de tiempo apreciable, las oscilaciones promediarán rápidamente a 0. La aproximación de onda rotatoria es, por lo tanto, la afirmación de que estos términos pueden despreciarse y, por consiguiente, el hamiltoniano puede escribirse en la imagen de interacción como

${\displaystyle H_{1,I}^{\text{RWA}}=-\hbar \Omega e^{-i\Delta \omega t}|{\text{e}}\rangle \langle {\text{g}}|-\hbar \Omega ^{*}e^{i\Delta \omega t}|{\text{g}}\rangle \langle {\text{e}}|.}$

Finalmente, volviendo a la representación de Schrödinger , el hamiltoniano viene dado por

${\displaystyle H^{\text{RWA}}={\frac {\hbar \omega _{0}}{2}}|{\text{e}}\rangle \langle {\text{e}}|-{\frac {\hbar \omega _{0}}{2}}|{\text{g}}\rangle \langle {\text{g}}|-\hbar \Omega e^{-i\omega _{L}t}|{\text{e}}\rangle \langle {\text{g}}|-\hbar \Omega ^{*}e^{i\omega _{L}t}|{\text{g}}\rangle \langle {\text{e}}|.}$

Otro criterio para la aproximación de onda rotatoria es la condición de acoplamiento débil, es decir, la frecuencia de Rabi debe ser mucho menor que la frecuencia de transición. ^{[ 1 ]}

En este punto, la aproximación de onda rotatoria está completa. Un primer paso común a partir de esto es eliminar la dependencia temporal restante en el hamiltoniano mediante otra transformación unitaria.

Dadas las definiciones anteriores, el hamiltoniano de interacción es

${\displaystyle {\begin{aligned}H_{1}=-{\vec {d}}\cdot {\vec {E}}&=-\left({\vec {d}}_{\text{eg}}|{\text{e}}\rangle \langle {\text{g}}|+{\vec {d}}_{\text{eg}}^{*}|{\text{g}}\rangle \langle {\text{e}}|\right)\cdot \left({\vec {E}}_{0}e^{-i\omega _{L}t}+{\vec {E}}_{0}^{*}e^{i\omega _{L}t}\right)\\&=-\left({\vec {d}}_{\text{eg}}\cdot {\vec {E}}_{0}e^{-i\omega _{L}t}+{\vec {d}}_{\text{eg}}\cdot {\vec {E}}_{0}^{*}e^{i\omega _{L}t}\right)|{\text{e}}\rangle \langle {\text{g}}|\\&-\left({\vec {d}}_{\text{eg}}^{*}\cdot {\vec {E}}_{0}e^{-i\omega _{L}t}+{\vec {d}}_{\text{eg}}^{*}\cdot {\vec {E}}_{0}^{*}e^{i\omega _{L}t}\right)|{\text{g}}\rangle \langle {\text{e}}|\\&=-\hbar \left(\Omega e^{-i\omega _{L}t}+{\tilde {\Omega }}e^{i\omega _{L}t}\right)|{\text{e}}\rangle \langle {\text{g}}|-\hbar \left({\tilde {\Omega }}^{*}e^{-i\omega _{L}t}+\Omega ^{*}e^{i\omega _{L}t}\right)|{\text{g}}\rangle \langle {\text{e}}|,\end{aligned}}}$

como se indicó. El siguiente paso es encontrar el hamiltoniano en la imagen de interacción ,${\displaystyle H_{1,I}}$La transformación unitaria requerida es:

${\displaystyle {\begin{aligned}U&=e^{iH_{0}t/\hbar }\\&=e^{i\omega _{0}t/2(|{\text{e}}\rangle \langle {\text{e}}|-|{\text{g}}\rangle \langle {\text{g}}|)}\\&=\cos \left({\frac {\omega _{0}t}{2}}\right)\left(|{\text{e}}\rangle \langle {\text{e}}|+|{\text{g}}\rangle \langle {\text{g}}|\right)+i\sin \left({\frac {\omega _{0}t}{2}}\right)\left(|{\text{e}}\rangle \langle {\text{e}}|-|{\text{g}}\rangle \langle {\text{g}}|\right)\\&=e^{-i\omega _{0}t/2}|{\text{g}}\rangle \langle {\text{g}}|+e^{i\omega _{0}t/2}|{\text{e}}\rangle \langle {\text{e}}|\\&=e^{-i\omega _{0}t/2}\left(|{\text{g}}\rangle \langle {\text{g}}|+e^{i\omega _{0}t}|{\text{e}}\rangle \langle {\text{e}}|\right)\end{aligned}}}$

donde el tercer paso se puede demostrar utilizando una expansión en serie de Taylor y la ortogonalidad de los estados.${\displaystyle |{\text{g}}\rangle }$y${\displaystyle |{\text{e}}\rangle }$. Tenga en cuenta que una multiplicación por una fase general de${\displaystyle e^{i\omega _{0}t/2}}$en un operador unitario no afecta la física subyacente, por lo que en los usos posteriores de${\displaystyle U}$lo descuidaremos. Aplicando${\displaystyle U}$da:

${\displaystyle {\begin{aligned}H_{1,I}&\equiv UH_{1}U^{\dagger }\\&=-\hbar \left(\Omega e^{-i\omega _{L}t}+{\tilde {\Omega }}e^{i\omega _{L}t}\right)e^{i\omega _{0}t}|{\text{e}}\rangle \langle {\text{g}}|-\hbar \left({\tilde {\Omega }}^{*}e^{-i\omega _{L}t}+\Omega ^{*}e^{i\omega _{L}t}\right)|{\text{g}}\rangle \langle {\text{e}}|e^{-i\omega _{0}t}\\&=-\hbar \left(\Omega e^{-i\Delta \omega t}+{\tilde {\Omega }}e^{i(\omega _{L}+\omega _{0})t}\right)|{\text{e}}\rangle \langle {\text{g}}|-\hbar \left({\tilde {\Omega }}^{*}e^{-i(\omega _{L}+\omega _{0})t}+\Omega ^{*}e^{i\Delta \omega t}\right)|{\text{g}}\rangle \langle {\text{e}}|\ .\end{aligned}}}$

Ahora aplicamos el RWA eliminando los términos contrarrotatorios como se explicó en la sección anterior:

${\displaystyle H_{1,I}^{\text{RWA}}=-\hbar \Omega e^{-i\Delta \omega t}|{\text{e}}\rangle \langle {\text{g}}|+-\hbar \Omega ^{*}e^{i\Delta \omega t}|{\text{g}}\rangle \langle {\text{e}}|}$

Finalmente, transformamos el hamiltoniano aproximado.${\displaystyle H_{1,I}^{\text{RWA}}}$Volvamos a la imagen de Schrödinger:

${\displaystyle {\begin{aligned}H_{1}^{\text{RWA}}&=U^{\dagger }H_{1,I}^{\text{RWA}}U\\&=-\hbar \Omega e^{-i\Delta \omega t}e^{-i\omega _{0}t}|{\text{e}}\rangle \langle {\text{g}}|-\hbar \Omega ^{*}e^{i\Delta \omega t}|{\text{g}}\rangle \langle {\text{e}}|e^{i\omega _{0}t}\\&=-\hbar \Omega e^{-i\omega _{L}t}|{\text{e}}\rangle \langle {\text{g}}|-\hbar \Omega ^{*}e^{i\omega _{L}t}|{\text{g}}\rangle \langle {\text{e}}|.\end{aligned}}}$

El hamiltoniano atómico no se vio afectado por la aproximación, por lo que el hamiltoniano total en la representación de Schrödinger bajo la aproximación de onda rotatoria es

${\displaystyle H^{\text{RWA}}=H_{0}+H_{1}^{\text{RWA}}={\frac {\hbar \omega _{0}}{2}}|{\text{e}}\rangle \langle {\text{e}}|-{\frac {\hbar \omega _{0}}{2}}|{\text{g}}\rangle \langle {\text{g}}|-\hbar \Omega e^{-i\omega _{L}t}|{\text{e}}\rangle \langle {\text{g}}|-\hbar \Omega ^{*}e^{i\omega _{L}t}|{\text{g}}\rangle \langle {\text{e}}|.}$