Rotor rígido

El rotor lineal clásico consta de dos masas puntuales.${\displaystyle m_{1}}$y${\displaystyle m_{2}}$(con masa reducida)${\textstyle \mu ={\frac {m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}}$) a distancia${\displaystyle R}$de uno al otro. El rotor es rígido si${\displaystyle R}$es independiente del tiempo. La cinemática de un rotor rígido lineal se describe habitualmente mediante coordenadas polares esféricas (${\displaystyle \theta ,\varphi ,R}$), que forman un sistema de coordenadas de R ³ . En la convención física, las coordenadas son el ángulo de colatitud (cenital)${\displaystyle \theta \,}$, el ángulo longitudinal (acimutal)${\displaystyle \varphi \,}$y la distancia${\displaystyle R}$Los ángulos especifican la orientación del rotor en el espacio. La energía cinética${\displaystyle T}$del rotor rígido lineal viene dado por $${\displaystyle {\begin{aligned}2T&=\mu R^{2}\left[{\dot {\theta }}^{2}+({\dot {\varphi }}\,\sin \theta )^{2}\right]\\[1ex]&=\mu R^{2}{\begin{pmatrix}{\dot {\theta }}&{\dot {\varphi }}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&\sin ^{2}\theta \\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{\dot {\theta }}\\{\dot {\varphi }}\end{pmatrix}}\\[1ex]&=\mu {\begin{pmatrix}{\dot {\theta }}&{\dot {\varphi }}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}h_{\theta }^{2}&0\\0&h_{\varphi }^{2}\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{\dot {\theta }}\\{\dot {\varphi }}\end{pmatrix}},\end{aligned}}}$$

dónde${\displaystyle h_{\theta }=R\,}$y${\displaystyle h_{\varphi }=R\sin \theta \,}$son factores de escala (o Lamé) .

Los factores de escala son importantes para las aplicaciones de la mecánica cuántica, ya que intervienen en el laplaciano expresado en coordenadas curvilíneas . En el caso que nos ocupa (constante)${\displaystyle R}$) $${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla ^{2}&={\frac {1}{h_{\theta }h_{\varphi }}}\left[{\frac {\partial }{\partial \theta }}{\frac {h_{\varphi }}{h_{\theta }}}{\frac {\partial }{\partial \theta }}+{\frac {\partial }{\partial \varphi }}{\frac {h_{\theta }}{h_{\varphi }}}{\frac {\partial }{\partial \varphi }}\right]\\&={\frac {1}{R^{2}}}\left[{\frac {1}{\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\sin \theta {\frac {\partial }{\partial \theta }}+{\frac {1}{\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \varphi ^{2}}}\right].\end{aligned}}}$$

La función hamiltoniana clásica del rotor rígido lineal es $${\displaystyle H={\frac {1}{2\mu R^{2}}}\left[p_{\theta }^{2}+{\frac {p_{\varphi }^{2}}{\sin ^{2}\theta }}\right].}$$

El modelo de rotor rígido lineal se puede utilizar en mecánica cuántica para predecir la energía rotacional de una molécula diatómica . La energía rotacional depende del momento de inercia del sistema,${\displaystyle I}$En el sistema de referencia del centro de masas , el momento de inercia es igual a:

$${\displaystyle I=\mu R^{2}}$$

dónde${\displaystyle \mu }$es la masa reducida de la molécula y${\displaystyle R}$es la distancia entre los dos átomos.

Según la mecánica cuántica , los niveles de energía de un sistema se pueden determinar resolviendo la ecuación de Schrödinger :

$${\displaystyle {\hat {H}}\Psi =E\Psi }$$

dónde${\displaystyle \Psi }$es la función de onda y${\displaystyle {\hat {H}}}$es el operador de energía ( hamiltoniano ). Para el rotor rígido en un espacio libre de campo, el operador de energía corresponde a la energía cinética ^{[ 1 ]} del sistema:

$${\displaystyle {\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2\mu }}\nabla ^{2}}$$

dónde${\displaystyle \hbar }$es la constante de Planck reducida (${\displaystyle h \over 2\pi }$) y${\displaystyle \nabla ^{2}}$(del al cuadrado) es el laplaciano . El laplaciano se da arriba en términos de coordenadas polares esféricas. El operador de energía escrito en términos de estas coordenadas es:

$${\displaystyle {\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2I}}\left[{1 \over \sin \theta }{\partial \over \partial \theta }\left(\sin \theta {\partial \over \partial \theta }\right)+{1 \over {\sin ^{2}\theta }}{\partial ^{2} \over \partial \varphi ^{2}}\right]}$$

Este operador también aparece en la ecuación de Schrödinger del átomo de hidrógeno después de que se separa la parte radial. La ecuación de autovalores se convierte en: $${\displaystyle {\hat {H}}Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )={\frac {\hbar ^{2}}{2I}}\ell (\ell +1)\,Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi ).}$$ El símbolo${\displaystyle Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )}$representa un conjunto de funciones conocidas como armónicos esféricos . Tenga en cuenta que la energía depende de${\displaystyle m\,}$a través de${\displaystyle {\ce {\ell }}}$. La energía ^{[ 2 ]}$${\displaystyle E_{\ell }={\hbar ^{2} \over 2I}\ell \left(\ell +1\right)}$$ es${\displaystyle 2\ell +1}$-fold degenerado: las funciones con fijo${\displaystyle \ell }$y${\displaystyle m=-\ell ,-\ell +1,\dots ,\ell }$tienen la misma energía.

Introduciendo la constante rotacional${\displaystyle B}$, escribimos, $${\displaystyle E_{\ell }=B\;\ell \left(\ell +1\right)\quad {\textrm {with}}\quad B\equiv {\frac {\hbar ^{2}}{2I}}.}$$ En unidades de longitud recíproca, la constante de rotación es ^{[ 2 ]} , $${\displaystyle {\bar {B}}\equiv {\frac {B}{hc}}={\frac {h}{8\pi ^{2}cI}}={\frac {\hbar }{4\pi c\mu R_{e}^{2}}},}$$ donde c es la velocidad de la luz . Si se utilizan unidades cgs para${\displaystyle h}$,${\displaystyle c}$, y${\displaystyle I}$,${\displaystyle {\bar {B}}}$se expresa en cm ⁻¹ , o números de onda , que es una unidad que se usa a menudo para la espectroscopia rotacional-vibracional. La constante rotacional${\displaystyle {\bar {B}}(R)}$depende de la distancia${\displaystyle R}$A menudo uno escribe${\displaystyle B_{e}={\bar {B}}(R_{e})}$dónde${\displaystyle R_{e}}$es el valor de equilibrio de${\displaystyle R}$(el valor para el cual la energía de interacción de los átomos en el rotor tiene un mínimo).

Un espectro de absorción rotacional típico consiste en una serie de picos que corresponden a transiciones entre niveles con diferentes valores del número cuántico de momento angular (${\displaystyle \ell }$) tal que${\displaystyle \Delta l=+1}$, debido a las reglas de selección (ver más abajo). En consecuencia, aparecen picos rotacionales en energías con diferencias que corresponden a un múltiplo entero de${\displaystyle 2{\bar {B}}}$.

Las transiciones rotacionales de una molécula ocurren cuando esta absorbe un fotón (una partícula de un campo electromagnético cuantizado). Dependiendo de la energía del fotón (es decir, la longitud de onda del campo electromagnético), esta transición puede considerarse una banda lateral de una transición vibracional y/o electrónica. Las transiciones rotacionales puras, en las que la función de onda vibrónica (vibracional y electrónica) no cambia, ocurren en la región de microondas del espectro electromagnético .

Normalmente, las transiciones rotacionales solo se pueden observar cuando el número cuántico de momento angular cambia en${\displaystyle 1}$${\displaystyle (\Delta l=\pm 1)}$^{[ 2 ]} . Estaregla de selecciónsurge de una aproximación de teoría de perturbaciones de primer orden de laecuación de Schrödinger dependiente del tiempo. Según este tratamiento, las transiciones rotacionales solo pueden observarse cuando uno o más componentes deloperador dipolartienen un momento de transición distinto de cero. Si${\displaystyle z}$es la dirección del componente del campo eléctrico de la onda electromagnética entrante, el momento de transición es, $${\displaystyle \langle \psi _{2}|\mu _{z}|\psi _{1}\rangle =\left(\mu _{z}\right)_{21}=\int \psi _{2}^{*}\mu _{z}\psi _{1}\,\mathrm {d} \tau .}$$

Se produce una transición si esta integral es distinta de cero. Al separar la parte rotacional de la función de onda molecular de la parte vibrónica, se puede demostrar que esto significa que la molécula debe tener un momento dipolar permanente . Después de la integración sobre las coordenadas vibrónicas, queda la siguiente parte rotacional del momento de transición:

$${\displaystyle \left(\mu _{z}\right)_{l,m;l',m'}=\mu \int _{0}^{2\pi }\mathrm {d} \phi \int _{-1}^{1}Y_{l'}^{m'}{\!\left(\theta ,\phi \right)}^{*}\cos \theta \;Y_{l}^{m}{\!\left(\theta ,\phi \right)}\;\mathrm {d} (\cos \theta ).}$$ Aquí${\displaystyle \mu \cos \theta \,}$es la componente z del momento dipolar permanente. El momento${\displaystyle \mu }$es el componente promediado vibrónicamente del operador dipolar . Solo el componente del dipolo permanente a lo largo del eje de una molécula heteronuclear no es nulo. Mediante el uso de la ortogonalidad de los armónicos esféricos${\displaystyle Y_{l}^{m}\,\left(\theta ,\phi \right)}$es posible determinar qué valores de${\displaystyle l}$,${\displaystyle m}$,${\displaystyle l'}$, y${\displaystyle m'}$Esto dará como resultado valores distintos de cero para la integral del momento de transición dipolar. Esta restricción da lugar a las reglas de selección observadas para el rotor rígido:

$${\displaystyle \Delta m=0\quad {\hbox{and}}\quad \Delta l=\pm 1}$$

El rotor rígido se usa comúnmente para describir la energía rotacional de las moléculas diatómicas, pero no es una descripción completamente precisa de dichas moléculas. Esto se debe a que los enlaces moleculares (y por lo tanto la distancia interatómica)${\displaystyle R}$) no están completamente fijos; el enlace entre los átomos se estira a medida que la molécula rota más rápido (valores más altos del número cuántico rotacional)${\displaystyle l}$Este efecto puede tenerse en cuenta introduciendo un factor de corrección conocido como constante de distorsión centrífuga.${\displaystyle {\bar {D}}}$(las barras sobre las distintas cantidades indican que estas cantidades se expresan en cm ⁻¹ ):

$${\displaystyle {\bar {E}}_{l}={E_{l} \over hc}={\bar {B}}l\left(l+1\right)-{\bar {D}}l^{2}\left(l+1\right)^{2}}$$

dónde

• ${\displaystyle {\bar {D}}={4{\bar {B}}^{3} \over {\bar {\boldsymbol {\omega }}}^{2}}}$
• ${\displaystyle {\bar {\boldsymbol {\omega }}}}$es la frecuencia vibracional fundamental del enlace (en cm ⁻¹ ). Esta frecuencia está relacionada con la masa reducida y la constante de fuerza (fuerza del enlace) de la molécula según$${\displaystyle {\bar {\boldsymbol {\omega }}}={1 \over 2\pi c}{\sqrt {k \over \mu }}}$$

El modelo de rotor no rígido es aceptablemente preciso para moléculas diatómicas, pero aún presenta algunas imperfecciones. Esto se debe a que, si bien el modelo considera el estiramiento de los enlaces debido a la rotación, ignora cualquier estiramiento de los enlaces debido a la energía vibracional (anarmonicidad en el potencial).

Las distintas ramas de la física y la ingeniería utilizan diferentes coordenadas para describir la cinemática de un rotor rígido. En física molecular, se utilizan casi exclusivamente los ángulos de Euler . En aplicaciones de mecánica cuántica, resulta ventajoso utilizar los ángulos de Euler en una convención que es una simple extensión de la convención física de coordenadas polares esféricas .

El primer paso consiste en fijar un sistema de referencia ortonormal dextrógiro (sistema tridimensional de ejes ortogonales) al rotor (un sistema de referencia fijo al cuerpo ). Este sistema puede fijarse arbitrariamente al cuerpo, pero a menudo se utiliza el sistema de referencia de los ejes principales : los autovectores normalizados del tensor de inercia , que siempre pueden elegirse ortonormales, ya que el tensor es simétrico . Cuando el rotor posee un eje de simetría, este suele coincidir con uno de los ejes principales. Es conveniente elegir como eje z fijo al cuerpo el eje de simetría de mayor orden.

Se comienza alineando el sistema de referencia fijo al cuerpo con un sistema de referencia fijo al espacio (ejes del laboratorio), de modo que los ejes x , y y z del sistema de referencia fijo al cuerpo coincidan con los ejes X , Y y Z del sistema de referencia fijo al espacio . En segundo lugar, el cuerpo y su sistema de referencia se rotan activamente un ángulo positivo.${\displaystyle \alpha \,}$alrededor del eje z (por la regla de la mano derecha ), lo que mueve el${\displaystyle y}$- hacia${\displaystyle y'}$-eje. En tercer lugar, se rota el cuerpo y su marco sobre un ángulo positivo.${\displaystyle \beta \,}$alrededor del${\displaystyle y'}$eje. El eje z del sistema de referencia fijo al cuerpo tiene después de estas dos rotaciones el ángulo longitudinal${\displaystyle \alpha \,}$(comúnmente designado por${\displaystyle \varphi \,}$) y el ángulo de colatitud${\displaystyle \beta \,}$(comúnmente designado por${\displaystyle \theta \,}$), ambos con respecto al sistema de referencia fijo en el espacio. Si el rotor fuera cilíndrico simétrico alrededor de su eje z , como el rotor rígido lineal, su orientación en el espacio estaría especificada sin ambigüedad en este punto.

Si el cuerpo carece de simetría cilíndrica (axial), una última rotación alrededor de su eje z (que tiene coordenadas polares)${\displaystyle \beta \,}$y${\displaystyle \alpha \,}$) es necesario especificar completamente su orientación. Tradicionalmente, el último ángulo de rotación se llama${\displaystyle \gamma \,}$.

La convención para los ángulos de Euler descrita aquí se conoce como la${\displaystyle z''-y'-z}$convención; se puede demostrar (de la misma manera que en este artículo ) que es equivalente a la${\displaystyle z-y-z}$Convención en la que se invierte el orden de las rotaciones.

La matriz total de las tres rotaciones consecutivas es el producto

$${\displaystyle \mathbf {R} (\alpha ,\beta ,\gamma )={\begin{pmatrix}\cos \alpha &-\sin \alpha &0\\\sin \alpha &\cos \alpha &0\\0&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\cos \beta &0&\sin \beta \\0&1&0\\-\sin \beta &0&\cos \beta \\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\cos \gamma &-\sin \gamma &0\\\sin \gamma &\cos \gamma &0\\0&0&1\end{pmatrix}}}$$

Dejar${\displaystyle \mathbf {r} (0)}$sea ​​el vector de coordenadas de un punto arbitrario${\displaystyle {\mathcal {P}}}$en el cuerpo con respecto al marco fijo al cuerpo. Los elementos de${\displaystyle \mathbf {r} (0)}$son las 'coordenadas fijas al cuerpo' de${\displaystyle {\mathcal {P}}}$Inicialmente${\displaystyle \mathbf {r} (0)}$es también el vector de coordenadas fijo en el espacio de${\displaystyle {\mathcal {P}}}$. Al rotar el cuerpo, las coordenadas fijas al cuerpo de${\displaystyle {\mathcal {P}}}$no cambian, pero el vector de coordenadas fijo en el espacio de${\displaystyle {\mathcal {P}}}$se convierte, $${\displaystyle \mathbf {r} (\alpha ,\beta ,\gamma )=\mathbf {R} (\alpha ,\beta ,\gamma )\mathbf {r} (0).}$$ En particular, si${\displaystyle {\mathcal {P}}}$Inicialmente se encuentra en el eje Z fijo en el espacio , tiene coordenadas fijas en el espacio. $${\displaystyle \mathbf {R} (\alpha ,\beta ,\gamma ){\begin{pmatrix}0\\0\\r\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}r\cos \alpha \sin \beta \\r\sin \alpha \sin \beta \\r\cos \beta \\\end{pmatrix}},}$$ lo cual muestra la correspondencia con las coordenadas polares esféricas (en la convención física).

Conocimiento de los ángulos de Euler en función del tiempo t y las coordenadas iniciales.${\displaystyle \mathbf {r} (0)}$determinar la cinemática del rotor rígido.

El siguiente texto constituye una generalización del conocido caso especial de la energía rotacional de un objeto que gira alrededor de un eje.

De ahora en adelante se asumirá que el sistema de referencia fijo al cuerpo es un sistema de referencia de ejes principales; diagonaliza el tensor de inercia instantáneo.${\displaystyle \mathbf {I} (t)}$(expresado con respecto al marco fijo en el espacio), es decir, $${\displaystyle \mathbf {R} (\alpha ,\beta ,\gamma )^{-1}\;\mathbf {I} (t)\;\mathbf {R} (\alpha ,\beta ,\gamma )=\mathbf {I} (0)\quad {\hbox{with}}\quad \mathbf {I} (0)={\begin{pmatrix}I_{1}&0&0\\0&I_{2}&0\\0&0&I_{3}\\\end{pmatrix}},}$$ donde los ángulos de Euler dependen del tiempo y, de hecho, determinan la dependencia temporal de${\displaystyle \mathbf {I} (t)}$por la inversa de esta ecuación. Esta notación implica que en${\displaystyle t=0}$los ángulos de Euler son cero, de modo que en${\displaystyle t=0}$El marco de referencia fijo al cuerpo coincide con el marco de referencia fijo al espacio.

La energía cinética clásica T del rotor rígido se puede expresar de diferentes maneras:

• en función de la velocidad angular
• en forma lagrangiana
• en función del momento angular
• en forma hamiltoniana.

Dado que cada una de estas formas tiene su utilidad y se puede encontrar en los libros de texto, las presentaremos todas.

Como es habitual, la cuantización se realiza mediante la sustitución de los momentos generalizados por operadores que dan primeras derivadas con respecto a sus variables (posiciones) canónicamente conjugadas . Por lo tanto,$${\displaystyle p_{\alpha }\longrightarrow -i\hbar {\frac {\partial }{\partial \alpha }}}$$ y de manera similar para${\displaystyle p_{\beta }}$y${\displaystyle p_{\gamma }}$Es notable que esta regla reemplace la función bastante complicada.${\displaystyle p_{\alpha }}$de los tres ángulos de Euler, las derivadas temporales de los ángulos de Euler y los momentos de inercia (que caracterizan al rotor rígido) mediante un operador diferencial simple que no depende del tiempo ni de los momentos de inercia y que se diferencia a un solo ángulo de Euler.

La regla de cuantización es suficiente para obtener los operadores que corresponden a los momentos angulares clásicos. Hay dos tipos: operadores de momento angular fijos en el espacio y fijos en el cuerpo. Ambos son operadores vectoriales, es decir, ambos tienen tres componentes que se transforman como componentes vectoriales entre sí al rotar el sistema de referencia fijo en el espacio y el fijo en el cuerpo, respectivamente. La forma explícita de los operadores de momento angular del rotor rígido se da aquí (pero cuidado, deben multiplicarse por${\displaystyle \hbar }$). Los operadores de momento angular fijos al cuerpo se escriben como${\displaystyle {\hat {\mathcal {P}}}_{i}}$Satisfacen relaciones de conmutación anómalas .

La regla de cuantización no es suficiente para obtener el operador de energía cinética a partir del hamiltoniano clásico. Dado que clásicamente${\displaystyle p_{\beta }}$se desplaza con${\displaystyle \cos \beta }$y${\displaystyle \sin \beta }$y las inversas de estas funciones, la posición de estas funciones trigonométricas en el hamiltoniano clásico es arbitraria. Después de la cuantización, la conmutación ya no se cumple y el orden de los operadores y funciones en el hamiltoniano (operador de energía) se convierte en un punto de preocupación. Podolsky ^{[ 1 ]} propuso en 1928 que el operador de Laplace-Beltrami (por${\displaystyle -{\tfrac {1}{2}}\hbar ^{2}}$) tiene la forma apropiada para el operador de energía cinética de la mecánica cuántica. Este operador tiene la forma general (convención de suma: suma sobre índices repetidos — en este caso sobre los tres ángulos de Euler${\displaystyle q^{1},\,q^{2},\,q^{3}\equiv \alpha ,\,\beta ,\,\gamma }$):

$${\displaystyle {\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2}}\;|g|^{-{\frac {1}{2}}}{\frac {\partial }{\partial q^{i}}}|g|^{\frac {1}{2}}g^{ij}{\frac {\partial }{\partial q^{j}}},}$$ dónde${\displaystyle |g|}$es el determinante del tensor g: $${\displaystyle |g|=I_{1}\,I_{2}\,I_{3}\,\sin ^{2}\beta \quad {\hbox{and}}\quad g^{ij}=\left(\mathbf {g} ^{-1}\right)_{ij}.}$$ Dado el inverso del tensor métrico anterior, la forma explícita del operador de energía cinética en términos de ángulos de Euler se obtiene mediante una simple sustitución. (Nota: La ecuación de autovalores correspondiente proporciona la ecuación de Schrödinger para el rotor rígido en la forma en que fue resuelta por primera vez por Kronig y Rabi ^{[ 4 ]} (para el caso especial del rotor simétrico). Este es uno de los pocos casos en los que la ecuación de Schrödinger puede resolverse analíticamente. Todos estos casos se resolvieron en el plazo de un año desde la formulación de la ecuación de Schrödinger).

Hoy en día es común proceder de la siguiente manera. Se puede demostrar que${\displaystyle {\hat {H}}}$puede expresarse en operadores de momento angular fijos al cuerpo (en esta demostración hay que conmutar cuidadosamente los operadores diferenciales con funciones trigonométricas). El resultado tiene la misma apariencia que la fórmula clásica expresada en coordenadas fijas al cuerpo, $${\displaystyle {\hat {H}}={\frac {1}{2}}\left[{\frac {{\mathcal {P}}_{x}^{2}}{I_{1}}}+{\frac {{\mathcal {P}}_{y}^{2}}{I_{2}}}+{\frac {{\mathcal {P}}_{z}^{2}}{I_{3}}}\right].}$$ La acción de la${\displaystyle {\hat {\mathcal {P}}}_{i}}$En la matriz D de Wigner es sencillo. En particular $${\displaystyle {\mathcal {P}}^{2}\,D_{m'm}^{j}(\alpha ,\beta ,\gamma )^{*}=\hbar ^{2}j(j+1)D_{m'm}^{j}(\alpha ,\beta ,\gamma )^{*}\quad {\hbox{with}}\quad {\mathcal {P}}^{2}={\mathcal {P}}_{x}^{2}+{\mathcal {P}}_{y}^{2}+{\mathcal {P}}_{z}^{2},}$$ de modo que la ecuación de Schrödinger para el rotor esférico (${\displaystyle I=I_{1}=I_{2}=I_{3}}$) se resuelve con el${\displaystyle (2j+1)^{2}}$energía degenerada igual a${\displaystyle {\tfrac {\hbar ^{2}j(j+1)}{2I}}}$.

El trompo simétrico (= rotor simétrico) se caracteriza por${\displaystyle I_{1}=I_{2}}$. Es una parte superior alargada (en forma de cigarro) si${\displaystyle I_{3}<I_{1}=I_{2}}$En este último caso, escribimos el hamiltoniano como $${\displaystyle {\hat {H}}={\frac {1}{2}}\left[{\frac {{\mathcal {P}}^{2}}{I_{1}}}+{\mathcal {P}}_{z}^{2}\left({\frac {1}{I_{3}}}-{\frac {1}{I_{1}}}\right)\right],}$$ y usar eso $${\displaystyle {\mathcal {P}}_{z}^{2}\,D_{mk}^{j}(\alpha ,\beta ,\gamma )^{*}=\hbar ^{2}k^{2}\,D_{mk}^{j}(\alpha ,\beta ,\gamma )^{*}.}$$ Por eso $${\displaystyle {\hat {H}}\,D_{mk}^{j}(\alpha ,\beta ,\gamma )^{*}=E_{jk}D_{mk}^{j}(\alpha ,\beta ,\gamma )^{*}}$$con

$${\displaystyle {\frac {1}{\hbar ^{2}}}E_{jk}={\frac {j(j+1)}{2I_{1}}}+k^{2}\left({\frac {1}{2I_{3}}}-{\frac {1}{2I_{1}}}\right).}$$

El valor propio${\displaystyle E_{j0}}$es${\displaystyle 2j+1}$-degenerado por pliegues, para todas las funciones propias con${\displaystyle m=-j,-j+1,\dots ,j}$tienen el mismo valor propio. Las energías con |k| > 0 son${\displaystyle 2(2j+1)}$-veces degenerada. Esta solución exacta de la ecuación de Schrödinger del trompo simétrico se encontró por primera vez en 1927. ^{[ 4 ]}

El problema del trompo asimétrico (${\displaystyle I_{1}\neq I_{2}\neq I_{3}}$) no es soluble analíticamente.