Rotación (matemáticas)

La rotación en matemáticas es un concepto que se origina en la geometría . Cualquier rotación es un movimiento de un espacio determinado que conserva al menos un punto . Puede describir, por ejemplo, el movimiento de un cuerpo rígido alrededor de un punto fijo. La rotación puede tener un signo (como el de un ángulo ): una rotación en sentido horario tiene una magnitud negativa, mientras que una rotación en sentido antihorario tiene una magnitud positiva. Una rotación se diferencia de otros tipos de movimientos: las traslaciones , que no tienen puntos fijos, y las reflexiones (hiperplanares) , cada una de las cuales tiene un plano completo de $(n -1)$ dimensiones con puntos fijos en un espacio $n$ - dimensional .

Matemáticamente, una rotación es una transformación . Todas las rotaciones alrededor de un punto fijo forman un grupo bajo composición llamado grupo de rotación (de un espacio particular). Pero en mecánica y, más generalmente, en física , este concepto se entiende frecuentemente como una transformación de coordenadas (y, lo que es importante, una transformación de una base ortonormal ), porque para cualquier movimiento de un cuerpo existe una transformación inversa que, si se aplica al sistema de referencia , da como resultado que el cuerpo se encuentre en las mismas coordenadas. Por ejemplo, en dos dimensiones, rotar un cuerpo en sentido horario alrededor de un punto manteniendo los ejes fijos es equivalente a rotar los ejes en sentido antihorario alrededor del mismo punto mientras el cuerpo permanece fijo. Estos dos tipos de rotación se denominan transformaciones activas y pasivas . ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]}

Definiciones y terminología relacionadas

El grupo de rotación es un grupo de Lie de rotaciones alrededor de un punto fijo . Este punto fijo (común) o centro se denomina centro de rotación y suele identificarse con el origen . El grupo de rotación es un estabilizador puntual dentro de un grupo más amplio de movimientos (que conservan la orientación) .

Para una rotación en particular:

El eje de rotación es una línea de sus puntos fijos. Estos existen solo en $n = 3$ .
El plano de rotación es un plano invariante bajo la rotación. A diferencia del eje, sus puntos no son fijos. El eje (cuando existe) y el plano de rotación son ortogonales .

Una representación de rotaciones es un formalismo particular, ya sea algebraico o geométrico, que se utiliza para parametrizar un mapa de rotación. Este significado es, de alguna manera, inverso al significado en la teoría de grupos .

Las rotaciones de espacios de puntos (afines) y de sus respectivos espacios vectoriales no siempre se distinguen con claridad. A las primeras se las suele denominar rotaciones afines (aunque el término puede resultar engañoso), mientras que a las segundas se las llama rotaciones vectoriales . Para más detalles, consulte el artículo a continuación.

Definiciones y representaciones

En geometría euclidiana

Una rotación de un plano alrededor de un punto, seguida de otra rotación alrededor de un punto diferente, da como resultado un movimiento total que es una rotación (como en esta imagen) o una traslación .

Un movimiento en el espacio euclidiano es equivalente a su isometría : la distancia entre dos puntos cualesquiera permanece inalterada tras la transformación. Sin embargo, una rotación (propia) también debe preservar la estructura de orientación . El término « rotación impropia » se refiere a las isometrías que invierten (voltean) la orientación. En el lenguaje de la teoría de grupos, la distinción se expresa como isometrías directas frente a indirectas en el grupo euclidiano , donde las primeras comprenden el componente identidad . Cualquier movimiento euclidiano directo puede representarse como la composición de una rotación alrededor del punto fijo y una traslación.

En el espacio unidimensional , solo existen rotaciones triviales . En dos dimensiones , basta con un único ángulo para especificar una rotación alrededor del origen : el ángulo de rotación que define un elemento del grupo circular (también conocido como $U(1)$ ). La rotación consiste en hacer girar un objeto en sentido antihorario un ángulo $θ$ alrededor del origen ; véase más abajo para más detalles. La composición de rotaciones suma sus ángulos módulo 1 vuelta , lo que implica que todas las rotaciones bidimensionales alrededor del mismo punto conmutan . Las rotaciones alrededor de puntos diferentes , en general, no conmutan. Cualquier movimiento directo bidimensional es una traslación o una rotación; véase la isometría del plano euclidiano para más detalles.

Rotaciones de Euler de la Tierra. Intrínseca (verde), precesión (azul) y nutación (rojo).

Las rotaciones en el espacio tridimensional difieren de las bidimensionales en varios aspectos importantes. Las rotaciones en tres dimensiones generalmente no son conmutativas , por lo que el orden en que se aplican es importante incluso alrededor del mismo punto. Además, a diferencia del caso bidimensional, un movimiento directo tridimensional, en posición general , no es una rotación sino una operación helicoidal . Las rotaciones alrededor del origen tienen tres grados de libertad (véase el formalismo de rotación en tres dimensiones para más detalles), igual que el número de dimensiones. Una rotación tridimensional puede especificarse de varias maneras. Los métodos más habituales son:

Ángulos de Euler (ilustrados a la izquierda). Cualquier rotación alrededor del origen puede representarse como la composición de tres rotaciones definidas como el movimiento obtenido al cambiar uno de los ángulos de Euler manteniendo constantes los otros dos. Constituyen un sistema de ejes de rotación mixtos porque los ángulos se miden con respecto a una combinación de diferentes sistemas de referencia , en lugar de un único sistema puramente externo o puramente intrínseco. Específicamente, el primer ángulo mueve la línea de nodos alrededor del eje externo z , el segundo rota alrededor de la línea de nodos y el tercero es una rotación intrínseca (un giro) alrededor de un eje fijo en el cuerpo en movimiento. Los ángulos de Euler se suelen denotar como α , β , γ o φ , θ , ψ . Esta representación es conveniente solo para rotaciones alrededor de un punto fijo.

La representación eje-ángulo (que se muestra a la derecha) especifica un ángulo con el eje alrededor del cual se produce la rotación. Se puede visualizar fácilmente. Existen dos variantes para representarla:
- como un par que consta del ángulo y un vector unitario para el eje, o
- como un vector euclidiano obtenido al multiplicar el ángulo por este vector unitario, llamado vector de rotación (aunque, estrictamente hablando, es un pseudovector ).
Matrices, versores (cuaterniones) y otros conceptos algebraicos : consulte la sección Formalismo del álgebra lineal y multilineal para obtener más detalles.

Proyección en perspectiva tridimensional de un teseracto que gira en un espacio euclidiano de cuatro dimensiones.

Una rotación general en cuatro dimensiones tiene un único punto fijo, el centro de rotación, y ningún eje de rotación; para más detalles, consulte las rotaciones en el espacio euclidiano de cuatro dimensiones . En cambio, la rotación tiene dos planos de rotación mutuamente ortogonales, cada uno de los cuales es fijo en el sentido de que los puntos en cada plano permanecen dentro de los planos. La rotación tiene dos ángulos de rotación, uno para cada $plano$ de rotación , a través de los cuales giran los puntos en los planos. Si estos son $ω₁$ y $ω₂, entonces todos los puntos que no$ $están$ en los planos giran a través de un ángulo entre $ω₁$ y $ω₂$ . Las rotaciones en cuatro dimensiones alrededor de un punto fijo tienen seis grados de libertad. Un movimiento directo de cuatro dimensiones en posición general es una rotación alrededor de un punto determinado (como en todas $las$ dimensiones euclidianas pares ), pero también existen operaciones helicoidales.

Formalismo del álgebra lineal y multilineal

Al considerar los movimientos del espacio euclidiano que preservan el origen , la distinción entre puntos y vectores , importante en matemáticas puras, puede eliminarse debido a la correspondencia canónica biyectiva entre puntos y vectores de posición . Lo mismo ocurre con geometrías distintas de la euclidiana , cuyo espacio es un espacio afín con una estructura suplementaria ; véase un ejemplo más adelante . Alternativamente, la descripción vectorial de las rotaciones puede entenderse como una parametrización de las rotaciones geométricas hasta su composición con traslaciones. En otras palabras, una rotación vectorial presenta muchas rotaciones equivalentes alrededor de todos los puntos del espacio.

Un movimiento que conserva el origen es igual a un operador lineal sobre vectores que conserva la misma estructura geométrica pero expresado en términos de vectores. Para vectores euclidianos , esta expresión es su magnitud ( norma euclidiana ). En componentes , dicho operador se expresa con una matriz ortogonal $n \times n$ que se multiplica por vectores columna .

Como ya se indicó , una rotación (propia) se diferencia de un movimiento arbitrario de punto fijo en que conserva la orientación del espacio vectorial. Por lo tanto, el determinante de una matriz ortogonal de rotación debe ser 1. La única otra posibilidad para el determinante de una matriz ortogonal es −1 , y este resultado significa que la transformación es una reflexión hiperplana , una reflexión puntual (para $n$ impar ) u otro tipo de rotación impropia . Las matrices de todas las rotaciones propias forman el grupo ortogonal especial .

Dos dimensiones

En dos dimensiones, para realizar una rotación utilizando una matriz , el punto $(x, y)$ que se va a rotar en sentido antihorario se escribe como un vector columna, y luego se multiplica por una matriz de rotación calculada a partir del ángulo $θ$ :

{\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}

.

Las coordenadas del punto después de la rotación son $x', y'$ , y las fórmulas para $x'$ e $y'$ son:

{\begin{aligned}x'&=x\cos \theta -y\sin \theta \\y'&=x\sin \theta +y\cos \theta .\end{aligned}}

Los vectores ${\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}$ y ${\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}}$ tienen la misma magnitud y están separadas por un ángulo $θ,$ como era de esperar.

Los puntos en el plano $R²$ también se pueden representar como números complejos : el punto $(x, y)$ en el plano se representa mediante el número complejo $.$

z=x+iy

Esto se puede rotar un ángulo $θ$ multiplicándolo por $e iθ$ y luego expandiendo el producto usando la fórmula de Euler de la siguiente manera:

{\begin{aligned}e^{i\theta }z&=(\cos \theta +i\sin \theta )(x+iy)\\&=x\cos \theta +iy\cos \theta +ix\sin \theta -y\sin \theta \\&=(x\cos \theta -y\sin \theta )+i(x\sin \theta +y\cos \theta )\\&=x'+iy',\end{aligned}}

e igualando las partes real e imaginaria se obtiene el mismo resultado que en una matriz bidimensional:

{\begin{aligned}x'&=x\cos \theta -y\sin \theta \\y'&=x\sin \theta +y\cos \theta .\end{aligned}}

Dado que los números complejos forman un anillo conmutativo , las rotaciones vectoriales en dos dimensiones son conmutativas, a diferencia de lo que ocurre en dimensiones superiores. Tienen un solo grado de libertad , ya que dichas rotaciones están completamente determinadas por el ángulo de rotación. ^{[ 3 ]}

Tres dimensiones

Al igual que en dos dimensiones, se puede usar una matriz para rotar un punto $(x, y, z)$ a un punto $(x', y', z')$ . La matriz utilizada es una matriz de 3 × 3 .

\mathbf {A} ={\begin{pmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{pmatrix}}

Esto se multiplica por un vector que representa el punto para obtener el resultado.

\mathbf {A} {\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x'\\y'\\z'\end{pmatrix}}

El conjunto de todas las matrices apropiadas, junto con la operación de multiplicación de matrices, constituye el grupo de rotación SO(3) . La matriz $A$ pertenece al grupo ortogonal especial tridimensional $SO(3)$ , es decir, es una matriz ortogonal con determinante 1. El hecho de que sea una matriz ortogonal significa que sus filas son un conjunto de vectores unitarios ortogonales (por lo que forman una base ortonormal ), al igual que sus columnas, lo que facilita la identificación y verificación de si una matriz es una matriz de rotación válida.

Los ángulos de Euler y las representaciones eje-ángulo mencionados anteriormente se pueden convertir fácilmente en una matriz de rotación.

Otra posibilidad para representar una rotación de vectores euclidianos tridimensionales son los cuaterniones, que se describen a continuación.

Cuaterniones

Los cuaterniones unitarios , o versores , son, en cierto modo, la representación menos intuitiva de las rotaciones tridimensionales. No constituyen la instancia tridimensional de un enfoque general. Son más compactos que las matrices y más fáciles de manejar que cualquier otro método, por lo que suelen preferirse en aplicaciones prácticas.

Un versor (también llamado cuaternión de rotación ) consta de cuatro números reales, restringidos de modo que la norma del cuaternión sea 1. Esta restricción limita los grados de libertad del cuaternión a tres, como se requiere. A diferencia de las matrices y los números complejos, se necesitan dos multiplicaciones:

\mathbf {x'} =\mathbf {qxq} ^{-1},

donde $q$ es el versor, $q -1$ es su inverso y $x$ es el vector tratado como un cuaternión con parte escalar cero . El cuaternión puede relacionarse con la forma vectorial de rotación del ángulo del eje mediante el mapeo exponencial sobre los cuaterniones.

\mathbf {q} =e^{\mathbf {v} /2},

donde $v$ es el vector de rotación tratado como un cuaternión.

Una sola multiplicación por un versor, ya sea a la izquierda o a la derecha , es en sí misma una rotación, pero en cuatro dimensiones. Cualquier rotación de cuatro dimensiones alrededor del origen puede representarse con dos multiplicaciones de cuaterniones: una a la izquierda y otra a la derecha, mediante dos cuaterniones unitarios diferentes .

Notas adicionales

De forma más general, las rotaciones de coordenadas en cualquier dimensión se representan mediante matrices ortogonales. El conjunto de todas las matrices ortogonales en $n$ dimensiones que describen rotaciones propias (determinante = +1), junto con la operación de multiplicación de matrices, forma el grupo ortogonal especial $SO(n)$ .

Las matrices se utilizan a menudo para realizar transformaciones, especialmente cuando se transforma un gran número de puntos, ya que representan directamente el operador lineal . Las rotaciones representadas de otras maneras suelen convertirse a matrices antes de su uso. Se pueden extender para representar rotaciones y transformaciones simultáneamente mediante coordenadas homogéneas . Las transformaciones proyectivas se representan mediante matrices de 4 × 4. Estas no son matrices de rotación, pero una transformación que representa una rotación euclidiana tiene una matriz de rotación de 3 × 3 en la esquina superior izquierda.

La principal desventaja de las matrices es que su cálculo y las operaciones realizadas con ellas resultan más costosas. Además, en cálculos donde la inestabilidad numérica es un factor importante, las matrices pueden ser más propensas a ella, por lo que es necesario realizar con mayor frecuencia cálculos para restablecer la ortonormalidad , que resultan costosos para las matrices.

Más alternativas al formalismo matricial

Como se demostró anteriormente, existen tres formalismos de rotación de álgebra multilineal : uno con U(1), o números complejos , para dos dimensiones, y otros dos con versores, o cuaterniones , para tres y cuatro dimensiones.

En general (incluso para vectores con una forma cuadrática de Minkowski no euclidiana ), la rotación de un espacio vectorial puede expresarse como un bivector . Este formalismo se utiliza en álgebra geométrica y, de forma más general, en la representación de grupos de Lie mediante álgebra de Clifford .

En el caso de una forma cuadrática euclidiana definida positiva, el grupo de recubrimiento doble del grupo de isometría $\mathrm {SO} (n)$ es conocido como el grupo Spin , $\mathrm {Spin} (n)$ Se puede describir convenientemente en términos de un álgebra de Clifford. Los cuaterniones unitarios dan el grupo $\mathrm {Spin} (3)\cong \mathrm {SU} (2)$ .

En geometrías no euclidianas

En geometría esférica , un movimiento directo de la $n$ -esfera (un ejemplo de geometría elíptica ) es equivalente a una rotación del espacio euclidiano de $(n + 1)$ dimensiones alrededor del origen ( $SO(n + 1)$ ). Para $n$ impar , la mayoría de estos movimientos no tienen puntos fijos en la $n$ -esfera y, estrictamente hablando, no son rotaciones de la esfera ; a estos movimientos se les denomina a veces traslaciones de Clifford . Las rotaciones alrededor de un punto fijo en geometrías elípticas e hiperbólicas no difieren de las euclidianas.

La geometría afín y la geometría proyectiva no tienen una noción distinta de rotación.

En relatividad

Una generalización de la rotación se aplica en la relatividad especial , donde se puede considerar que opera en un espacio de cuatro dimensiones, el espaciotiempo , abarcado por tres dimensiones espaciales y una temporal. En la relatividad especial, este espacio se llama espacio de Minkowski , y las rotaciones de cuatro dimensiones, llamadas transformaciones de Lorentz , tienen una interpretación física. Estas transformaciones preservan una forma cuadrática llamada intervalo espaciotemporal .

Si una rotación del espacio de Minkowski se produce en un plano espacial, entonces esta rotación es igual a una rotación espacial en el espacio euclidiano. Por el contrario, una rotación en un plano definido por una dimensión espacial y una dimensión temporal es una rotación hiperbólica , y si este plano contiene el eje temporal del sistema de referencia, se denomina "transformación de Lorentz". Estas transformaciones demuestran la naturaleza pseudoeuclidiana del espacio de Minkowski. Las rotaciones hiperbólicas a veces se describen como " aplicaciones de compresión " y aparecen frecuentemente en diagramas de Minkowski que visualizan la geometría pseudoeuclidiana (1 + 1) dimensional en dibujos planos. El estudio de la relatividad se ocupa del grupo de Lorentz generado por las rotaciones espaciales y las rotaciones hiperbólicas. ^{[ 4 ]}

Mientras que las rotaciones $SO(3)$ , en física y astronomía, corresponden a rotaciones de la esfera celeste como una 2-esfera en el espacio euclidiano tridimensional, las transformaciones de Lorentz de $SO(3;1) +$ inducen transformaciones conformes de la esfera celeste. Se trata de una clase más amplia de transformaciones esféricas conocidas como transformaciones de Möbius .

rotaciones discretas

Importancia

Las rotaciones definen clases importantes de simetría : la simetría rotacional es una invariancia con respecto a una rotación particular . La simetría circular es una invariancia con respecto a cualquier rotación alrededor del eje fijo.

Como se mencionó anteriormente, las rotaciones euclidianas se aplican a la dinámica de cuerpos rígidos . Además, la mayor parte del formalismo matemático en física (como el cálculo vectorial ) es invariante a la rotación; consulte la sección sobre rotación para obtener más información sobre aspectos físicos. Se considera que las rotaciones euclidianas y, en general, la simetría de Lorentz descrita anteriormente , son leyes de simetría de la naturaleza . En cambio, la simetría de reflexión no es una ley de simetría precisa de la naturaleza.

Generalizaciones

Las matrices de valores complejos análogas a las matrices ortogonales reales son las matrices unitarias. $\mathrm {U} (n)$ , que representan rotaciones en el espacio complejo. El conjunto de todas las matrices unitarias en una dimensión dada $n$ forma un grupo unitario. $\mathrm {U} (n)$ de grado $n$ ; y su subgrupo que representa las rotaciones propias (aquellas que preservan la orientación del espacio) es el grupo unitario especial. $\mathrm {SU} (n)$ de grado $n$ . Estas rotaciones complejas son importantes en el contexto de los espinores . Los elementos de $\mathrm {SU} (2)$ se utilizan para parametrizar rotaciones euclidianas tridimensionales (ver más arriba ), así como transformaciones respectivas del espín (ver teoría de representación de SU(2) ).

Véase también

Notas a pie de página

↑ Weisstein, Eric W. "Transformación de coartada". De MathWorld: un recurso web de Wolfram.
↑ Weisstein, Eric W. "Transformación de alias". De MathWorld: un recurso web de Wolfram.
↑ Lounesto 2001, pág. 30.
^ Hestenes 1999, págs. 580–588.

Referencias

Hestenes, David (1999). Nuevos fundamentos para la mecánica clásica . Dordrecht : Kluwer Academic Publishers . ISBN 0-7923-5514-8.

Lounesto, Pertti (2001). Álgebras de Clifford y espinores . Cambridge: Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-00551-7.

Brannon, Rebecca M. (2002). "Una revisión de teoremas útiles que involucran matrices ortogonales propias referenciadas al espacio físico tridimensional" (PDF) . Albuquerque : Laboratorios Nacionales Sandia .

[1] Weisstein, Eric W. "Transformación de coartada". De MathWorld: un recurso web de Wolfram.

[2] Weisstein, Eric W. "Transformación de alias". De MathWorld: un recurso web de Wolfram.

[3] Lounesto 2001, pág. 30.

[4] Hestenes 1999, págs. 580–588.

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]