Viscosidad rotacional

La viscosidad se describe generalmente como la propiedad de un fluido que determina la velocidad a la que se equilibran las diferencias de momento locales. La viscosidad rotacional es una propiedad de un fluido que determina la velocidad a la que se equilibran las diferencias de momento angular locales. En el caso clásico, según el teorema de equipartición , en equilibrio, si las colisiones de partículas pueden transferir tanto momento angular como momento lineal, entonces estos grados de libertad tendrán la misma energía promedio. Si existe una falta de equilibrio entre estos grados de libertad, entonces la velocidad de equilibración estará determinada por el coeficiente de viscosidad rotacional. ^{[ 1 ] : p.304}

Tradicionalmente se ha pensado que la viscosidad rotacional requiere grados de libertad rotacionales para las partículas del fluido, como en los cristales líquidos . En estos fluidos, los grados de libertad rotacionales permiten que el momento angular se convierta en una magnitud dinámica que puede relajarse localmente, dando lugar a la viscosidad rotacional. Sin embargo, trabajos teóricos recientes ^{[ 2 ]} han predicho que la viscosidad rotacional también debería estar presente en fluidos electrónicos viscosos (véase el efecto Gurzhi ) en metales anisótropos . En estos casos, la red iónica rompe explícitamente la simetría rotacional y aplica pares al fluido electrónico, lo que implica la no conservación del momento angular y, por lo tanto, la viscosidad rotacional.

La densidad de momento angular de un elemento fluido se escribe como un tensor antisimétrico (${\displaystyle J_{ij}}$) o, equivalentemente, como un pseudovector . Como tensor, la ecuación para la conservación del momento angular para un fluido simple sin fuerzas externas se escribe:

${\displaystyle {\frac {\partial J_{ij}}{\partial t}}+{\frac {\partial (v_{k}J_{ij})}{\partial x_{k}}}=\left(x_{j}{\frac {\partial P_{ki}}{\partial x_{k}}}-x_{i}{\frac {\partial P_{kj}}{\partial x_{k}}}\right)+(P_{ji}-P_{ij})}$

dónde${\displaystyle v_{i}}$es la velocidad del fluido y${\displaystyle P_{ij}}$es el tensor de presión total (o, equivalentemente, el negativo del tensor de tensión total ). Nótese que se utiliza la convención de suma de Einstein , donde se asume la suma sobre pares de índices coincidentes. El momento angular de un elemento de fluido se puede separar en densidad de momento angular extrínseco debido al flujo (${\displaystyle L_{ij}}$) y la densidad de momento angular intrínseco debido a la rotación de las partículas del fluido alrededor de su centro de masa (${\displaystyle S_{ij}}$):

${\displaystyle J_{ij}=L_{ij}+S_{ij}}$

donde la densidad de momento angular extrínseco es:

${\displaystyle L_{ij}=\rho (x_{i}v_{j}-x_{j}v_{i})}$

y${\displaystyle \rho }$es la densidad de masa del elemento fluido. La ecuación de conservación del momento lineal se escribe:

${\displaystyle {\frac {\partial (\rho v_{i})}{\partial t}}+{\frac {\partial (\rho v_{i}v_{k})}{\partial x_{k}}}=-{\frac {\partial P_{ki}}{\partial x_{k}}}}$

y se puede demostrar que esto implica que:

${\displaystyle {\frac {\partial L_{ij}}{\partial t}}+{\frac {\partial (v_{k}L_{ij})}{\partial x_{k}}}=\left(x_{j}{\frac {\partial P_{ki}}{\partial x_{k}}}-x_{i}{\frac {\partial P_{kj}}{\partial x_{k}}}\right)}$

Restando esto de la ecuación para la conservación del momento angular se obtiene:

${\displaystyle {\frac {\partial S_{ij}}{\partial t}}+{\frac {\partial (v_{k}S_{ij})}{\partial x_{k}}}=P_{ji}-P_{ij}}$

En cualquier situación en la que este último término sea cero, el tensor de presión total será simétrico, y la ecuación de conservación del momento angular será redundante con la de conservación del momento lineal. Sin embargo, si los grados de libertad rotacionales internos de las partículas están acoplados al flujo (a través del término de velocidad en la ecuación anterior), el tensor de presión total no será simétrico, y su componente antisimétrica describirá la tasa de intercambio de momento angular entre el flujo y la rotación de las partículas.

En la aproximación lineal para este transporte de momento angular, la tasa de flujo se escribe: ^{[ 1 ] : p.308}

${\displaystyle P_{ij}-P_{ji}=-\eta _{r}\left({\frac {\partial v_{i}}{\partial x_{j}}}-{\frac {\partial v_{j}}{\partial x_{i}}}-2\omega _{ij}\right)}$

dónde${\displaystyle \omega _{ij}}$es la velocidad angular promedio de las partículas giratorias (como un tensor antisimétrico en lugar de un pseudovector) y${\displaystyle \eta _{r}}$es el coeficiente de viscosidad rotacional.