El teorema de Roth

En matemáticas , el teorema de Roth o teorema de Thue-Siegel-Roth es un resultado fundamental en la aproximación diofántica de números algebraicos . Es de tipo cualitativo y establece que los números algebraicos no pueden tener muchas aproximaciones racionales que sean "muy buenas". A lo largo de medio siglo, el significado de " muy bueno" en este contexto fue refinado por varios matemáticos, comenzando con Joseph Liouville en 1844 y continuando con el trabajo de Axel Thue ( 1909 ) , Carl Ludwig Siegel ( 1921 ) , Freeman Dyson ( 1947 ) y culminando con Klaus Roth ( 1955 ) .    

Esta maquinaria se desarrolló originalmente para demostrar el teorema de Thue en geometría diofántica, que establece que las ecuaciones de Thue (homogéneas bivariadas de grado al menos 3) poseen solo un número finito de soluciones enteras.

El teorema de Roth afirma que todo número algebraico irracional${\displaystyle \alpha }$tiene un exponente de irracionalidad igual a 2. Esto significa que, para cada${\displaystyle \varepsilon >0}$la desigualdad

${\displaystyle \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{q^{2+\varepsilon }}}}$

solo puede tener un número finito de soluciones en números enteros coprimos .${\displaystyle p}$y${\displaystyle q}$La demostración de Roth de este hecho resolvió una conjetura de Siegel. De manera equivalente, para cada número algebraico irracional${\displaystyle \alpha }$y${\displaystyle \varepsilon >0}$, hay una constante${\displaystyle C(\alpha,\epsilon)}$satisfactorio

${\displaystyle \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|>{\frac {C(\alpha ,\varepsilon )}{q^{2+\varepsilon }}}.}$

Dirichlet demostró que cualquier número real${\displaystyle \alpha }$tiene aproximaciones racionales que son cercanas con respecto a sus denominadores: existen infinitos enteros coprimos${\displaystyle p,q}$con

${\displaystyle \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{q^{2}}}.}$

Buscando aproximaciones aún más precisas, se define el exponente de irracionalidad.${\displaystyle \mu (\alpha )}$como el supremo de${\displaystyle \mu }$de tal manera que existan infinitos enteros coprimos${\displaystyle p,q}$con

${\displaystyle \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{q^{\mu }}},}$

de modo que el teorema de Dirichlet da${\displaystyle \mu (\alpha )\geq 2}$El primer límite superior, que restringe la precisión de las aproximaciones racionales, fue el teorema de Liouville que da${\displaystyle \mu (\alpha )\leq d}$para un número algebraico${\displaystyle \alpha }$de grado${\displaystyle d\geq 2}$: para cualquier${\displaystyle \epsilon >0}$, solo hay un número finito de enteros coprimos${\displaystyle p,q}$satisfactorio

${\displaystyle \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{q^{d+\varepsilon }}}.}$

Esto ya es suficiente para demostrar la existencia de números trascendentales . Thue se dio cuenta de que reducir este límite tendría aplicaciones en la solución de ecuaciones diofánticas , y en el teorema de Thue de 1909 se estableció${\displaystyle \mu (\alpha )\leq d/2+1}$, que aplicó para demostrar la finitud de las soluciones de las ecuaciones de Thue . El teorema de Siegel mejora esto a un exponente de aproximadamente${\displaystyle 2{\sqrt {d}}}$y el teorema de Dyson de 1947 tiene un exponente de aproximadamente${\displaystyle {\sqrt {2d}}}$.

El resultado de Roth proporciona el mejor límite posible.${\displaystyle \mu (\alpha )\leq 2}$y por lo tanto${\displaystyle \mu (\alpha )=2}$para todos los números algebraicos irracionales${\displaystyle \alpha }$Sin embargo, existe una conjetura más fuerte de Serge Lang que

${\displaystyle \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{q^{2}\log(q)^{1+\varepsilon }}}}$

solo puede tener un número finito de soluciones en los enteros p y q .

Si uno deja${\displaystyle \alpha }$Si se aplica a todo el conjunto de números reales , no solo a los reales algebraicos, entonces tanto la conclusión de Roth como la de Lang se cumplen para casi todos.${\displaystyle \alpha }$. Por lo tanto, tanto el teorema como la conjetura afirman que a cierto conjunto numerable le falta cierto conjunto de medida cero . ^{[ 1 ]}

El teorema no es efectivo actualmente : es decir, no se conoce ningún límite sobre los posibles valores de${\displaystyle p}$y${\displaystyle q}$dado${\displaystyle \alpha }$. ^{[ 2 ]} Davenport y Roth (1955) demostraron que las técnicas de Roth podían usarse para dar un límite efectivo para el número de${\displaystyle p}$y${\displaystyle q}$satisfaciendo la desigualdad, utilizando un principio de "brecha". ^{[ 2 ]} El hecho de que en realidad no lo sabemos${\displaystyle C(\varepsilon )}$Esto significa que el proyecto de resolver la ecuación, o de acotar el tamaño de las soluciones, está fuera de nuestro alcance.

La técnica de demostración implica construir un polinomio multivariable auxiliar en un número arbitrariamente grande de variables dependiendo de${\displaystyle \varepsilon }$Esto conduce a una contradicción ante la presencia de demasiadas buenas aproximaciones. Más específicamente, se encuentra un cierto número de aproximaciones racionales al número algebraico irracional en cuestión, y luego se aplica la función a cada una de ellas simultáneamente (es decir, cada uno de estos números racionales sirve como entrada para una variable única en la expresión que define nuestra función). Por su naturaleza, era ineficaz (véanse los resultados efectivos en teoría de números ); esto es de particular interés ya que una aplicación importante de este tipo de resultado es acotar el número de soluciones de algunas ecuaciones diofánticas.

Existe una versión de dimensiones superiores, el teorema del subespacio de Schmidt , del resultado básico. También existen numerosas extensiones, por ejemplo, utilizando la métrica p -ádica , ^{[ 3 ]} basada en el método de Roth.

William J. LeVeque generalizó el resultado demostrando que se cumple una cota similar cuando los números de aproximación se toman de un cuerpo numérico algebraico fijo . Definir la altura${\displaystyle H(\xi )}$de un número algebraico${\displaystyle \xi }$ser el máximo de los valores absolutos de los coeficientes de su polinomio mínimo . Fijar${\displaystyle \kappa >2}$Para un número algebraico dado${\displaystyle \alpha }$y el campo de los números algebraicos${\displaystyle K}$, la ecuación

${\displaystyle |\alpha -\xi |<{\frac {1}{H(\xi )^{\kappa }}}}$

tiene solo un número finito de soluciones en elementos.${\displaystyle \xi }$de${\displaystyle K}$. ^{[ 4 ]}

• Teorema de Davenport-Schmidt
• Conjetura de Granville-Langevin
• Teorema de Størmer
• Geometría diofántica

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• Dyson, Freeman J. (1947), "La aproximación a números algebraicos mediante racionales", Acta Mathematica , 79 : 225–240 , doi : 10.1007/BF02404697 , ISSN 0001-5962 , MR 0023854 , Zbl 0030.02101   
• Roth, Klaus Friedrich (1955), "Aproximaciones racionales a números algebraicos", Mathematika , 2 : 1–20 , 168, doi : 10.1112/S0025579300000644 , ISSN 0025-5793 , MR 0072182 , Zbl 0064.28501   
• Wolfgang M. Schmidt (1996) [1980], Aproximación diofántica , Lecture Notes in Mathematics , vol.  785, Springer, doi : 10.1007/978-3-540-38645-2 , ISBN 978-3-540-09762-4
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• Siegel, Carl Ludwig (1921), "Aproximación algebraischer Zahlen" , Mathematische Zeitschrift , 10 (3): 173– 213, doi : 10.1007/BF01211608 , ISSN 0025-5874 , MR 1544471 , S2CID 119577458   
• Thue, A. (1909), "Über Annäherungswerte algebraischer Zahlen" , Journal für die reine und angewandte Mathematik , 1909 (135): 284– 305, doi : 10.1515/crll.1909.135.284 , ISSN 0075-4102 , S2CID 125903243  

• Baker, Alan (1975), Teoría trascendental de los números , Cambridge University Press , ISBN 0-521-20461-5, Zbl 0297.10013 
• Baker, Alan ; Wüstholz, Gisbert (2007), Formas logarítmicas y geometría diofántica , Nuevas monografías matemáticas, vol.  9, Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-88268-2, Zbl 1145.11004 
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