Row echelon form

In linear algebra, a matrix is in row echelon form if it can be obtained as the result of Gaussian elimination. Every matrix can be put in row echelon form by applying a sequence of elementary row operations. The term echelon comes from the French échelon ("level" or step of a ladder), and refers to the fact that the nonzero entries of a matrix in row echelon form look like the steps of a staircase.

For square matrices, an upper triangular matrix with nonzero entries on the diagonal is in row echelon form, and a matrix in row echelon form is (weakly) upper triangular. Thus, the row echelon form can be viewed as a generalization of upper triangular form for rectangular matrices.

A matrix is in reduced row echelon form if it is in row echelon form, with the additional property that the first nonzero entry of each row is equal to ${\displaystyle 1}$ and is the only nonzero entry of its column. The reduced row echelon form of a matrix is unique and does not depend on the sequence of elementary row operations that is used to obtain it. The specific type of Gaussian elimination that transforms a matrix to reduced row echelon form is sometimes called Gauss–Jordan elimination.

A matrix is in column echelon form if its transpose is in row echelon form. Since all properties of column echelon forms can therefore immediately be deduced from the corresponding properties of row echelon forms, only row echelon forms are considered in the remainder of the article.

A matrix is in row echelon form if

• All rows having only zero entries are at the bottom.^[1]
• The leading entry (that is, the leftmost non-zero entry) of every non-zero row, called the pivot, is to the right of the leading entry of every row above.^[2]

Some texts add the condition that the leading coefficient must be 1^[3] while others require this only in reduced row echelon form.

These two conditions imply that all entries in a column below a leading coefficient are zeros.^[4]

The following is an example of a ${\displaystyle 4\times 5}$ matrix in row echelon form, but not in reduced row echelon form:

${\displaystyle \left[{\begin{array}{ccccc}1&a_{0}&a_{1}&a_{2}&a_{3}\\0&0&2&a_{4}&a_{5}\\0&0&0&1&a_{6}\\0&0&0&0&0\end{array}}\right]}$

Many properties of matrices may be easily deduced from their row echelon form, such as the rank and the kernel.

Una matriz está en forma escalonada reducida por filas (también llamada forma canónica por filas ) si satisface las siguientes condiciones: ^{[ 5 ]}

• Está dispuesta en filas escalonadas.
• El primer elemento de cada fila distinta de cero es 1 (llamado uno inicial).
• Cada columna que comienza con un 1 tiene ceros en todas las demás entradas.

Si se cumplen las dos primeras condiciones, la última condición es equivalente a:

• Cada columna que contiene un 1 inicial tiene ceros en todas las entradas que están encima del 1 inicial .

Si bien una matriz puede tener varias formas escalonadas, su forma escalonada reducida es única. ^{[ 6 ]}

Dada una matriz en forma escalonada reducida por filas, si se permutan las columnas de manera que el 1 principal de la i -ésima fila quede en la i- ésima columna, se obtiene una matriz de la forma

${\displaystyle {\begin{pmatrix}I&X\\0&0\end{pmatrix}},}$

donde I es la matriz identidad de dimensión ${\displaystyle j}$igual al rango de toda la matriz, X es una matriz con${\displaystyle j}$filas y${\displaystyle nj}$columnas, y los dos 0 son matrices nulas del tamaño apropiado. Dado que una permutación de columnas no es una operación de fila, la matriz resultante no es equivalente bajo operaciones elementales de fila. En el método de eliminación gaussiana, esto corresponde a una permutación de las incógnitas en el sistema lineal original que permite una parametrización lineal del espacio de filas, en la que la primera${\displaystyle j}$Los coeficientes no están restringidos y el resto${\displaystyle nj}$se determinan como combinaciones lineales de estos.

Se dice que un sistema de ecuaciones lineales está en forma escalonada por filas si su matriz aumentada está en forma escalonada por filas. De manera similar, se dice que un sistema de ecuaciones lineales está en forma escalonada por filas reducida o en forma canónica si su matriz aumentada está en forma escalonada por filas reducida.

La forma canónica puede considerarse una solución explícita del sistema lineal. De hecho, el sistema es inconsistente si y solo si una de las ecuaciones de la forma canónica se reduce a 0 = 1; es decir, si hay un 1 principal en la columna de los términos constantes. ^{[ 7 ]} De lo contrario, al reagrupar en el lado derecho todos los términos de las ecuaciones excepto los principales, las variables correspondientes a los pivotes se expresan como constantes o funciones lineales de las demás variables, si las hay.

La eliminación gaussiana es el algoritmo principal para transformar cualquier matriz en una matriz en forma escalonada por filas. Una variante, a veces llamada eliminación de Gauss-Jordan, produce una forma escalonada por filas reducida. Ambas consisten en una secuencia finita de operaciones elementales de fila ; el número de operaciones elementales de fila requeridas es como máximo mn para una matriz m × n . ^{[ 8 ]} Para una matriz dada, aunque la forma escalonada por filas no sea única, todas las formas escalonadas por filas, incluida la forma escalonada por filas reducida, tienen el mismo número de filas cero y los pivotes se encuentran en las mismas posiciones. ^{[ 8 ]}

Este es un ejemplo de una matriz en forma escalonada reducida por filas, que muestra que la parte izquierda de la matriz no siempre es una matriz identidad :

${\displaystyle \left[{\begin{array}{ccccc}1&0&a_{1}&0&b_{1}\\0&1&a_{2}&0&b_{2}\\0&0&0&1&b_{3}\end{array}}\right]}$

Para una matriz con coeficientes enteros , la forma normal de Hermite es una forma escalonada por filas que se puede calcular sin introducir ningún denominador, mediante la división euclidiana o la identidad de Bézout . La forma escalonada reducida de una matriz con entradas enteras generalmente contiene entradas no enteras, debido a la necesidad de dividir cada fila de la forma escalonada por su coeficiente principal.

La no unicidad de la forma escalonada por filas de una matriz se deriva del hecho de que algunas operaciones elementales de fila transforman una matriz en forma escalonada por filas en otra matriz ( equivalente ) que también está en forma escalonada por filas. Estas operaciones elementales de fila incluyen la multiplicación de una fila por un escalar distinto de cero y la suma de un múltiplo escalar de una fila a una de las filas superiores. Por ejemplo:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&3&-1\\0&1&7\\\end{bmatrix}}{\xrightarrow {\text{añadir fila 2 a fila 1}}}{\begin{bmatrix}1&4&6\\0&1&7\\\end{bmatrix}}.}$

En este ejemplo, la forma escalonada reducida de filas única se puede obtener restando tres veces la segunda fila de la primera fila  :

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&3&-1\\0&1&7\\\end{bmatrix}}\xrightarrow {{\text{restar 3}}\times {\text{(fila 2) de la fila 1}}} {\begin{bmatrix}1&0&-22\\0&1&7\\\end{bmatrix}}.}$

Ahora indique la ubicación de las columnas que contienen las entradas principales de las filas sucesivas de una${\displaystyle k\times n}$matriz${\displaystyle A}$en forma de escalón de filas reducido (los pivotes) como${\ Displaystyle (L_ {1}, \ puntos, L_ {j})}$, con

${\displaystyle 0<L_{1}\cdots <L_{j}\leq n,}$

dónde${\displaystyle j\leq k}$es la dimensión del espacio fila de la matriz. Los datos${\displaystyle (k,n,L_{1},\ldots ,L_{j})}$se llamará la forma de${\displaystyle A}$, que tiene entradas líderes distintas de cero ${\displaystyle \{A_{i,L_{i}}=1\}_{i=1,\dots ,j}}$, las entradas en la columna${\displaystyle L_{i}}$Los elementos que están por encima y por debajo desaparecen, al igual que todos los que están a su izquierda dentro de la misma fila, así como todas las entradas en la${\displaystyle i}$fila para${\displaystyle i>j}$:

${\displaystyle {\begin{aligned}A_{i,L_{i}}=1\qquad &{\text{para }}i=1,\dots ,j,\\A_{l,L_{i}}=0\qquad &{\text{para }}l\neq i,\\A_{i,l}=0\qquad &{\text{para }}l<L_{i},\\A_{i,l}=0\qquad &{\text{para }}i>j\end{aligned}}.}$

Dado que todas las demás entradas son elementos arbitrarios del campo base${\displaystyle K}$, el conjunto${\displaystyle A(k,n,L_{1},\ldots ,L_{j})}$de todas las matrices de forma escalonada reducida con forma${\displaystyle (k,n,L_{1},\ldots ,L_{j})}$es un espacio K -afín de dimensión ^{[ 9 ] [ 10 ]}

${\displaystyle {\text{dim}}(A(k,n,L_{1},\dots ,L_{j}))=nj-{\frac {1}{2}}j(j-1)-\sum _{i=1}^{j}L_{i}.}$

Para ver esto, tenga en cuenta que, de la${\displaystyle nj}$posibles entradas de la matriz dentro de la primera${\displaystyle j}$filas,${\displaystyle j^{2}}$se determinan como${\displaystyle 0}$'arena${\displaystyle 1}$es porque están en las columnas${\ Displaystyle (L_ {1}, \ puntos, L_ {j})}$que contiene los pivotes. Un adicional ${\displaystyle \sum _{i=1}^{j}(L_{i}-1)}$También se requiere que sean${\displaystyle 0}$, porque están a la izquierda de los pivotes, pero de estos,

${\displaystyle \sum _{i=0}^{j-1}i={\frac {1}{2}}j(j-1)}$

también están en las columnas${\ Displaystyle (L_ {1}, \ puntos, L_ {j})}$. Por lo tanto, el número total de entradas que no están fijas es igual a${\displaystyle 0}$o${\displaystyle 1}$es

${\displaystyle nj-j^{2}+{\frac {1}{2}}j(j-1)-\sum _{i=1}^{j}L_{i}+j=nj-{\frac {1}{2}}j(j-1)-\sum _{i=1}^{j}L_{i}.}$

• Leon, Steven J. (2010), Lynch, Deirdre; Hoffman, William; Celano, Caroline (eds.), Álgebra lineal con aplicaciones (8.ª  ed.), Pearson, ISBN 978-0-13-600929-0Se dice que una matriz está en forma escalonada por filas (i) Si la primera entrada no nula en cada fila no nula es 1. (ii) Si la fila k no consta enteramente de ceros, el número de entradas nulas iniciales en la fila${\displaystyle k+1}$es mayor que el número de entradas cero iniciales en la fila k . (iii) Si hay filas cuyas entradas son todas cero, están debajo de las filas que tienen entradas distintas de cero..
• Meyer, Carl D. (2000), Análisis matricial y álgebra lineal aplicada , SIAM , ISBN 978-0-89871-454-8.

• Tutorial interactivo sobre la forma escalonada de filas por Kardi Teknomo, PhD