Vectores fila y columna

En álgebra lineal , un vector columna con ⁠${\displaystyle m}$⁠ elementos es un${\displaystyle m\times 1}$matriz ^{[ 1 ]} que consta de una sola columna de ⁠${\displaystyle m}$entradas . De manera similar, un vector fila es un${\displaystyle 1\times n}$matriz, que consta de una sola fila de ⁠${\displaystyle n}$entradas . Por ejemplo ,${\displaystyle {\boldsymbol {x}}}$es un vector columna y${\displaystyle {\boldsymbol {a}}}$es un vector fila:

$${\displaystyle {\boldsymbol {x}}={\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{m}\end{bmatrix}},\quad {\boldsymbol {a}}={\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}&\dots &a_{n}\end{bmatrix}}.}$$ (A lo largo de este artículo, se utiliza negrita tanto para los vectores fila como para los vectores columna).

La transpuesta (indicada por T ) de cualquier vector fila es un vector columna, y la transpuesta de cualquier vector columna es un vector fila: $${\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{1}\;x_{2}\;\dots \;x_{m}\end{bmatrix}}^{\rm {T}}={\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{m}\end{bmatrix}},\quad {\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{m}\end{bmatrix}}^{\rm {T}}={\begin{bmatrix}x_{1}\;x_{2}\;\dots \;x_{m}\end{bmatrix}}.}$$ Al tomar la transpuesta dos veces se obtiene el vector original (fila o columna) :${\displaystyle \textstyle {\bigl (}{\boldsymbol {x}}^{\rm {T}}{\bigr )}{\vphantom {)}}^{\rm {T}}={\boldsymbol {x}}}$.​

El conjunto de todos los vectores fila con n entradas en un campo dado (como los números reales ) forma un espacio vectorial n -dimensional ; de manera similar, el conjunto de todos los vectores columna con m entradas forma un espacio vectorial m- dimensional.

El espacio de vectores fila con n entradas puede considerarse como el espacio dual del espacio de vectores columna con n entradas, ya que cualquier funcional lineal en el espacio de vectores columna puede representarse como la multiplicación por la izquierda de un único vector fila.

Para simplificar la escritura de vectores columna en línea con otro texto, a veces se escriben como vectores fila a los que se les aplica la operación de transposición.

$${\displaystyle {\boldsymbol {x}}={\begin{bmatrix}x_{1}\;x_{2}\;\dots \;x_{m}\end{bmatrix}}^{\rm {T}}}$$

Algunos autores también utilizan la convención de escribir tanto los vectores columna como los vectores fila como filas, pero separando los elementos de los vectores fila con comas y los elementos de los vectores columna con punto y coma (véase la notación alternativa 2 en la tabla siguiente).

La multiplicación de matrices consiste en multiplicar cada vector fila de una matriz por cada vector columna de otra matriz.

El producto escalar de dos vectores columna a , b , considerados como elementos de un espacio de coordenadas, es igual al producto matricial de la transpuesta de a con b ,

$${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\mathbf {a} ^{\rm {T}}\mathbf {b} ={\begin{bmatrix}a_{1}&\cdots &a_{n}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}b_{1}\\\vdots \\b_{n}\end{bmatrix}}=a_{1}b_{1}+\cdots +a_{n}b_{n}\,,}$$

Por la simetría del producto escalar, el producto escalar de dos vectores columna a y b también es igual al producto matricial de la transpuesta de b con a .

$${\displaystyle \mathbf {b} \cdot \mathbf {a} =\mathbf {b} ^{\rm {T}}\mathbf {a} ={\begin{bmatrix}b_{1}&\cdots &b_{n}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{1}\\\vdots \\a_{n}\end{bmatrix}}=a_{1}b_{1}+\cdots +a_{n}b_{n}\,.}$$

El producto matricial de un vector columna y un vector fila da el producto exterior de dos vectores a , b , un ejemplo del producto tensorial más general . El producto matricial de la representación vectorial columna de a y la representación vectorial fila de b da los componentes de su producto diádico,

$${\displaystyle \mathbf {a} \otimes \mathbf {b} =\mathbf {a} \mathbf {b} ^{\rm {T}}={\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}b_{1}&b_{2}&b_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{1}b_{1}&a_{1}b_{2}&a_{1}b_{3}\\a_{2}b_{1}&a_{2}b_{2}&a_{2}b_{3}\\a_{3}b_{1}&a_{3}b_{2}&a_{3}b_{3}\\\end{bmatrix}}\,,}$$

que es la transpuesta del producto matricial de la representación vectorial columna de b y la representación vectorial fila de a ,

$${\displaystyle \mathbf {b} \otimes \mathbf {a} =\mathbf {b} \mathbf {a} ^{\rm {T}}={\begin{bmatrix}b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}b_{1}a_{1}&b_{1}a_{2}&b_{1}a_{3}\\b_{2}a_{1}&b_{2}a_{2}&b_{2}a_{3}\\b_{3}a_{1}&b_{3}a_{2}&b_{3}a_{3}\\\end{bmatrix}}\,.}$$

Una matriz M de n × n puede representar una transformación lineal y actuar sobre los vectores fila y columna como la matriz de transformación de dicha transformación . Para un vector fila v , el producto v M es otro vector fila p :

$${\displaystyle \mathbf {v} M=\mathbf {p} \,.}$$

Otra matriz n × n Q puede actuar sobre p ,

$${\displaystyle \mathbf {p} Q=\mathbf {t} \,.}$$

Entonces se puede escribir t = p Q = v MQ , de modo que la transformación de producto matricial MQ mapea v directamente a t . Continuando con vectores fila, se pueden aplicar transformaciones matriciales que reconfiguran aún más el espacio n a la derecha de las salidas anteriores.

Cuando un vector columna se transforma en otro vector columna bajo una acción de matriz n × n , la operación ocurre hacia la izquierda,

$${\displaystyle \mathbf {p} ^{\mathrm {T} }=M\mathbf {v} ^{\mathrm {T} }\,,\quad \mathbf {t} ^{\mathrm {T} }=Q\mathbf {p} ^{\mathrm {T} },}$$

lo que lleva a la expresión algebraica QM v ^T para la salida compuesta a partir de la entrada v ^T. Las transformaciones matriciales se acumulan hacia la izquierda en este uso de un vector columna como entrada para la transformación matricial.

• Covarianza y contravarianza de vectores
• Notación de índice
• Vector de unos
• Vector de entrada única
• Vector unitario estándar
• Vector unitario

• Axler, Sheldon Jay (1997), Álgebra lineal bien hecha (2.ª  ed.), Springer-Verlag, ISBN 0-387-98259-0
• Lay, David C. (22 de agosto de 2005), Álgebra lineal y sus aplicaciones (3.ª  ed.), Addison Wesley, ISBN 978-0-321-28713-7
• Meyer, Carl D. (15 de febrero de 2001), Análisis matricial y álgebra lineal aplicada , Sociedad de Matemáticas Industriales y Aplicadas (SIAM), ISBN 978-0-89871-454-8Archivado del original el 1 de marzo de 2001.
• Poole, David (2006), Álgebra lineal: una introducción moderna (2.ª  ed.), Brooks/Cole, ISBN 0-534-99845-3
• Anton, Howard (2005), Álgebra lineal elemental (versión de aplicaciones) (9.ª  ed.), Wiley International
• Leon, Steven J. (2006), Álgebra lineal con aplicaciones (7.ª  ed.), Pearson Prentice Hall