El gobierno de Ruffini

En matemáticas , la regla de Ruffini es un método para calcular la división euclidiana de un polinomio por un binomio de la forma x − r . Fue descrita por Paolo Ruffini en 1809. ^{[ 1 ]} La regla es un caso especial de división sintética en la que el divisor es un factor mónico lineal .

La regla establece un método para dividir el polinomio:

${\displaystyle P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}}$

por el binomial:

${\displaystyle Q(x)=xr}$

para obtener el polinomio cociente:

${\displaystyle R(x)=b_{n-1}x^{n-1}+b_{n-2}x^{n-2}+\cdots +b_{1}x+b_{0}.}$

El algoritmo es, de hecho, la división larga de P ( x ) por Q ( x ).

Para dividir P ( x ) entre Q ( x ):

1. Toma todos los coeficientes de P ( x ), incluyendo cero para cualquier término faltante, y escríbelos en orden decreciente de grado. Luego, escribe r en el borde inferior izquierdo justo encima de la línea:

   ${\displaystyle {\begin{array}{c|cccc|c}&a_{n}&a_{n-1}&\dots &a_{1}&a_{0}\\r&&&&&\\\hline &&&&&\\\end{array}}}$

2. Pasa el coeficiente más a la izquierda ( a _n ) a la parte inferior justo debajo de la línea.

   ${\displaystyle {\begin{array}{c|cccc|c}&a_{n}&a_{n-1}&\dots &a_{1}&a_{0}\\r&&&&&\\\hline &a_{n}&&&&\\&=b_{n-1}&&&&\end{array}}}$

3. Multiplica el número que está más a la derecha debajo de la línea por r y escríbelo encima de la línea y una posición a la derecha.

   ${\displaystyle {\begin{array}{c|cccc|c}&a_{n}&a_{n-1}&\dots &a_{1}&a_{0}\\r&&b_{n-1}\cdot r&&&\\\hline &a_{n}&&&&\\&=b_{n-1}&&&&\end{array}}}$

4. Suma los dos valores que acabas de colocar en la misma columna.

   ${\displaystyle {\begin{array}{c|cccc|c}&a_{n}&a_{n-1}&\dots &a_{1}&a_{0}\\r&&b_{n-1}\cdot r&&&\\\hline &a_{n}&b_{n-1}\cdot r+a_{n-1}&&&\\&=b_{n-1}&=b_{n-2}&&&\end{array}}}$

5. Repita los pasos 3 y 4 hasta que no queden números.

   ${\displaystyle {\begin{array}{c|cccc|c}&a_{n}&a_{n-1}&\dots &a_{1}&a_{0}\\r&&b_{n-1}\cdot r&\dots &b_{1}\cdot r&b_{0}\cdot r\\\hline &a_{n}&b_{n-1}\cdot r+a_{n-1}&\dots &b_{1}\cdot r+a_{1}&a_{0}+b_{0}\cdot r\\&=b_{n-1}&=b_{n-2}&\dots &=b_{0}&=s\\\end{array}}}$

Los valores b son los coeficientes del polinomio resultante ( R ( x )), cuyo grado es uno menor que el de P ( x ). El valor final obtenido, s , es el resto. El teorema del resto de un polinomio afirma que el resto es igual a P ( r ), el valor del polinomio en r .

Aquí se muestra un ejemplo de división de polinomios como se describió anteriormente.

Dejar:

${\displaystyle P(x)=2x^{3}+3x^{2}-4\,\!}$

${\displaystyle Q(x)=x+1.\,\!}$

P ( x ) se dividirá entre Q ( x ) usando la regla de Ruffini. El problema principal es que Q ( x ) no es un binomio de la forma x − r , sino x + r . Q ( x ) debe reescribirse como

${\displaystyle Q(x)=x+1=x-(-1).\,\!}$

Ahora se aplica el algoritmo:

1. Escriba los coeficientes y r . Tenga en cuenta que, como P ( x ) no contenía un coeficiente para x , se escribe 0:

    | 2 3 0 | -4 | | -1 | | ----|--------------------|------- | | | | 

2. Pasa el primer coeficiente hacia abajo:

    | 2 3 0 | -4 | | -1 | | ----|--------------------|------- | 2 | | | 

3. Multiplica el último valor obtenido por r :

    | 2 3 0 | -4 | | -1 | -2 | ----|--------------------|------- | 2 | | | 

4. Suma los valores:

    | 2 3 0 | -4 | | -1 | -2 | ----|--------------------|------- | 2 1 | | | 

5. Repita los pasos 3 y 4 hasta que esté terminado:

    | 2 3 0 | -4 | | -1 | -2 -1 | 1 ----|---------------------------- | 2 1 -1 | -3 |{coeficientes de resultado}|{resto} 

Entonces, si el número original = divisor × cociente + resto , entonces

${\displaystyle P(x)=Q(x)R(x)+s\,\!}$, dónde

${\displaystyle R(x)=2x^{2}+x-1\,\!}$y${\displaystyle s=-3;\quad \Rightarrow 2x^{3}+3x^{2}-4=(2x^{2}+x-1)(x+1)-3\!}$

La regla de Ruffini se puede utilizar cuando se necesita el cociente de un polinomio P por un binomio de la forma${\displaystyle xr.}$(Cuando solo se necesita el resto, el teorema del resto de un polinomio proporciona un método más sencillo).

Un ejemplo típico, donde se necesita el cociente, es la factorización de un polinomio.${\displaystyle p(x)}$para la cual se conoce una raíz r :

El resto de la división euclidiana de${\displaystyle p(x)}$por r es 0 y, si el cociente es${\displaystyle q(x),}$La división euclidiana se escribe como

${\displaystyle p(x)=q(x)\,(xr).}$

Esto da una factorización (posiblemente parcial) de${\displaystyle p(x),}$que se puede calcular con la regla de Ruffini. Entonces,${\displaystyle p(x)}$puede ser factorizado aún más mediante factorización${\displaystyle q(x).}$

El teorema fundamental del álgebra establece que todo polinomio de grado positivo tiene al menos una raíz compleja . El proceso anterior muestra que el teorema fundamental del álgebra implica que todo polinomio p ( x ) = a _n x ⁿ + a _{n −1} x ^{n −1} + ⋯ + a ₁ x + a ₀ puede factorizarse como

${\displaystyle p(x)=a_{n}(x-r_{1})\cdots (x-r_{n}),}$

dónde${\displaystyle r_{1},\ldots ,r_{n}}$son números complejos.

El método fue inventado por Paolo Ruffini , quien participó en un concurso organizado por la Sociedad Científica Italiana (de los Cuarenta). El reto consistía en idear un método para hallar las raíces de cualquier polinomio. Se recibieron cinco propuestas. En 1804, Ruffini obtuvo el primer premio y su método fue publicado. Posteriormente, publicó mejoras de su trabajo en 1807 y de nuevo en 1813.

• El método de Lill , realizando la división gráficamente.
• Método de Horner

• Weisstein, Eric W. "La regla de Ruffini" . MathWorld .
• Medios relacionados con el gobierno de Ruffini en Wikimedia Commons