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Articulo de referencia

Regla del 72

En finanzas , la regla del 72 , la regla del 70 [ 1 ] y la regla del 69,3 son métodos para estimar el tiempo de duplicación de una inversión . El número de la regla (p. ej., 72)...

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En finanzas , la regla del 72 , la regla del 70 [ 1 ] y la regla del 69,3 son métodos para estimar el tiempo de duplicación de una inversión . El número de la regla (p. ej., 72) se divide por el porcentaje de interés por período (generalmente años) para obtener el número aproximado de períodos necesarios para la duplicación. Si bien las calculadoras científicas y las hojas de cálculo tienen funciones para hallar el tiempo de duplicación exacto, las reglas son útiles para cálculos mentales o cuando solo se dispone de una calculadora básica . [ 2 ]

Estas reglas se aplican al crecimiento exponencial y, por lo tanto, se utilizan para el interés compuesto, a diferencia del interés simple . También pueden usarse para calcular el tiempo de reducción a la mitad. La elección del número es principalmente una cuestión de preferencia: 69 es más preciso para la capitalización continua, mientras que 72 funciona bien en situaciones de interés común y es más fácilmente divisible.

Existen varias variaciones de las reglas que mejoran la precisión. Para la capitalización periódica, el tiempo exacto de duplicación para una tasa de interés del r por ciento por período es

t=ln⁡(2)ln⁡(1+r/100)≈72r,{\displaystyle t={\frac {\ln(2)}{\ln(1+r/100)}}\approx {\frac {72}{r}},}

donde t es el número de periodos necesarios. La fórmula anterior sirve para algo más que calcular el tiempo de duplicación. Por ejemplo, si se quiere calcular el tiempo de triplicación, basta con sustituir el 2 del numerador por 3. Otro ejemplo: si se quiere calcular el número de periodos necesarios para que el valor inicial aumente un 35%, basta con sustituir el 2 por 1,35.

Utilizar la regla para estimar los períodos de capitalización

Para estimar el número de períodos necesarios para duplicar una inversión inicial, divida la "cantidad reglada" más conveniente entre la tasa de crecimiento esperada, expresada como porcentaje.

  • Por ejemplo, si invirtiera $100 con interés compuesto a una tasa del 9% anual, la regla del 72 da 72/9 = 8 años necesarios para que la inversión valga $200; un cálculo exacto da ln(2) /ln(1+0.09) = 8.0432 años.

De manera similar, para determinar el tiempo que tarda el valor del dinero en reducirse a la mitad a una tasa determinada, divida la cantidad reglamentaria entre esa tasa.

  • Para determinar el tiempo que tarda el poder adquisitivo del dinero en reducirse a la mitad, los financieros dividen la cantidad reglamentaria entre la tasa de inflación . Así, con una inflación del 3,5%, según la regla del 70 , se necesitarían aproximadamente 70/3,5 = 20 años para que el valor de una unidad monetaria se redujera a la mitad. [ 1 ]
  • Para estimar el impacto de las comisiones adicionales en las pólizas financieras (por ejemplo, los cargos por comisiones y gastos en las carteras de inversión de seguros de vida universales variables ), divida 72 entre la comisión. Por ejemplo, si la póliza de seguro de vida universal cobra una comisión anual del 3 % sobre el costo del fondo de inversión subyacente, el valor total de la cuenta se reducirá al 50 % en 72 / 3 = 24 años, y luego al 25 % de su valor en 48 años, en comparación con mantener exactamente la misma inversión fuera de la póliza.

Elección de regla

El valor 72 es una opción conveniente para el numerador, ya que tiene muchos divisores pequeños : 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9 y 12. Proporciona una buena aproximación para la capitalización anual y para la capitalización a tasas típicas (del 6% al 10%); las aproximaciones son menos precisas a tasas de interés más altas.

Para la capitalización continua, 69 da resultados precisos para cualquier tasa, ya que ln (2) es aproximadamente 69,3%; véase la derivación a continuación. Dado que la capitalización diaria es bastante cercana a la capitalización continua, para la mayoría de los propósitos 69, 69,3 o 70 son mejores que 72 para la capitalización diaria. Para tasas anuales más bajas que las anteriores, 69,3 también sería más preciso que 72. [ 3 ] Para tasas anuales más altas, 78 es más preciso.

Nota: El valor más preciso de cada fila aparece en negrita.

Gráficos que comparan los tiempos de duplicación y las vidas medias de los crecimientos exponenciales (líneas gruesas) y la decrecimiento (líneas finas), y sus aproximaciones 70/ t y 72/ t . En la versión SVG , coloque el cursor sobre un gráfico para resaltarlo junto con su complemento.

Historia

Una de las primeras referencias a esta regla se encuentra en la Summa de arithmetica (Venecia, 1494, folio 181, nota 44) de Luca Pacioli (1445-1514). En ella, Pacioli presenta la regla en un análisis sobre la estimación del tiempo de duplicación de una inversión, pero no la deduce ni la explica, por lo que se supone que la regla es anterior a Pacioli.

A voler sapere ogni quantità a tanto per 100 l'anno, in quanti anni sarà tornata doppia tra utile e capitale, tieni per regola 72 , a mente, il quale semper partirai per l'interesse, e quello che ne viene, in tanti anni sarà raddoppiato. Esempio: Quando l'interesse è a 6 por 100 el año, dico che si parta 72 por 6; ne vien 12, e in 12 anni sarà raddoppiato il capitale. (énfasis añadido).

Traducido aproximadamente:

Para saber cuántos años tardará un capital en duplicarse, sumándole los intereses, a un determinado porcentaje anual, tenga en cuenta el número 72 , que siempre se divide entre el interés. El resultado indica que en ese número de años se habrá duplicado. Por ejemplo: si el interés es del 6% anual, se divide 72 entre 6; el resultado es 12, y en 12 años el capital se habrá duplicado.

Derivación

capitalización periódica

Para la capitalización periódica , el valor futuro viene dado por:

FV=PAGV⋅(1+r/100)t{\displaystyle FV=PV\cdot (1+r/100)^{t}}

dóndePAGV{\displaystyle PV}es el valor presente ,t{\displaystyle t}es el número de períodos de tiempo, yr{\displaystyle r}representa la tasa de interés por período de tiempo.

El valor futuro es el doble del valor presente cuando:

FV=2⋅PAGV{\displaystyle FV=2\cdot PV}

que es la siguiente condición:

(1+r/100)t=2{\displaystyle (1+r/100)^{t}=2\,}

Esta ecuación se resuelve fácilmente parat{\displaystyle t}:

ln⁡((1+r/100)t)=ln⁡2t⋅ln⁡(1+r/100)=ln⁡2t=ln⁡2ln⁡(1+r/100).{\displaystyle {\begin{aligned}\ln((1+r/100)^{t})&=\ln 2\\t\cdot \ln(1+r/100)&=\ln 2\\t&={\frac {\ln 2}{\ln(1+r/100)}}.\end{aligned}}}

Un simple reordenamiento muestra

ln⁡2ln⁡(1+r/100)=ln⁡2r/100⋅r/100ln⁡(1+r/100).{\displaystyle {\frac {\ln 2}{\ln(1+r/100)}}={\frac {\ln 2}{r/100}}\cdot {\frac {r/100}{\ln(1+r/100)}}.}

Sir/100{\displaystyle r/100}es pequeño, entoncesln⁡(1+r/100){\displaystyle \ln(1+r/100)}aproximadamente igual ar/100{\displaystyle r/100}(este es el primer término de la serie de Taylor ). Es decir, este último factor crece lentamente cuandor{\displaystyle r}es cercano a cero.

Llame a este último factor(r/100)/ln⁡(1+r/100)=F(r){\displaystyle (r/100)/\ln(1+r/100)=f(r)}. La funciónF(r){\displaystyle f(r)}Se demuestra que es preciso en la aproximación det{\displaystyle t}para una tasa de interés pequeña y positiva cuandor=8{\displaystyle r=8}(véase la derivación a continuación).F(8)≈1.039{\displaystyle f(8)\approx 1.039}y por lo tanto aproximamos el tiempot{\displaystyle t}como:

t(r)=ln⁡2r/100⋅F(8)≈0,72r/100=72r.{\displaystyle t(r)={\frac {\ln 2}{r/100}}\cdot f(8)\approx {\frac {0.72}{r/100}}={\frac {72}{r}}.}

Esta aproximación aumenta en precisión a medida que la capitalización de los intereses se vuelve continua (véase la derivación a continuación).

Para obtener un ajuste más preciso, se observa queln⁡(1+r/100){\displaystyle \ln(1+r/100)}se aproxima más ar/100−12(r/100)2{\displaystyle r/100-{\tfrac {1}{2}}(r/100)^{2}}(utilizando el segundo término de la serie de Taylor ).0,693/(r/100−12(r/100)2){\displaystyle 0.693/\left(r/100-{\tfrac {1}{2}}(r/100)^{2}\right)}Luego se puede simplificar aún más mediante aproximaciones de Taylor: [ 4 ]

t(r)=0,693r/100−12(r/100)2=69.3r−r2/200=69.3r11−r/200≈69.3r(1+r/200)=69.3r+69.3200t(r)=69.3r+0,3465.{\displaystyle {\begin{aligned}t(r)={}&{\frac {0.693}{r/100-{\tfrac {1}{2}}(r/100)^{2}}}={\frac {69.3}{rr^{2}/200}}={\frac {69.3}{r}}{\frac {1}{1-r/200}}\approx {\frac {69.3}{r}}(1+r/200)={\frac {69.3}{r}}+{\frac {69.3}{200}}\\[8pt]t(r)={}&{\frac {69.3}{r}}+0.3465.\end{aligned}}}

Reemplazar elr{\displaystyle r}enr/200{\displaystyle r/200}con 7,79 da 72 en el numerador. Esto demuestra que la regla del 72 es más precisa para intereses compuestos periódicamente alrededor del 8  %. De manera similar, reemplazando elr{\displaystyle r}enr/200{\displaystyle r/200}Con 2,02 se obtiene 70 en el numerador, lo que demuestra que la regla del 70 es más precisa para intereses compuestos periódicamente de alrededor del 2  %.

Como método matemático sofisticado pero elegante para lograr un ajuste más preciso, la funciónt(r)=ln⁡(2)/ln⁡(1+r/100){\displaystyle t(r)=\ln(2)/\ln(1+r/100)}se desarrolla en una serie Laurent en el puntor=0{\displaystyle r=0}. [ 5 ] Con los dos primeros términos se obtiene:

t(r)≈100⋅ln⁡2r+ln⁡22t(r)≈69.3147r+0,346574, o redondeado:t(r)≈69r+0,35.{\displaystyle {\begin{aligned}t(r)\approx {}&{\frac {100\cdot \ln 2}{r}}+{\frac {\ln 2}{2}}\\[8pt]t(r)\approx {}&{\frac {69.3147}{r}}+0.346574,{\text{ o redondeado:}}\\[8pt]t(r)\approx {}&{\frac {69}{r}}+0.35.\end{aligned}}}

Composición continua

En el caso de la capitalización continua teórica , la derivación es más sencilla y da como resultado una regla más precisa:

exp⁡(r100⋅t)=FVPAGV=2r100⋅t=ln⁡2t=100⋅ln⁡2r≈69.3147r{\displaystyle {\begin{aligned}\exp \left({\frac {r}{100}}\cdot t\right)&={\frac {FV}{PV}}=2\\[6pt]{\frac {r}{100}}\cdot t&=\ln 2\\[6pt]t&={\frac {100\cdot \ln 2}{r}}\approx {\frac {69.3147}{r}}\end{aligned}}}

Véase también

Referencias

  1. 1 2 Donella Meadows , Pensando en sistemas: una introducción , Chelsea Green Publishing , 2008, página 33 (recuadro "Sugerencia sobre bucles de retroalimentación de refuerzo y tiempo de duplicación").
  2. ↑ Slavin, Steve (1989). Todas las matemáticas que necesitarás . John Wiley & Sons . págs. 153–154 . ISBN  0-471-50636-2.
  3. ↑ Kalid Azad desmitificando el logaritmo natural (ln) de BetterExplained
  4. ↑ "Serie de Taylor de 1 / (1 – r /200)" . WolframAlpha . Consultado el 3 de enero de 2025 .
  5. ↑ "Serie de Laurent de ln(2) / ln(1 + r/100)" . WolframAlpha . Consultado el 2 de enero de 2025 .

Fuentes

  • Gould, John P.; Weil, Roman L. (1974). "La regla del 69". Journal of Business . 47 (3): 397– 398. doi : 10.1086/295653 .
  • Brief, Richard P. (1977). "Una nota sobre 'Redescubrimiento' y la regla del 69". The Accounting Review . 52 (4): 810– 812.
  • La escala del 70 extiende la regla del 72 más allá del crecimiento a tasa fija al crecimiento compuesto a tasa variable, incluyendo tasas positivas y negativas.