teseractos runcinados

El teseracto runcinado se puede construir expandiendo radialmente las celdas de un teseracto y rellenando los huecos con tetraedros (figuras de vértice), cubos (prismas de cara) y prismas triangulares (prismas de arista). El mismo proceso aplicado a un teseracto de 16 celdas también produce la misma figura.

Las coordenadas cartesianas de los vértices del teseracto runcinado con longitud de arista 2 son todas permutaciones de:

${\displaystyle \left(\pm 1,\ \pm 1,\ \pm 1,\ \pm (1+{\sqrt {2}})\right)}$

Ocho de las celdas cúbicas están conectadas a las otras 24 celdas cúbicas a través de sus 6 caras cuadradas. Las otras 24 celdas cúbicas están conectadas a las 8 anteriores a través de solo dos caras cuadradas opuestas; las 4 caras restantes están conectadas a los prismas triangulares. Los prismas triangulares están conectados a los tetraedros a través de sus caras triangulares.

El teseracto runcinado se puede dividir en dos cúpulas cúbicas y un prisma rombicuboctaédrico entre ellas. Esta división puede considerarse análoga a la división del rombicuboctaedro tridimensional en dos cúpulas cuadradas y un prisma octogonal central .

La proyección ortográfica cúbica del teseracto runcinado en el espacio tridimensional tiene una envoltura rombicuboctaédrica (pequeña) . Las imágenes de sus celdas se disponen dentro de esta envoltura de la siguiente manera:

• El cubo más cercano y el más lejano desde el punto de vista 4D se proyectan en un volumen cúbico en el centro de la envoltura.
• Seis volúmenes cúbicos conectan este cubo central con las 6 caras cuadradas axiales del rombicuboctaedro. Estas son las imágenes de 12 de las celdas cúbicas (cada par de cubos comparte una imagen).
• Las 18 caras cuadradas del sobre son imágenes de las demás celdas cúbicas.
• Los 12 volúmenes en forma de cuña que conectan los bordes del cubo central con las caras cuadradas no axiales de la envoltura son las imágenes de 24 de los prismas triangulares (un par de celdas por imagen).
• Las 8 caras triangulares del sobre son las imágenes de los 8 prismas triangulares restantes.
• Finalmente, los 8 volúmenes tetraédricos que conectan los vértices del cubo central con las caras triangulares de la envoltura son las imágenes de los 16 tetraedros (de nuevo, un par de celdas por imagen).

Esta disposición de celdas en proyección es análoga a la disposición de las caras del rombicuboctaedro (pequeño) proyectado a dos dimensiones. El rombicuboctaedro también se construye a partir del cubo o del octaedro de forma análoga al teseracto runcinado. Por lo tanto, el teseracto runcinado puede considerarse el análogo tetradimensional del rombicuboctaedro.

El teseracto runcitruncado se puede construir a partir del teseracto truncado expandiendo radialmente las celdas cúbicas truncadas e insertando prismas octogonales entre ellas. En este proceso, los tetraedros se expanden formando cuboctaedros, y los prismas triangulares rellenan los huecos restantes.

Las coordenadas cartesianas de los vértices del teseracto runcitruncado con una longitud de arista de  2 vienen dadas por todas las permutaciones de:

${\displaystyle \left(\pm 1,\ \pm (1+{\sqrt {2}}),\ \pm (1+{\sqrt {2}}),\ \pm (1+2{\sqrt {2}})\right)}$

En la primera proyección paralela del cubo truncado del teseracto runcitruncado en el espacio tridimensional, la imagen de proyección se dispone de la siguiente manera:

• La envoltura de proyección es un rombicuboctaedro pequeño (no uniforme) , con 6 caras cuadradas y 12 caras rectangulares.
• Dos de las celdas cúbicas truncadas se proyectan hacia un cubo truncado en el centro de la envoltura de proyección.
• Seis prismas octogonales conectan este cubo truncado central con las caras cuadradas de la envoltura. Estas son las imágenes de 12 de las celdas de los prismas octogonales, dos celdas por imagen.
• Los 12 prismas octogonales restantes se proyectan sobre las caras rectangulares de la envoltura.
• Las 6 caras cuadradas del sobre son las imágenes de las 6 celdas cúbicas truncadas restantes.
• Doce prismas triangulares de ángulo recto conectan los prismas octogonales internos. Estas son las imágenes de 24 de las celdas de prismas triangulares. Los 8 prismas triangulares restantes se proyectan sobre las caras triangulares de la envoltura.
• Los 8 volúmenes restantes, situados entre las caras triangulares de la envoltura y el cubo truncado interior, son las imágenes de las 16 celdas cuboctaédricas, un par de celdas por cada imagen.

Proyección estereográfica con sus 128 caras triangulares azules y sus 192 caras cuadradas verdes.

El teseracto 16-celda runcitruncado se puede construir contrayendo radialmente las pequeñas celdas rombicuboctaédricas del teseracto cantelado y rellenando los espacios entre ellas con cubos. En este proceso, las celdas octaédricas se expanden en tetraedros truncados (la mitad de sus caras triangulares se expanden en hexágonos al separar sus aristas), y los prismas triangulares se expanden en prismas hexagonales (cada uno con sus tres caras cuadradas originales unidas, como antes, a pequeños rombicuboctaedros, y sus tres nuevas caras cuadradas unidas a cubos).

Los vértices de una celda 16-terminada con una longitud de arista de 2 vienen dados por todas las permutaciones de las siguientes coordenadas cartesianas :

${\displaystyle \left(\pm 1,\ \pm 1,\ \pm (1+{\sqrt {2}}),\ \pm (1+2{\sqrt {2}})\right)}$

Las pequeñas celdas rombicuboctaédricas se unen a las celdas cúbicas mediante sus 6 caras cuadradas axiales, y a los prismas hexagonales mediante sus 12 caras cuadradas no axiales. Las celdas cúbicas se unen a los rombicuboctaedros mediante 2 caras opuestas, y a los prismas hexagonales mediante las 4 caras restantes. Los prismas hexagonales se conectan a los tetraedros truncados mediante sus caras hexagonales, a los rombicuboctaedros mediante 3 de sus caras cuadradas cada uno, y a los cubos mediante las otras 3 caras cuadradas. Los tetraedros truncados se unen a los rombicuboctaedros mediante sus caras triangulares, y los prismas hexagonales mediante sus caras hexagonales.

A continuación se muestra la disposición de las celdas del 16-celda runcitruncado bajo la proyección paralela, comenzando con el pequeño rombicuboctaedro, en el espacio tridimensional:

• La envoltura de proyección es un cuboctaedro truncado .
• Seis de los pequeños rombicuboctaedros se proyectan sobre las 6 caras octogonales de esta envoltura, y los otros dos se proyectan sobre un pequeño rombicuboctaedro situado en el centro de esta envoltura.
• Los 6 volúmenes cuboidales que conectan las caras cuadradas axiales del pequeño rombicuboctaedro central con el centro de los octágonos se corresponden con la imagen de 12 de las celdas cúbicas (cada par de las doce comparte la misma imagen).
• Las 12 celdas cúbicas restantes se proyectan sobre las 12 caras cuadradas de la gran envoltura rombicuboctaédrica.
• Los 8 volúmenes que conectan los hexágonos de la envoltura con las caras triangulares del rombicuboctaedro central son las imágenes de los 16 tetraedros truncados.
• Los 12 espacios restantes que conectan las caras cuadradas no axiales del pequeño rombicuboctaedro central con las caras cuadradas de la envoltura son las imágenes de 24 de los prismas hexagonales.
• Finalmente, los últimos 8 prismas hexagonales se proyectan sobre las caras hexagonales de la envoltura.

Esta disposición de celdas es similar a la disposición de las caras del gran rombicuboctaedro bajo la proyección en el espacio bidimensional. Por lo tanto, el teseracto runcitruncado de 16 celdas puede considerarse como uno de los análogos tetradimensionales del gran rombicuboctaedro. El otro análogo es el teseracto omnitruncado .

El teseracto omnitruncado se puede construir a partir del teseracto cantitruncado desplazando radialmente las celdas cuboctaédricas truncadas, de modo que se puedan insertar prismas octogonales entre sus caras octogonales. Como resultado, los prismas triangulares se expanden en prismas hexagonales y los tetraedros truncados se expanden en octaedros truncados.

Las coordenadas cartesianas de los vértices de un teseracto omnitruncado con una longitud de arista de  2 vienen dadas por todas las permutaciones de coordenadas y signo de:

${\displaystyle \left(1,\ 1+{\sqrt {2}},\ 1+2{\sqrt {2}},\ 1+3{\sqrt {2}}\right)}$

Las celdas cuboctaédricas truncadas se unen a los prismas octogonales mediante sus caras octogonales, los octaedros truncados mediante sus caras hexagonales y los prismas hexagonales mediante sus caras cuadradas. Los prismas octogonales se unen a los prismas hexagonales y a los octaedros truncados mediante sus caras cuadradas, y los prismas hexagonales se unen a los octaedros truncados mediante sus caras hexagonales.

En una matriz de configuración , se muestran todos los recuentos de incidencia entre elementos. Los números del vector f diagonal se derivan mediante la construcción de Wythoff , dividiendo el orden de grupo completo de un orden de subgrupo eliminando un espejo a la vez. Existen aristas en 4 posiciones de simetría. Existen cuadrados en 3 posiciones, hexágonos en 2 posiciones y octágonos en una. Finalmente, existen 4 tipos de celdas centradas en las 4 esquinas del simplex fundamental. ^{[ 1 ]}

En la primera proyección paralela del cuboctaedro truncado del teseracto omnitruncado en 3 dimensiones, las imágenes de sus celdas se disponen de la siguiente manera:

• La envoltura de proyección tiene la forma de un cuboctaedro truncado no uniforme.
• Dos de los cuboctaedros truncados se proyectan hacia el centro de la envoltura de proyección.
• Los 6 cuboctaedros truncados restantes se proyectan hacia las caras octogonales (no regulares) de la envoltura. Estos se conectan al cuboctaedro truncado central mediante 6 prismas octogonales, que son las imágenes de las celdas de prismas octogonales, un par por cada imagen.
• Las 8 caras hexagonales del sobre son las imágenes de 8 prismas hexagonales.
• Los prismas hexagonales restantes se proyectan en 12 imágenes de prismas hexagonales irregulares, ubicadas donde estarían las aristas de un cubo. Cada imagen corresponde a dos celdas.
• Finalmente, los 8 volúmenes situados entre las caras hexagonales de la envoltura de proyección y las caras hexagonales del cuboctaedro truncado central son las imágenes de los 16 octaedros truncados, dos celdas por cada imagen.

Esta disposición de celdas en proyección es similar a la del teseracto runcitruncado de 16 celdas , que es análoga a la disposición de caras en la proyección octogonal del cuboctaedro truncado en 2 dimensiones. Por lo tanto, el teseracto omnitruncado puede considerarse otro análogo del cuboctaedro truncado en 4 dimensiones.

El teseracto truncado completo u omnitruncado , definido como una alternancia del teseracto omnitruncado, no puede hacerse uniforme, pero se le puede dar un diagrama de Coxeter y simetría [4,3,3] ⁺ , y se construye a partir de 8 cubos truncados , 16 icosaedros , 24 antiprismas cuadrados , 32 octaedros (como antiprismas triangulares) y 192 tetraedros que rellenan los huecos en los vértices eliminados. Tiene 272 celdas, 944 caras, 864 aristas y 192 vértices. ^{[ 2 ]}

El teseracto bialternatosnub de 16 celdas o rúncico snub rectificado de 16 celdas , construido eliminando rectángulos largos alternos de los octágonos, tampoco es uniforme. Al igual que el teseracto omnisnub, tiene una construcción de máxima simetría de orden 192, con 8 rombicuboctaedros (con simetría T _h ), 16 icosaedros (con simetría T ), 24 trapezoprismas rectangulares (topológicamente equivalentes a un cubo pero con simetría D _2d ), 32 prismas triangulares , con 96 prismas triangulares (como cuñas de simetría C _s ) que rellenan los huecos. ^{[ 3 ]}

Una variante con icosaedros regulares y prismas triangulares uniformes tiene dos longitudes de arista en una proporción de 1  :2, y aparece como una facetación de vértice del scafúrnúrci 24-celular escaliforme .