Teorema de Runge

En análisis complejo , el teorema de Runge (también conocido como teorema de aproximación de Runge ) recibe su nombre del matemático alemán Carl Runge , quien lo demostró por primera vez en 1885. ^{[ 1 ]} Enuncia lo siguiente:

Denotando por C el conjunto de números complejos , sea K un subconjunto cerrado de${\displaystyle \mathbb {C} \cup \{\infty \}}$y sea f una función holomorfa en un conjunto abierto que contiene a K. Si A es un conjunto que contiene al menos un número complejo de cada componente conexa de${\displaystyle \mathbb {C} \cup \{\infty \}\setminus K}$, entonces existe una secuencia${\displaystyle (r_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$de funciones racionales que converge uniformemente a f en K y tales que todos los polos de las funciones${\displaystyle (r_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$están en A.

Nótese que no todos los números complejos de A tienen que ser polos de todas las funciones racionales de la secuencia.${\displaystyle (r_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$. Simplemente sabemos que para todos los miembros de${\displaystyle (r_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$que sí tienen polos, esos polos se encuentran en A.

Un aspecto que hace que este teorema sea tan poderoso es que se puede elegir el conjunto A arbitrariamente. En otras palabras, se pueden elegir cualesquiera números complejos de las componentes conexas acotadas de${\displaystyle \mathbb {C} \cup \{\infty \}\setminus K}$y el teorema garantiza la existencia de una sucesión de funciones racionales con polos únicamente entre esos números elegidos.

Para el caso especial en el que K es un subconjunto compacto de${\displaystyle \mathbb {C} }$y${\displaystyle \mathbb {C} \setminus K}$es un conjunto conectado que se puede elegir${\displaystyle A=\{\infty \}}$Dado que las funciones racionales sin polos excepto en el infinito son simplemente polinomios , obtenemos el siguiente corolario : Si K es un subconjunto compacto de C tal que C \ K es un conjunto conexo, y f es una función holomorfa en un conjunto abierto que contiene a K , entonces existe una sucesión de polinomios${\displaystyle (p_{n})}$que se aproxima a f uniformemente en K.

Una demostración elemental , inspirada en Sarason (1998) , procede de la siguiente manera. Existe un contorno cerrado lineal a trozos Γ en el conjunto abierto, que contiene a K en su interior, tal que todos los puntos distinguidos elegidos están en su exterior. Por la fórmula integral de Cauchy

${\displaystyle f(w)={1 \over 2\pi i}\int _{\Gamma }{f(z)\,dz \over zw}}$

para w en K. Se pueden usar sumas de aproximación de Riemann para aproximar la integral de contorno uniformemente sobre K (existe una fórmula similar para la derivada). Cada término de la suma es un múltiplo escalar de ( z − w ) ^{− 1} para algún punto z en el contorno. Esto proporciona una aproximación uniforme mediante una función racional con polos en Γ.

Para modificar esto a una aproximación con polos en puntos específicos en cada componente del complemento de K , basta con comprobar esto para términos de la forma ( z  − w ) ⁻¹ . Si z ₀ es el punto en la misma componente que z , tome un camino de z a z ₀ . 

Si dos puntos están suficientemente cerca en el camino, podemos usar la fórmula

${\displaystyle {\frac {1}{z-z_{0}}}={\frac {1}{z-w_{0}}}\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {z_{0}-w_{0}}{z-w_{0}}}\right)^{n}}$(verificado mediante series geométricas )

válido en el complemento del círculo${\displaystyle |z_{0}-w_{0}|<|zw|}$; tenga en cuenta que el camino elegido tiene una distancia positiva a K por compacidad. Esa serie puede truncarse para dar una función racional con polos solo en el segundo punto uniformemente cercano a la función original en K. Procediendo por pasos a lo largo del camino de z a z ₀ la función original ( z − w ) ⁻¹ puede modificarse sucesivamente para dar una función racional con polos solo en z ₀ .

Si z ₀ es el punto en el infinito , entonces mediante el procedimiento anterior la función racional ( z − w ) ⁻¹ puede aproximarse primero mediante una función racional g con polos en R > 0 donde R es tan grande que K se encuentra en w < R . La expansión en serie de Taylor de g alrededor de 0 puede truncarse para dar una aproximación polinómica en K .

Cuando${\displaystyle K}$es un subconjunto compacto del plano complejo${\displaystyle \mathbb {C} }$de tal manera que${\displaystyle \mathbb {C} \setminus K}$está conectado, el teorema de Mergelyan relaja la condición en${\displaystyle f}$En lugar de requerir${\displaystyle f}$ser holomorfo en un conjunto abierto que contiene${\displaystyle K}$, solo requiere${\displaystyle f}$ser continuo en${\displaystyle K}$y holomorfo en el interior de${\displaystyle K}$.

El teorema de Runge se generaliza a superficies de Riemann . ^{[ 2 ] : Teorema 4}

El teorema original de Runge se obtiene al establecer${\displaystyle X=\mathbb {C} \cup \{\infty \}\setminus A}$, dónde${\displaystyle A}$contiene un elemento por componente conectado de${\displaystyle \mathbb {C} \cup \{\infty \}\setminus K}$.

Para funciones de varias variables complejas, una generalización ingenua del teorema de Runge es falsa. Se necesitan restricciones adicionales para obtener teoremas análogos que sean verdaderos. Una generalización es el teorema de Oka-Weil .

• Teorema de Mergelyan
• Teorema de Oka-Weil
• Teorema de Behnke-Stein sobre variedades de Stein

• Conway, John B. (1997), Un curso de análisis funcional (2.ª  ed.), Springer, ISBN 0-387-97245-5
• Greene, Robert E.; Krantz, Steven G. (2002), Teoría de funciones de una variable compleja (2.ª  ed.), American Mathematical Society, ISBN 0-8218-2905-X
• Sarason, Donald (1998), Notas sobre la teoría de funciones complejas , Textos y lecturas en matemáticas, vol.  5, Hindustan Book Agency, pp. 108–115 , ISBN  81-85931-19-4

• "Teorema de Runge" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]