Desigualdad en Rushbrooke

En mecánica estadística , la desigualdad de Rushbrooke relaciona los exponentes críticos de un sistema magnético que exhibe una transición de fase de primer orden en el límite termodinámico para una temperatura no nula T.

Dado que la energía libre de Helmholtz es extensa , la normalización a energía libre por sitio se da como

${\displaystyle f=-kT\lim _{N\rightarrow \infty }{\frac {1}{N}}\log Z_{N}}$

La magnetización M por sitio en el límite termodinámico , que depende del campo magnético externo H y de la temperatura T, viene dada por

${\displaystyle M(T,H)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \lim _{N\rightarrow \infty }{\frac {1}{N}}\left(\sum _{i}\sigma _{i}\right)}$

dónde${\displaystyle \sigma _{i}}$es el espín en el sitio i, y la susceptibilidad magnética y el calor específico a temperatura y campo constantes vienen dados, respectivamente, por:

${\displaystyle \chi _{T}(T,H)=\left({\frac {\partial M}{\partial H}}\right)_{T}}$

y

${\displaystyle c_{H}=T\left({\frac {\partial S}{\partial T}}\right)_{H}.}$

Además,

${\displaystyle c_{M}=+T\left({\frac {\partial S}{\partial T}}\right)_{M}.}$

Los exponentes críticos${\displaystyle \alpha ,\alpha ',\beta ,\gamma ,\gamma '}$y${\displaystyle \delta }$se definen en términos del comportamiento de los parámetros de orden y las funciones de respuesta cerca del punto crítico de la siguiente manera:

${\displaystyle M(t,0)\simeq (-t)^{\beta }{\mbox{ para }}t\uparrow 0}$

${\displaystyle M(0,H)\simeq |H|^{1/\delta }\operatorname {sign} (H){\mbox{ para }}H\rightarrow 0}$

${\displaystyle \chi _{T}(t,0)\simeq {\begin{cases}(t)^{-\gamma },&{\textrm {para}}\ t\downarrow 0\\(-t)^{-\gamma '},&{\textrm {para}}\ t\uparrow 0\end{cases}}}$

${\displaystyle c_{H}(t,0)\simeq {\begin{cases}(t)^{-\alpha }&{\textrm {para}}\ t\downarrow 0\\(-t)^{-\alpha '}&{\textrm {para}}\ t\uparrow 0\end{cases}}}$

dónde

${\displaystyle t\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {T-T_{c}}{T_{c}}}}$

mide la temperatura en relación con el punto crítico .

Utilizando el análogo magnético de las relaciones de Maxwell para las funciones de respuesta , la relación

${\displaystyle \chi _{T}(c_{H}-c_{M})=T\left({\frac {\partial M}{\partial T}}\right)_{H}^{2}}$

sigue, y con estabilidad termodinámica que requiere que${\displaystyle c_{H},c_{M}{\mbox{ y }}\chi _{T}\geq 0}$, uno tiene

${\displaystyle c_{H}\geq {\frac {T}{\chi _{T}}}\left({\frac {\partial M}{\partial T}}\right)_{H}^{2}}$

que, bajo las condiciones${\displaystyle H=0,t>0}$y la definición de los exponentes críticos da

${\displaystyle (-t)^{-\alpha '}\geq \mathrm {constante} \cdot (-t)^{\gamma '}(-t)^{2(\beta -1)}}$

lo que da lugar a la desigualdad de Rushbrooke ^{[ 1 ]}

${\displaystyle \alpha '+2\beta +\gamma '\geq 2.}$

Sorprendentemente, tanto en experimentos como en modelos resueltos con exactitud, la desigualdad se comporta en realidad como una igualdad.