La construcción de Rytz

La construcción de ejes de Rytz es un método básico de geometría descriptiva para hallar los ejes, el semieje mayor , el semieje menor y los vértices de una elipse , partiendo de dos semidiámetros conjugados . Si se determinan el centro y el semieje de una elipse, esta puede dibujarse con un elipsógrafo o a mano (véase elipse ).

La construcción de Rytz es una construcción clásica de geometría euclidiana , en la que solo se permiten el compás y la regla como herramientas. El diseño recibe su nombre de su inventor, David Rytz de Brugg (1801-1868).

Los diámetros conjugados aparecen siempre que un círculo o una elipse se proyectan paralelamente (los rayos son paralelos) como imágenes de los diámetros ortogonales de un círculo (véase el segundo diagrama) o como imágenes de los ejes de una elipse. Una propiedad esencial de dos diámetros conjugados.${\displaystyle d_{1},\;d_{2}}$es: Las tangentes en los puntos de la elipse de un diámetro son paralelas al segundo diámetro (ver segundo diagrama).

La proyección paralela (oblicua u ortográfica) de un círculo, que en general es una elipse ( se omite el caso especial de un segmento de línea como imagen). Una tarea fundamental en geometría descriptiva es dibujar dicha imagen de un círculo. El diagrama muestra una proyección militar de un cubo con 3 círculos en 3 de sus caras. El plano de imagen para una proyección militar es horizontal. Esto significa que el círculo superior aparece con su forma real (como círculo). Las imágenes de los círculos en las otras dos caras son obviamente elipses con ejes desconocidos. Pero en cualquier caso se reconocen las imágenes de dos diámetros ortogonales de los círculos. Estos diámetros de las elipses ya no son ortogonales, pero como imágenes de diámetros ortogonales del círculo son conjugados (¡las tangentes en los extremos de un diámetro son paralelas al otro diámetro  !). Esta es una situación estándar en geometría descriptiva.

• Desde una elipse el centro${\displaystyle C}$y dos puntos${\displaystyle P,Q}$Se conocen dos diámetros conjugados.
• Tarea: encontrar los ejes y semiejes de la elipse.

La demostración estándar se realiza geométricamente. ^{[ 1 ]} Una demostración alternativa utiliza geometría analítica :

La prueba está hecha, si uno es capaz de demostrar que

• los puntos de intersección${\displaystyle U,V}$de la línea${\displaystyle P'Q}$con los ejes de la elipse situados sobre el círculo que pasa por${\displaystyle C}$con centro${\displaystyle D}$, por eso${\displaystyle U=A}$y${\displaystyle V=B}$, y${\displaystyle |UQ|=a,\quad |VQ|=b\ .}$

Prueba

(1): Cualquier elipse puede representarse en un sistema de coordenadas adecuado paramétricamente mediante

${\displaystyle {\vec {p}}(t)=(a\cos t,\;b\sin t)^{T}}$.

Dos puntos${\displaystyle {\vec {p}}(t_{1}),\ {\vec {p}}(t_{2})}$ yacen en diámetros conjugados si${\displaystyle t_{2}-t_{1}=\pm {\tfrac {\pi }{2}}\ .}$(Véase Elipse: diámetros conjugados ).

(2): Sea${\displaystyle Q=(a\cos t,\;b\sin t)}$y

${\displaystyle P=(a\cos(t+{\tfrac {\pi }{2}}),\;b\sin(t+{\tfrac {\pi }{2}}))=(-a\sin t,b\cos t)}$

dos puntos en diámetros conjugados.

Entonces${\displaystyle P'=(b\cos t,a\sin t)}$y el punto medio del segmento de línea${\displaystyle {\overline {P'Q}}}$es${\displaystyle D=\left({\tfrac {a+b}{2}}\cos t,{\tfrac {a+b}{2}}\sin t\right)}$.

(3): Línea${\displaystyle P'Q}$tiene ecuación${\displaystyle x\sin t+y\cos t=(a+b)\;\cos t\sin t\ .}$

Los puntos de intersección de esta línea con los ejes de la elipse son

${\displaystyle U=\left(0,\;(a+b)\sin t\right)\ ,\quad V=\left((a+b)\cos t,\;0\right)\ .}$

(4): Debido a${\displaystyle |UD|=|VD|=|CD|}$los puntos${\displaystyle U,V,C}$yace sobre el círculo con centro${\displaystyle D}$y radio${\displaystyle |CD|\ .}$

Por eso ${\displaystyle A=U,\ B=V\ .}$

(5):${\displaystyle |UQ|=a,\quad |VQ|=b\ .}$

La demostración utiliza un giro a la derecha de punto${\displaystyle P}$, lo que lleva a un diagrama que muestra el primer método de tiras de papel .

Variaciones

Si uno realiza un giro a la izquierda de punto${\displaystyle P}$, entonces los resultados (4) y (5) siguen siendo válidos y la configuración ahora muestra el segundo método de tira de papel (ver diagrama). Si se utiliza${\displaystyle P=(a\cos(t{\color {red}-}{\tfrac {\pi }{2}}),\;b\sin(t{\color {red}-}{\tfrac {\pi }{2}}))=(a\sin t,-b\cos t)}$, entonces la construcción y el trabajo de prueba tampoco.

Para encontrar los vértices de la elipse con ayuda de una computadora,

• las coordenadas de los tres puntos${\displaystyle C,P,Q}$deben ser conocidos.

Una idea sencilla es: Se puede escribir un programa que realice los pasos descritos anteriormente. Una idea mejor es utilizar la representación paramétrica de una elipse arbitraria :

• ${\displaystyle {\vec {x}}={\vec {p}}(t)={\vec {f}}_{0}+{\vec {f}}_{1}\cos t+{\vec {f}}_{2}\sin t\ .}$

Con${\displaystyle {\vec {f}}_{0}={\vec {OC}}}$(el centro) y${\displaystyle {\vec {f}}_{1}={\vec {CP}},\;{\vec {f}}_{2}={\vec {CQ}}}$(dos semidiámetros conjugados) uno puede calcular puntos y dibujar la elipse.

Si es necesario: Con${\displaystyle \cot(2t_{0})={\tfrac {{\vec {f}}_{1}^{\,2}-{\vec {f}}_{2}^{\,2}}{2{\vec {f}}_{1}\cdot {\vec {f}}_{2}}}}$Se obtienen los cuatro vértices de la elipse:${\displaystyle {\vec {p}}(t_{0}),\;{\vec {p}}(t_{0}\pm {\frac {\pi }{2}}),\;{\vec {p}}(t_{0}+\pi )\ .}$

• animación de la construcción de Rytz