Categoría Waldhausen

En matemáticas , una categoría de Waldhausen es una categoría C dotada de datos adicionales, lo que permite construir el espectro de la teoría K de C mediante una denominada construcción S. Recibe su nombre de Friedhelm Waldhausen , quien introdujo esta noción (bajo el término categoría con cofibraciones y equivalencias débiles ) para extender los métodos de la teoría K algebraica a categorías que no necesariamente son de origen algebraico, como por ejemplo la categoría de espacios topológicos .

Sea C una categoría, co( C ) y we( C ) dos clases de morfismos en C , llamados cofibraciones y equivalencias débiles respectivamente. La terna ( C , co( C ), we( C )) se denomina categoría de Waldhausen si satisface los siguientes axiomas, motivados por las propiedades similares de las nociones de cofibraciones y equivalencias homotópicas débiles de espacios topológicos:

• C tiene un objeto cero , denotado por 0;
• Los isomorfismos están incluidos tanto en co( C ) como en we( C );
• co( C ) y we( C ) son cerrados bajo composición;
• para cada objeto A ∈ C el único mapa 0 → A es una cofibración, es decir, es un elemento de co( C );
• co( C ) y we( C ) son compatibles con empujes en cierto sentido.

Por ejemplo, si${\displaystyle \scriptstyle A\,\rightarrowtail \,B}$es una cofibración y${\displaystyle \scriptstyle A\,\to \,C}$Si existe algún mapa, entonces debe existir un empuje.${\displaystyle \scriptstyle B\,\cup _{A}\,C}$y el mapa natural${\displaystyle \scriptstyle C\,\rightarrowtail \,B\,\cup _{A}\,C}$debería ser cofibración:

En la teoría K algebraica y la teoría de homotopía existen varias nociones de categorías dotadas de clases específicas de morfismos. Si C posee la estructura de una categoría exacta , al definir we( C ) como isomorfismos y co( C ) como monomorfismos admisibles, se obtiene la estructura de una categoría de Waldhausen sobre C. Ambos tipos de estructura pueden utilizarse para definir la teoría K de C , empleando la construcción Q para una estructura exacta y la construcción S para una estructura de Waldhausen. Un hecho importante es que los espacios de teoría K resultantes son homotópicamente equivalentes.

Si C es una categoría modelo con un objeto cero, entonces a la subcategoría completa de objetos cofibrantes en C se le puede dar una estructura de Waldhausen.

La construcción S de Waldhausen produce, a partir de una categoría C de Waldhausen, una secuencia de complejos de Kan.${\displaystyle S_{n}(C)}$, que forma un espectro . Dejemos${\displaystyle K(C)}$denotamos el espacio de bucles de la realización geométrica${\displaystyle |S_{*}(C)|}$de${\displaystyle S_{*}(C)}$. Entonces el grupo

${\displaystyle \pi _{n}K(C)=\pi _{n+1}|S_{*}(C)|}$

es el n -ésimo K -grupo de C. Por lo tanto, proporciona una forma de definir K -grupos superiores. Otro enfoque para la teoría K superior es la construcción Q de Quillen .

La construcción se debe a Friedhelm Waldhausen .

Una categoría C está equipada con bifibraciones si posee cofibraciones y su categoría opuesta C ^OP también las posee. En ese caso, denotamos las fibraciones de C ^OP por quot( C ). En ese caso, C es una categoría biWaldhausen si C tiene bifibraciones y equivalencias débiles tales que tanto ( C ,  co( C ),  we) como ( C ^OP ,  quot( C ),  we ^OP ) son categorías Waldhausen.

Las categorías de Waldhausen y biWaldhausen están vinculadas con la K-teoría algebraica . Allí, muchas categorías interesantes son categorías biWaldhausen compliciales. Por ejemplo: La categoría${\displaystyle \scriptstyle C^{b}({\mathcal {A}})}$de complejos de cadena acotados en una categoría exacta${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {A}}}$. La categoría${\displaystyle \scriptstyle S_{n}{\mathcal {C}}}$de functores${\displaystyle \scriptstyle \operatorname {Ar} (\Delta ^{n})\,\to \,{\mathcal {C}}}$cuando${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {C}}}$Es así. Y dado un diagrama${\displaystyle \scriptstyle I}$, entonces${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {C}}^{I}}$es una categoría biWaldhausen complaciente agradable cuando${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {C}}}$es.

• Waldhausen, Friedhelm (1985), "Teoría K algebraica de espacios", Topología algebraica y geométrica (New Brunswick, NJ, 1983 (PDF) , Lecture Notes in Mathematics, vol.  1126, Berlín: Springer, pp. 318–419 , doi : 10.1007/BFb0074449 , ISBN  978-3-540-15235-4, MR 0802796 
• C. Weibel, El libro K, una introducción a la teoría K algebraica — http://www.math.rutgers.edu/~weibel/Kbook.html
• G. Garkusha, Sistemas de categorías de diagramas y teoría K — https://arxiv.org/abs/math/0401062
• Sagave, S. (2004). "Sobre la K-teoría algebraica de categorías modelo". Journal of Pure and Applied Algebra . 190 ( 1– 3): 329– 340. doi : 10.1016/j.jpaa.2003.11.002 .
• Lurie, Jacob , Teoría K superior de ∞-categorías (Clase 16) (PDF)

• Espacio Segal completo

• "Construcción S de Waldhausen" . nLab .