Estimador S

El objetivo de los estimadores S es contar con un estimador de regresión simple y de alta resolución , que comparta la flexibilidad y las buenas propiedades asintóticas de los estimadores M. El nombre "estimadores S" se eligió porque se basan en estimadores de escala.

Consideraremos estimadores de escala definidos por una función${\displaystyle \rho }$, que satisfacen

• R1 –${\displaystyle \rho }$es simétrico, continuamente diferenciable y${\displaystyle \rho (0)=0}$.
• R2 – existe${\displaystyle c>0}$de tal manera que${\displaystyle \rho }$está aumentando estrictamente en${\displaystyle [c,\infty ]}$

Para cualquier muestra ${\displaystyle \{r_{1},...,r_{n}\}}$ de números reales, definimos la estimación de escala ${\displaystyle s(r_{1},...,r_{n})}$como la solución de

${\textstyle {\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\rho (r_{i}/s)=K}$,

dónde${\displaystyle K}$es el valor esperado de${\displaystyle \rho }$para una distribución normal estándar . (Si hay más soluciones a la ecuación anterior, tomamos la que tenga la solución más pequeña para s; si no hay solución, ponemos ${\displaystyle s(r_{1},...,r_{n})=0}$ .)

Definición:

Dejar${\displaystyle (x_{1},y_{1}),...,(x_{n},y_{n})}$sea ​​una muestra de datos de regresión con p dimensiones${\displaystyle x_{i}}$. Para cada vector${\displaystyle \theta }$obtenemos residuos${\displaystyle s(r_{1}(\theta ),...,r_{n}(\theta ))}$resolviendo la ecuación de escala anterior, donde${\displaystyle \rho }$Satisfacer R1 y R2. El estimador S${\displaystyle {\sombrero {\theta }}}$se define por

${\displaystyle {\hat {\theta }}=\min _{\theta }\,s(r_{1}(\theta ),...,r_{n}(\theta ))}$

y el estimador de escala final${\displaystyle {\sombrero {\sigma }}}$es entonces

${\displaystyle {\hat {\sigma }}=s(r_{1}({\hat {\theta }}),...,r_{n}({\hat {\theta }}))}$. ^{[ 1 ]}