función sigmoide

Una función sigmoide es cualquier función matemática cuya gráfica tiene una curva característica en forma de S o sigmoide .

Un ejemplo común de función sigmoide es la función logística .

Otras funciones sigmoideas se presentan en la sección de Ejemplos . En algunos campos, sobre todo en el contexto de las redes neuronales artificiales , el término "función sigmoidea" se utiliza como sinónimo de "función logística".

Entre los casos especiales de funciones sigmoides se incluyen la curva de Gompertz (utilizada en la modelización de sistemas que se saturan para valores grandes de x ) y la curva ogee (utilizada en el aliviadero de algunas presas ). Las funciones sigmoides tienen un dominio de todos los números reales , con un valor de retorno (respuesta) que suele ser monótonamente creciente, aunque también puede ser decreciente. Generalmente, las funciones sigmoides muestran un valor de retorno ( eje y ) en el rango de 0 a 1. Otro rango comúnmente utilizado es de -1 a 1.

También existe la función escalón de Heaviside , que transita instantáneamente entre 0 y 1.

Se ha utilizado una amplia variedad de funciones sigmoides, incluidas las funciones logística y tangente hiperbólica, como función de activación de neuronas artificiales . Las curvas sigmoides también son comunes en estadística como funciones de distribución acumulativa (que van de 0 a 1), como las integrales de las funciones de densidad logística , densidad normal y t de Student . La función sigmoide logística es invertible, y su inversa es la función logit .

En matemáticas, una función sigmoide unitaria es una función de tipo sigmoide acotada y normalizada al rango unitario, típicamente con asíntotas inferior y superior en 0 y 1. La teoría propuesta por Grebenc ^{[ 1 ]} distingue tres tipos de funciones sigmoides unitarias según su comportamiento asintótico y la presencia o ausencia de oscilación cerca de las asíntotas.

Una forma general de una función sigmoide unitaria es

${\displaystyle y=A\,S(f(x))+B,}$

dónde${\displaystyle S}$es una función sigmoide creciente,${\displaystyle f(x)}$es una transformación de la variable independiente, y${\displaystyle A}$y${\displaystyle B}$son constantes que controlan el escalado y la traslación.

Clasificación

1.er ^tipo​

Una función sigmoide unitaria de primera especie es una función creciente y acotada que se aproxima a sus asíntotas inferior y superior de forma monótona, sin oscilaciones. Esta clase incluye muchas de las funciones sigmoides estándar utilizadas en estadística, biomatemáticas e ingeniería, como la función logística y sus generalizaciones.

2.º tipo^​

Una función sigmoide unitaria de segundo tipo es una función creciente acotada que oscila cerca de la asíntota superior , manteniendo al mismo tiempo una transición sigmoide global.

3.er tipo^​

Una función sigmoide unitaria de tercer tipo es una función creciente y acotada que oscila cerca de las asíntotas inferior y superior. Estas funciones conservan la forma global de una curva sigmoide, pero presentan un comportamiento oscilatorio en las proximidades de ambos estados límite.

Una función sigmoide es una función real , acotada y diferenciable que está definida para todos los valores de entrada reales y tiene una derivada positiva en cada punto. ^{[ 13 ] [ 14 ]}

En general, una función sigmoide es monótona y tiene una primera derivada con forma de campana . Por el contrario, la integral de cualquier función continua, no negativa y con forma de campana (con un máximo local y ningún mínimo local, a menos que sea degenerada ) será sigmoide. Por lo tanto, las funciones de distribución acumulada para muchas distribuciones de probabilidad comunes son sigmoide. Un ejemplo de ello es la función de error , que está relacionada con la función de distribución acumulada de una distribución normal ; otro ejemplo es la función arcotangente , que está relacionada con la función de distribución acumulada de una distribución de Cauchy .

Una función sigmoide está restringida por un par de asíntotas horizontales como${\displaystyle x\rightarrow \pm \infty }$.

Una función sigmoide es convexa para valores menores que un punto determinado, y cóncava para valores mayores que ese punto: en muchos de los ejemplos aquí presentados, ese punto es 0.

• Función logística$${\displaystyle f(x)={\frac {1}{1+e^{-x}}}}$$
• Tangente hiperbólica (versión desplazada y escalada de la función logística, arriba)$${\displaystyle f(x)=\tanh x={\frac {e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}}}$$
• función arcotangente$${\displaystyle f(x)=\arctan x}$$
• función de Gudermann$${\displaystyle f(x)=\operatorname {gd} (x)=\int _{0}^{x}{\frac {dt}{\cosh t}}=2\arctan \left(\tanh \left({\frac {x}{2}}\right)\right)}$$
• Función de error$${\displaystyle f(x)=\operatorname {erf} (x)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{x}e^{-t^{2}}\,dt}$$
• Función logística generalizada$${\displaystyle f(x)=\left(1+e^{-x}\right)^{-\alpha },\quad \alpha >0}$$
• Función Smoothstep$${\displaystyle f(x)={\begin{cases}{\displaystyle \left(\int _{0}^{1}\left(1-u^{2}\right)^{N}du\right)^{-1}\int _{0}^{x}\left(1-u^{2}\right)^{N}\ du},&|x|\leq 1\\\\\operatorname {sgn}(x)&|x|\geq 1\\\end{cases}}\quad N\in \mathbb {Z} \geq 1}$$
• Algunas funciones algebraicas , por ejemplo$${\displaystyle f(x)={\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}}$$
• y en una forma más general ^{[ 15 ]}$${\displaystyle f(x)={\frac {x}{\left(1+|x|^{k}\right)^{1/k}}}}$$
• Salvo cambios y escalado, muchas funciones sigmoides son casos especiales de$${\displaystyle f(x)=\varphi (\varphi (x,\beta ),\alpha ),}$$dónde$${\displaystyle \varphi (x,\lambda )={\begin{cases}(1-\lambda x)^{1/\lambda }&\lambda \neq 0\\e^{-x}&\lambda =0\\\end{cases}}}$$es la inversa de la transformación negativa de Box-Cox y${\displaystyle \alpha <1}$y${\displaystyle \beta <1}$son parámetros de forma. ^{[ 16 ]}
• Función de transición suave ^{[ 17 ]} normalizada a (−1,1):

$${\displaystyle {\begin{aligned}f(x)&={\begin{cases}{\displaystyle {\frac {2}{1+e^{-2m{\frac {x}{1-x^{2}}}}}}-1},&|x|<1\\\\\operatorname {sgn}(x)&|x|\geq 1\\\end{cases}}\\&={\begin{cases}{\displaystyle \tanh \left(m{\frac {x}{1-x^{2}}}\right)},&|x|<1\\\\\operatorname {sgn}(x)&|x|\geq 1\\\end{cases}}\end{aligned}}}$$utilizando la tangente hiperbólica mencionada anteriormente. Aquí,${\displaystyle m}$es un parámetro libre que codifica la pendiente en${\displaystyle x=0}$, que debe ser mayor o igual que${\displaystyle {\sqrt {3}}}$porque cualquier valor menor dará como resultado una función con múltiples puntos de inflexión, que por lo tanto no es una verdadera sigmoide. Esta función es inusual porque en realidad alcanza los valores límite de −1 y 1 dentro de un rango finito, lo que significa que su valor es constante en −1 para todo${\displaystyle x\leq -1}$y a las 1 para todos${\displaystyle x\geq 1}$. Sin embargo, es suave (infinitamente diferenciable,${\displaystyle C^{\infty }}$) en todas partes , incluso en${\displaystyle x=\pm 1}$.

Muchos procesos naturales, como las curvas de aprendizaje de sistemas complejos , muestran una progresión desde inicios pequeños que se acelera y alcanza un punto máximo con el tiempo. ^{[ 18 ]} Cuando no se dispone de un modelo matemático específico, se suele utilizar una función sigmoide. ^{[ 19 ]}

El modelo de van Genuchten-Gupta se basa en una curva en forma de S invertida y se aplica a la respuesta del rendimiento de los cultivos a la salinidad del suelo .

En el libro "Modelado de la respuesta de los cultivos en la agricultura" se muestran ejemplos de la aplicación de la curva logística en forma de S a la respuesta del rendimiento de los cultivos (trigo) tanto a la salinidad del suelo como a la profundidad del nivel freático .

En las redes neuronales artificiales , a veces se utilizan funciones no suaves para mejorar la eficiencia; estas se conocen como funciones sigmoide duras .

En el procesamiento de señales de audio , las funciones sigmoide se utilizan como funciones de transferencia de conformación de onda para emular el sonido del recorte de circuitos analógicos . ^{[ 20 ]}

En el procesamiento digital de señales en general, las funciones sigmoides, debido a su mayor orden de continuidad, presentan una atenuación asintótica mucho más rápida en el dominio de la frecuencia que una función escalón de Heavyside, y por lo tanto son útiles para suavizar las discontinuidades antes del muestreo y reducir el aliasing. Esto se utiliza, por ejemplo, para generar ondas cuadradas en muchos tipos de sintetizadores digitales .

En bioquímica y farmacología , las ecuaciones de Hill y Hill-Langmuir son funciones sigmoideas.

Al conducir , el cambio de carril se realiza de forma fluida siguiendo una trayectoria sigmoidea.

En gráficos por computadora y renderizado en tiempo real, las funciones sigmoide se utilizan para combinar colores o geometría entre dos valores, produciendo transiciones suaves sin costuras ni discontinuidades visibles.

Las curvas de titulación entre ácidos fuertes y bases fuertes tienen forma sigmoidea debido a la naturaleza logarítmica de la escala de pH .

La función logística se puede calcular de manera eficiente utilizando Unums de tipo III . ^{[ 21 ]}

Se construyó una jerarquía de modelos de crecimiento sigmoide con complejidad creciente (número de parámetros) ^{[ 22 ]} con el objetivo principal de reanalizar los datos cinéticos, las llamadas curvas Nt, de experimentos de nucleación heterogénea, ^{[ 23 ]} en electroquímica . La jerarquía incluye actualmente tres modelos, con 1, 2 y 3 parámetros, si no se cuenta el número máximo de núcleos N _max , respectivamente: un modelo basado en tanh ² llamado α ₂₁ ^{[ 24 ]} ideado originalmente para describir el crecimiento de cristales limitado por difusión (¡no la agregación!) en 2D, el modelo Johnson–Mehl–Avrami–Kolmogorov (JMAK), ^{[ 25 ]} y el modelo de Richards . ^{[ 26 ]} Se demostró que, para el propósito concreto, incluso el modelo más simple funciona, y por lo tanto se infirió que los experimentos revisados ​​son un ejemplo de nucleación en dos etapas, siendo la primera etapa el crecimiento de la fase metaestable en la que se forman los núcleos de la fase estable. ^{[ 22 ]}

• Mitchell, Tom M. (1997). Aprendizaje automático . WCB McGraw–Hill . ISBN 978-0-07-042807-2.(Nota: Véase en particular el "Capítulo 4: Redes neuronales artificiales" (en particular las páginas  96-97), donde Mitchell utiliza los términos "función logística" y "función sigmoide" como sinónimos; a esta función también la denomina "función de compresión"; y la función sigmoide (también conocida como logística) se utiliza para comprimir las salidas de las "neuronas" en redes neuronales multicapa).
• Humphrys, Mark. "Salida continua, la función sigmoide" . Archivado del original el 14 de julio de 2022. Recuperado el 14 de julio de 2022 .(Nota: Propiedades de la función sigmoide, incluyendo cómo puede desplazarse a lo largo de los ejes y cómo puede transformarse su dominio).