grupo euclidiano

El número de grados de libertad para E( n ) es n ( n + 1)/2 , lo que da 3 en el caso n = 2 , y 6 para n = 3 . De estos, n se pueden atribuir a la simetría traslacional disponible , y los n ( n − 1)/2 restantes a la simetría rotacional .

Las isometrías directas (es decir, las isometrías que preservan la quiralidad de los subconjuntos quirales ) comprenden un subgrupo de E( n ), denominado grupo euclidiano especial y generalmente denotado por E ⁺ ( n ) o SE( n ). Incluyen las traslaciones y rotaciones, y sus combinaciones; incluyendo la transformación identidad, pero excluyendo cualquier reflexión.

Las isometrías que invierten la quiralidad se denominan indirectas u opuestas . Para cualquier isometría indirecta fija R , como una reflexión respecto a un hiperplano, cualquier otra isometría indirecta se puede obtener mediante la composición de R con alguna isometría directa. Por lo tanto, las isometrías indirectas son una clase lateral de E ⁺ ( n ), que se puede denotar por E ⁻ ( n ). De ello se deduce que el subgrupo E ⁺ ( n ) tiene índice 2 en E( n ).

La topología natural del espacio euclidiano${\displaystyle \mathbb {E} ^{n}}$implica una topología para el grupo euclidiano E( n ). Es decir, una secuencia f _i de isometrías de${\displaystyle \mathbb {E} ^{n}}$(${\displaystyle i\in \mathbb {N} }$) se define para converger si y solo si, para cualquier punto p de${\displaystyle \mathbb {E} ^{n}}$, la secuencia de puntos p _i converge.

De esta definición se deduce que una función${\displaystyle f:[0,1]\to E(n)}$es continua si y solo si, para cualquier punto p de${\displaystyle \mathbb {E} ^{n}}$, la función${\displaystyle f_{p}:[0,1]\to \mathbb {E} ^{n}}$definida por f _p ( t ) = ( f ( t ))( p ) es continua. Dicha función se denomina "trayectoria continua" en E( n ).

Resulta que el grupo euclidiano especial SE( n ) = E ⁺ ( n ) es conexo en esta topología. Es decir, dadas cualesquiera dos isometrías directas A y B de${\displaystyle \mathbb {E} ^{n}}$Existe una trayectoria continua f en E ⁺ ( n ) tal que f (0) = A y f (1) = B . Lo mismo ocurre con las isometrías indirectas E ⁻ ( n ). Por otro lado, el grupo E( n ) en su conjunto no es conexo: no existe ninguna trayectoria continua que comience en E ⁺ ( n ) y termine en E ⁻ ( n ).

Las trayectorias continuas en E(3) juegan un papel importante en la mecánica clásica , porque describen los movimientos físicamente posibles de un cuerpo rígido en el espacio tridimensional a lo largo del tiempo. Se toma f (0) como la transformación identidad I de ${\displaystyle \mathbb {E} ^{3}}$que describe la posición inicial del cuerpo. La posición y orientación del cuerpo en cualquier instante posterior t se describirán mediante la transformación f (t). Dado que f (0) = I pertenece a E ⁺ (3), lo mismo debe ser cierto para f ( t ) en cualquier instante posterior. Por esta razón, las isometrías euclidianas directas también se denominan "movimientos rígidos".

Los grupos euclidianos no son solo grupos topológicos , sino también grupos de Lie , por lo que las nociones del cálculo pueden adaptarse inmediatamente a este contexto.

El grupo euclidiano E( n ) es un subgrupo del grupo afín para n dimensiones. Ambos grupos tienen una estructura como producto semidirecto del grupo de traslaciones euclidianas con un grupo de transformaciones que preservan el origen, y esta estructura de producto se respeta mediante la inclusión del grupo euclidiano en el grupo afín. Esto da, con mayor razón , dos maneras de escribir elementos en una notación explícita. Estas son:

1. por un par ( A , b ) , donde A es una matriz ortogonal n × n y b es un vector columna real de tamaño n ; o
2. mediante una única matriz cuadrada de tamaño n + 1 , como se explicó para el grupo afín .

Los detalles de la primera representación se ofrecen en la siguiente sección.

En términos del programa de Erlangen de Felix Klein , se deduce que la geometría euclidiana , la geometría del grupo euclidiano de simetrías, es, por lo tanto, una especialización de la geometría afín . Todos los teoremas afines son aplicables. El origen de la geometría euclidiana permite definir la noción de distancia , a partir de la cual se puede deducir el ángulo .

El grupo euclidiano es un subgrupo del grupo de transformaciones afines .

Tiene como subgrupos el grupo traslacional T( n ) y el grupo ortogonal O( n ). Cualquier elemento de E( n ) es una traslación seguida de una transformación ortogonal (la parte lineal de la isometría), de una manera única:$${\displaystyle x\mapsto A(x+b)}$$donde A es una matriz ortogonal

o la misma transformación ortogonal seguida de una traslación:$${\displaystyle x\mapsto Ax+c,}$$con c = Ab

T( n ) es un subgrupo normal de E( n ): para cada traslación t y cada isometría u , la composición$${\displaystyle u^{-1}tu}$$es de nuevo una traducción.

En conjunto, estos hechos implican que E( n ) es el producto semidirecto de O( n ) extendido por T( n ), que se escribe como${\displaystyle {\text{E}}(n)={\text{T}}(n)\rtimes {\text{O}}(n)}$. En otras palabras, O( n ) es (de forma natural) también el grupo cociente de E( n ) por T( n ):$${\displaystyle {\text{O}}(n)\cong {\text{E}}(n)/{\text{T}}(n)}$$

Ahora bien, SO( n ), el grupo ortogonal especial , es un subgrupo de O( n ) de índice dos. Por lo tanto, E( n ) tiene un subgrupo E ⁺ ( n ), ​​también de índice dos, que consiste en isometrías directas . En estos casos, el determinante de A es 1.

Se representan como una traslación seguida de una rotación , en lugar de una traslación seguida de algún tipo de reflexión (en las dimensiones 2 y 3, estas son las reflexiones familiares en una línea o plano de espejo , que se puede considerar que incluye el origen , o en 3D, una reflexión de rotor ).

Esta relación se suele escribir de la siguiente manera:$${\displaystyle {\text{SO}}(n)\cong {\text{E}}^{+}(n)/{\text{T}}(n)}$$ o, equivalentemente:$${\displaystyle {\text{E}}^{+}(n)={\text{SO}}(n)\ltimes {\text{T}}(n).}$$

Tipos de subgrupos de E( n ):

Grupos finitos .

Siempre tienen un punto fijo. En 3D, para cada punto hay para cada orientación dos que son máximos (con respecto a la inclusión) entre los grupos finitos: O _h e I _h . Los grupos I _h son incluso máximos entre los grupos que incluyen la siguiente categoría.

Grupos infinitos numerables sin traslaciones, rotaciones o combinaciones arbitrariamente pequeñas.

Es decir, para cada punto el conjunto de imágenes bajo las isometrías es topológicamente discreto (por ejemplo, para 1 ≤ m ≤ n un grupo generado por m traslaciones en direcciones independientes, y posiblemente un grupo puntual finito). Esto incluye retículos . Ejemplos más generales que esos son los grupos espaciales discretos .

Grupos infinitos numerables con traslaciones, rotaciones o combinaciones arbitrariamente pequeñas.

En este caso , existen puntos para los cuales el conjunto de imágenes bajo las isometrías no es cerrado. Ejemplos de tales grupos son, en 1D, el grupo generado por una traslación de 1 y otra de √2 , y, en 2D, el grupo generado por una rotación alrededor del origen de 1 radián.

Grupos no numerables, donde hay puntos para los cuales el conjunto de imágenes bajo las isometrías no es cerrado.

(por ejemplo, en 2D todas las traslaciones en una dirección y todas las traslaciones por distancias racionales en otra dirección).

Grupos no numerables, donde para todos los puntos el conjunto de imágenes bajo las isometrías es cerrado.

p.ej:

• todas las isometrías directas que mantienen fijo el origen, o más generalmente, algún punto (en 3D llamado grupo de rotación )
• todas las isometrías que mantienen fijo el origen, o más generalmente, algún punto (el grupo ortogonal )
• todas las isometrías directas E ⁺ ( n )
• todo el grupo euclidiano E( n )
• uno de estos grupos en un subespacio m- dimensional combinado con un grupo discreto de isometrías en el espacio ortogonal ( n − m )-dimensional
• uno de estos grupos en un subespacio m- dimensional combinado con otro en el espacio ortogonal ( n − m )-dimensional

Ejemplos de combinaciones en 3D:

• Todas las rotaciones alrededor de un eje fijo
• Ídem combinado con reflexión en planos que pasan por el eje y/o un plano perpendicular al eje.
• Ídem combinado con traslación discreta a lo largo del eje o con todas las isometrías a lo largo del eje.
• un grupo de puntos discretos, un grupo de frisos o un grupo de papel tapiz en un plano, combinado con cualquier grupo de simetría en la dirección perpendicular.
• Todas las isometrías que son una combinación de una rotación alrededor de algún eje y una traslación proporcional a lo largo del eje; en general, esto se combina con isometrías rotacionales de orden k alrededor del mismo eje ( k ≥ 1 ); el conjunto de imágenes de un punto bajo las isometrías es una hélice de orden k ; además, puede haber una rotación de orden 2 alrededor de un eje que se interseca perpendicularmente, y por lo tanto una hélice de orden k de tales ejes.
• para cualquier grupo puntual: el grupo de todas las isometrías que son una combinación de una isometría en el grupo puntual y una traslación; por ejemplo, en el caso del grupo generado por inversión en el origen: el grupo de todas las traslaciones e inversiones en todos los puntos; este es el grupo diedral generalizado de R ³ , Dih(R ³ ).

E(1), E(2) y E(3) se pueden categorizar de la siguiente manera, con grados de libertad :

El teorema de Chasles afirma que cualquier elemento de E ⁺ (3) es un desplazamiento de tornillo .

Véase también isometrías 3D que dejan el origen fijo , grupo espacial , involución .

Para algunos pares isométricos, la composición no depende del orden:

• dos traducciones
• dos rotaciones o tornillos alrededor del mismo eje
• reflexión con respecto a un plano, y una traslación en ese plano, una rotación alrededor de un eje perpendicular al plano, o una reflexión con respecto a un plano perpendicular.
• reflexión deslizante con respecto a un plano y una traslación en ese plano.
• inversión en un punto y cualquier isometría que mantenga el punto fijo
• rotación de 180° alrededor de un eje y reflexión en un plano que pasa por ese eje.
• rotación de 180° alrededor de un eje y rotación de 180° alrededor de un eje perpendicular (lo que resulta en una rotación de 180° alrededor del eje perpendicular a ambos).
• dos reflexiones del rotor alrededor del mismo eje, con respecto al mismo plano
• dos reflexiones de deslizamiento con respecto al mismo plano

Las traslaciones a una distancia determinada en cualquier dirección forman una clase de conjugación ; el grupo de traslaciones es la unión de aquellas para todas las distancias.

En 1D, todas las reflexiones pertenecen a la misma clase.

En 2D, las rotaciones del mismo ángulo en cualquier dirección pertenecen a la misma clase. Las reflexiones de deslizamiento con traslación de la misma distancia pertenecen a la misma clase.

En 3D:

• Las inversiones con respecto a todos los puntos pertenecen a la misma clase.
• Las rotaciones del mismo ángulo pertenecen a la misma clase.
• Las rotaciones alrededor de un eje combinadas con la traslación a lo largo de ese eje pertenecen a la misma clase si el ángulo es el mismo y la distancia de traslación es la misma.
• Las reflexiones en un plano pertenecen a la misma clase.
• Las reflexiones en un plano combinadas con una traslación en ese mismo plano por la misma distancia pertenecen a la misma clase.
• Las rotaciones alrededor de un eje con un ángulo distinto de 180°, combinadas con una reflexión en un plano perpendicular a ese eje, pertenecen a la misma categoría.