Grupo modular

En matemáticas , el grupo modular es el grupo lineal especial proyectivo.${\displaystyle \operatorname {PSL} (2,\mathbb {Z} )}$de${\displaystyle 2\times 2}$matrices con coeficientes enteros y determinante${\displaystyle 1}$, de tal manera que las matrices${\displaystyle A}$y${\displaystyle -A}$Se identifican. El grupo modular actúa sobre la mitad superior del plano complejo mediante transformaciones fraccionarias lineales . El nombre "grupo modular" proviene de la relación con los espacios de módulos , y no de la aritmética modular .

El grupo modular Γ es el grupo de transformaciones lineales fraccionarias del semiplano superior complejo , que tienen la forma

${\displaystyle z\mapsto {\frac {az+b}{cz+d}},}$

dónde${\displaystyle a,b,c,d}$son números enteros y${\displaystyle ad-bc=1}$La operación de grupo es la composición de funciones .

Este grupo de transformaciones es isomorfo al grupo lineal especial proyectivo.${\displaystyle \operatorname {PSL} (2,\mathbb {Z} )}$, que es el cociente del grupo lineal especial bidimensional${\displaystyle \operatorname {SL} (2,\mathbb {Z} )}$por su centro${\displaystyle \{I,-I\}}$. En otras palabras,${\displaystyle \operatorname {PSL} (2,\mathbb {Z} )}$consta de todas las matrices

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}}$

dónde${\displaystyle a,b,c,d}$son números enteros,${\displaystyle ad-bc=1}$y pares de matrices${\displaystyle A}$y${\displaystyle -A}$se consideran idénticas. La operación de grupo es la multiplicación de matrices habitual .

Algunos autores definen el grupo modular como${\displaystyle \operatorname {PSL} (2,\mathbb {Z} )}$y otros definen el grupo modular como el grupo más grande.${\displaystyle \operatorname {SL} (2,\mathbb {Z} )}$.

Algunas relaciones matemáticas requieren la consideración del grupo${\displaystyle \operatorname {GL} (2,\mathbb {Z} )}$de matrices con determinante más o menos uno. (${\displaystyle \operatorname {SL} (2,\mathbb {Z} )}$es un subgrupo de este grupo.) De manera similar,${\displaystyle \operatorname {PGL} (2,\mathbb {Z} )}$es el grupo cociente${\displaystyle \operatorname {GL} (2,\mathbb {Z} )/\{I,-I\}}$.

Dado que todos${\displaystyle 2\times 2}$Las matrices con determinante 1 son matrices simplécticas , entonces${\displaystyle \operatorname {SL} (2,\mathbb {Z} )=\operatorname {Sp} (2,\mathbb {Z} )}$, el grupo simpléctico de${\displaystyle 2\times 2}$matrices.

El determinante unitario de

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}}$

_Esto implica que las fracciones _{a / b , a / c , c / d} y _{b / d son todas irreducibles, es decir ,} no tienen factores comunes (siempre que los denominadores sean distintos _{de cero, por supuesto). De} forma más general, si p/ q es una fracción irreducible , entonces

${\displaystyle {\frac {ap+bq}{cp+dq}}}$

También es irreducible (de nuevo, siempre que el denominador sea distinto de cero). Cualquier par de fracciones irreducibles se puede conectar de esta manera; es decir, para cualquier par ⁠ p / q ⁠ y ⁠ r / s ⁠ de fracciones irreducibles, existen elementos

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in \operatorname {SL} (2,\mathbb {Z} )}$

de tal manera que

${\displaystyle r=ap+bq\quad {\mbox{ and }}\quad s=cp+dq.}$

Los elementos del grupo modular proporcionan una simetría en la red bidimensional . Sean ω ₁ y ω ₂ dos números complejos cuya razón no es real. Entonces el conjunto de puntos

${\displaystyle \Lambda (\omega _{1},\omega _{2})=\{m\omega _{1}+n\omega _{2}:m,n\in \mathbb {Z} \}}$

es una red de paralelogramos en el plano. Un par diferente de vectores α ₁ y α ₂ generará exactamente la misma red si y solo si

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\alpha _{1}\\\alpha _{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\omega _{1}\\\omega _{2}\end{pmatrix}}}$

para alguna matriz en GL(2, Z ) . Es por esta razón que las funciones doblemente periódicas , como las funciones elípticas , poseen una simetría de grupo modular.

La acción del grupo modular sobre los números racionales se comprende mejor imaginando una cuadrícula cuadrada, donde cada punto ( p , q ) corresponde a la fracción p / q (véase el huerto de Euclides ). Una fracción irreducible es aquella visible desde el origen; la acción del grupo modular sobre una fracción nunca transforma una fracción visible ( irreducible ) en una oculta (reducible), ni viceversa.

Nótese que cualquier miembro del grupo modular mapea la recta real extendida proyectivamente de forma biyectiva consigo misma, y ​​además mapea biyectivamente la recta racional extendida proyectivamente (los racionales con infinito) consigo misma, los irracionales a los irracionales, los números trascendentales a los números trascendentales, los números no reales a los números no reales, el semiplano superior al semiplano superior, etcétera.

Si ⁠ p _{n −1} / q _{n −1} ⁠ y ⁠ p _n / q _n ⁠ son dos convergentes sucesivas de una fracción continua , entonces la matriz

${\displaystyle {\begin{pmatrix}p_{n-1}&p_{n}\\q_{n-1}&q_{n}\end{pmatrix}}}$

pertenece a GL(2, Z ) . En particular, si bc − ad = 1 para enteros positivos a , b , c , d con a < b y c < d entonces ⁠ a / b ⁠ y ⁠ c / d ⁠ serán vecinos en la secuencia de Farey de orden max( b , d ) . Casos especiales importantes de convergentes de fracciones continuas incluyen los números de Fibonacci y soluciones de la ecuación de Pell . En ambos casos, los números pueden ordenarse para formar un subconjunto de semigrupo del grupo modular.

El grupo modular es importante porque forma un subgrupo del grupo de isometrías del plano hiperbólico . Si consideramos el modelo de semiplano superior H de la geometría del plano hiperbólico, entonces el grupo de todas las isometrías de H que preservan la orientación consta de todas las transformaciones de Möbius de la forma

${\displaystyle z\mapsto {\frac {az+b}{cz+d}}}$

donde a , b , c , d son números reales . En términos de coordenadas proyectivas , el grupo PSL(2, R ) actúa sobre el semiplano superior H mediante proyectividad:

${\displaystyle [z,\ 1]{\begin{pmatrix}a&c\\b&d\end{pmatrix}}\,=\,[az+b,\ cz+d]\,\thicksim \,\left[{\frac {az+b}{cz+d}},\ 1\right].}$

Esta acción es fiel . Dado que PSL(2, Z ) es un subgrupo de PSL(2, R ) , el grupo modular es un subgrupo del grupo de isometrías que preservan la orientación de H. ^{[ 3 ]}

Teselación del plano hiperbólico

El grupo modular Γ actúa sobre${\textstyle \mathbb {H} }$como un subgrupo discreto de${\textstyle \operatorname {PSL} (2,\mathbb {R} )}$, es decir, para cada z en${\textstyle \mathbb {H} }$Podemos encontrar un entorno de z que no contenga ningún otro elemento de su órbita . Esto también significa que podemos construir dominios fundamentales que (aproximadamente) contienen exactamente un representante de la órbita de cada z en H. (Es necesario tener cuidado con el límite del dominio).

Hay muchas maneras de construir un dominio fundamental, pero una opción común es la región.

${\displaystyle R=\left\{z\in \mathbb {H} \colon \left|z\right|>1,\,\left|\operatorname {Re} (z)\right|<{\tfrac {1}{2}}\right\}}$

delimitada por las líneas verticales Re( z ) = 1 / 2 y Re( z ) = − 1 / 2 , y el círculo | z | = 1 . Esta región es un triángulo hiperbólico . Tiene vértices en 1 / 2 + i √ 3 / 2 y − 1 / 2 + i √ 3 / 2 , donde el ángulo entre sus lados es π / 3 , y un tercer vértice en el infinito, donde el ángulo entre sus lados es 0 . 

Existe una fuerte conexión entre el grupo modular y las curvas elípticas . Cada punto${\displaystyle z}$en el semiplano superior da una curva elíptica, es decir, el cociente de${\displaystyle \mathbb {C} }$por la red generada por 1 y${\displaystyle z}$Dos puntos en el semiplano superior generan curvas elípticas isomorfas si y solo si están relacionados por una transformación en el grupo modular. Así, el cociente del semiplano superior por la acción del grupo modular constituye el llamado espacio de módulos de curvas elípticas: un espacio cuyos puntos describen clases de isomorfismo de curvas elípticas. Este espacio se suele visualizar como el dominio fundamental descrito anteriormente, con algunos puntos en su frontera identificados.

El grupo modular y sus subgrupos también son fuente de interesantes teselaciones del plano hiperbólico. Al transformar este dominio fundamental sucesivamente mediante cada uno de los elementos del grupo modular, se crea una teselación regular del plano hiperbólico mediante triángulos hiperbólicos congruentes, conocida como teselación triangular de orden infinito V6.6.∞ . Nótese que cada triángulo de este tipo tiene un vértice en el infinito o en el eje real Im( z ) = 0 .

Este recubrimiento puede extenderse al disco de Poincaré , donde cada triángulo hiperbólico tiene un vértice en el borde del disco. El recubrimiento del disco de Poincaré viene dado de forma natural por el invariante J , que es invariante bajo el grupo modular y alcanza cada número complejo una vez en cada triángulo de estas regiones.

Esta teselación se puede refinar ligeramente dividiendo cada región en dos mitades (convencionalmente coloreadas en blanco y negro), añadiendo un mapa de inversión de orientación; los colores corresponden entonces a la orientación del dominio. Añadiendo ( x , y ) ↦ (− x , y ) y tomando la mitad derecha de la región R (donde Re( z ) ≥ 0 ) se obtiene la teselación usual. Esta teselación aparece por primera vez impresa en ( Klein & 1878/79a ) , ^{[ 4 ]} donde se le atribuye a Richard Dedekind , en referencia a ( Dedekind 1877 ) . ^{[ 4 ] [ 5 ]}

El mapa de grupos (2, 3, ∞) → (2, 3, n ) (del grupo modular al grupo triangular) se puede visualizar en términos de este teselado (que produce un teselado en la curva modular), como se muestra en el vídeo de la derecha.

Los subgrupos importantes del grupo modular Γ , llamados subgrupos de congruencia , se obtienen imponiendo relaciones de congruencia en las matrices asociadas.

Existe un homomorfismo natural SL(2, Z ) → SL(2, Z / N Z ) dado al reducir las entradas módulo N . Esto induce un homomorfismo en el grupo modular PSL(2, Z ) → PSL(2, Z / N Z ) . El núcleo de este homomorfismo se denomina subgrupo de congruencia principal de nivel N , denotado por Γ( N ) . Tenemos la siguiente sucesión exacta corta :

${\displaystyle 1\to \Gamma (N)\to \Gamma \to \operatorname {PSL} (2,\mathbb {Z} /N\mathbb {Z} )\to 1.}$

Siendo el núcleo de un homomorfismo Γ( N ) es un subgrupo normal del grupo modular Γ . El grupo Γ( N ) se define como el conjunto de todas las transformaciones modulares.

${\displaystyle z\mapsto {\frac {az+b}{cz+d}}}$

para los cuales a ≡ d ≡ ±1 (mod N ) y b ≡ c ≡ 0 (mod N ) .

Es fácil demostrar que la traza de una matriz que representa un elemento de Γ( N ) no puede ser −1, 0 ni 1, por lo que estos subgrupos son grupos libres de torsión . (Existen otros subgrupos libres de torsión).

El subgrupo de congruencia principal de nivel 2, Γ(2) , también se denomina grupo modular Λ . Dado que PSL(2, Z /2 Z ) es isomorfo a S ₃ , Λ es un subgrupo de índice 6. El grupo Λ consta de todas las transformaciones modulares para las cuales a y d son impares y b y c son pares.

Otra familia importante de subgrupos de congruencia son los grupos modulares Γ ₀ ( N ) definidos como el conjunto de todas las transformaciones modulares para las cuales c ≡ 0 (mod N ) , o equivalentemente, como el subgrupo cuyas matrices se vuelven triangulares superiores al reducirlas módulo N . Nótese que Γ( N ) es un subgrupo de Γ ₀ ( N ) . Las curvas modulares asociadas con estos grupos son un aspecto de la luz de luna monstruosa : para un número primo p , la curva modular del normalizador es de género cero si y solo si p divide el orden del grupo monstruoso , o equivalentemente, si p es un primo supersingular .

Un subconjunto importante del grupo modular es el monoide diádico , que es el monoide de todas las cadenas de la forma ST ^{n ₁} ST ^{n ₂} ST ^{n ₃} ... para enteros positivos n _i . Este monoide aparece de forma natural en el estudio de las curvas fractales y describe las simetrías de autosimilitud de la función de Cantor , la función de signo de interrogación de Minkowski y el copo de nieve de Koch , cada uno de los cuales es un caso especial de la curva de de Rham general . El monoide también tiene representaciones lineales de dimensiones superiores; por ejemplo, la representación N = 3 puede entenderse como la descripción de la autosimetría de la curva blancmange .

El grupo GL(2, Z ) son las aplicaciones lineales que preservan la red estándar Z² , y SL(2, Z ) son las aplicaciones que preservan la orientación y que preservan esta red; por lo tanto ^, descienden a auto-homeomorfismos del toro (SL mapea a aplicaciones que preservan la orientación) y, de hecho, se mapean isomórficamente al grupo de clases de mapeo (extendido) del toro, lo que significa que todo auto-homeomorfismo del toro es isotópico a una aplicación de esta forma. Las propiedades algebraicas de una matriz como elemento de GL(2, Z ) corresponden a la dinámica de la aplicación inducida del toro.

El grupo modular puede generalizarse a los grupos de Hecke , que reciben su nombre de Erich Hecke y se definen de la siguiente manera. ^{[ 7 ]}

El grupo de Hecke H _q con q ≥ 3 , es el grupo discreto generado por

${\displaystyle {\begin{aligned}z&\mapsto -{\frac {1}{z}}\\z&\mapsto z+\lambda _{q},\end{aligned}}}$

donde λ _q = 2 cos ⁠ π / q ⁠ . Para valores pequeños de q ≥ 3 , se tiene:

${\displaystyle {\begin{aligned}\lambda _{3}&=1,\\\lambda _{4}&={\sqrt {2}},\\\lambda _{5}&={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}},\\\lambda _{6}&={\sqrt {3}},\\\lambda _{8}&={\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}.\end{aligned}}}$

El grupo modular Γ es isomorfo a H ₃ y comparten propiedades y aplicaciones; por ejemplo, al igual que existe el producto libre de grupos cíclicos.

${\displaystyle \Gamma \cong C_{2}*C_{3},}$

más generalmente uno tiene

${\displaystyle H_{q}\cong C_{2}*C_{q},}$

que corresponde al grupo triangular (2, q , ∞) . De manera similar, existe una noción de subgrupos de congruencia principal asociados a ideales principales en Z [ λ ] .

El grupo modular y sus subgrupos fueron estudiados en detalle por primera vez por Richard Dedekind y por Felix Klein como parte de su programa de Erlangen en la década de 1870. Sin embargo, las funciones elípticas, estrechamente relacionadas , fueron estudiadas por Joseph Louis Lagrange en 1785, y Carl Gustav Jakob Jacobi y Niels Henrik Abel publicaron resultados adicionales sobre funciones elípticas en 1827.