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Articulo de referencia

Media estandarizada de una variable de contraste

En estadística , la media estandarizada de una variable de contraste (SMCV o SMC) es un parámetro que evalúa el tamaño del efecto . La SMCV se define como la media dividida por ...

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En estadística , la media estandarizada de una variable de contraste (SMCV o SMC) es un parámetro que evalúa el tamaño del efecto . La SMCV se define como la media dividida por la desviación estándar de una variable de contraste . [ 1 ] [ 2 ] La SMCV se propuso inicialmente para casos de ANOVA unidireccional [ 2 ] y posteriormente se extendió a casos de ANOVA multifactorial . [ 3 ]

Fondo

Es importante realizar interpretaciones consistentes de la fuerza de la comparación entre grupos, representada por un contraste. [ 4 ] [ 5 ]

Cuando solo hay dos grupos involucrados en una comparación, SMCV es lo mismo que la diferencia de medias estrictamente estandarizada (SSMD). SSMD pertenece a un tipo popular de medida del tamaño del efecto llamada "diferencias de medias estandarizadas" [ 6 ] que incluye la de Cohen.d{\displaystyle d}[ 7 ] y Glassδ.{\displaystyle \delta .}[ 8 ]

En ANOVA , un parámetro similar para medir la fuerza de la comparación de grupos es el tamaño del efecto estandarizado (SES). [ 9 ] Un problema con SES es que sus valores no son comparables para contrastes con diferentes coeficientes. SMCV no tiene ese problema.

Concepto

Supongamos que los valores aleatorios en t grupos están representados por variables aleatorias.GRAMO1,GRAMO2,…,GRAMOt{\displaystyle G_{1},G_{2},\ldots ,G_{t}}tener mediosμ1,μ2,…,μt{\displaystyle \mu _{1},\mu _{2},\ldots ,\mu _{t}}y variacionesσ12,σ22,…,σt2{\displaystyle \sigma _{1}^{2},\sigma _{2}^{2},\ldots ,\sigma _{t}^{2}}, respectivamente. Una variable de contrasteV{\displaystyle V}se define por

V=∑i=1tdoiGRAMOi,{\displaystyle V=\sum _{i=1}^{t}c_{i}G_{i},}

donde eldoi{\displaystyle c_{i}}son un conjunto de coeficientes que representan una comparación de interés y satisfacen∑i=1tdoi=0{\displaystyle \sum _{i=1}^{t}c_{i}=0}. El SMCV de la variable de contrasteV{\displaystyle V}, denotado porλ{\displaystyle \lambda }, se define como [ 1 ]

λ=mi⁡(V)desviación estándar⁡(V)=∑i=1tdoiμiVar(∑i=1tdoiGRAMOi)=∑i=1tdoiμi∑i=1tdoi2σi2+2∑i=1t∑j=idoidojσij{\displaystyle \lambda ={\frac {\operatorname {E} (V)}{\operatorname {stdev} (V)}}={\frac {\sum _{i=1}^{t}c_{i}\mu _{i}}{\sqrt {{\text{Var}}\left(\sum _{i=1}^{t}c_{i}G_{i}\right)}}}={\frac {\sum _{i=1}^{t}c_{i}\mu _{i}}{\sqrt {\sum _{i=1}^{t}c_{i}^{2}\sigma _{i}^{2}+2\sum _{i=1}^{t}\sum _{j=i}c_{i}c_{j}\sigma _{ij}}}}}

dóndeσij{\displaystyle \sigma _{ij}}es la covarianza deGRAMOi{\displaystyle G_{i}}yGRAMOj{\displaystyle G_{j}}. CuandoGRAMO1,GRAMO2,…,GRAMOt{\displaystyle G_{1},G_{2},\ldots ,G_{t}}son independientes,

λ=∑i=1tdoiμi∑i=1tdoi2σi2.{\displaystyle \lambda ={\frac {\sum _{i=1}^{t}c_{i}\mu _{i}}{\sqrt {\sum _{i=1}^{t}c_{i}^{2}\sigma _{i}^{2}}}}.}

Regla de clasificación para la fuerza de las comparaciones entre grupos

El valor de la población (denotado porλ{\displaystyle \lambda }) de SMCV se puede utilizar para clasificar la fuerza de una comparación representada por una variable de contraste , como se muestra en la siguiente tabla. [ 1 ] [ 2 ] Esta regla de clasificación tiene una base probabilística debido al vínculo entre SMCV y la probabilidad c + . [ 1 ]

Estimación estadística e inferencia

La estimación e inferencia de SMCV que se presenta a continuación corresponde a experimentos de un factor. [ 1 ] [ 2 ] También se ha analizado la estimación e inferencia de SMCV para experimentos multifactoriales. [ 1 ] [ 3 ]

La estimación de SMCV depende de cómo se obtienen las muestras en un estudio. Cuando los grupos están correlacionados, suele ser difícil estimar la covarianza entre ellos. En tal caso, una buena estrategia es obtener muestras (o sujetos) emparejadas y realizar un análisis de contraste basado en dichas muestras. Un ejemplo sencillo de análisis de contraste emparejado es el análisis de la diferencia de los efectos de un fármaco antes y después de su administración en los mismos pacientes. Por el contrario, otra estrategia consiste en no emparejar las muestras y realizar un análisis de contraste basado en muestras no emparejadas. Un ejemplo sencillo de análisis de contraste no emparejado es la comparación de la eficacia entre un fármaco nuevo administrado a algunos pacientes y un fármaco estándar administrado a otros. Los métodos de estimación de SMCV y la probabilidad c + en el análisis de contraste emparejado pueden diferir de los utilizados en el análisis de contraste no emparejado.

Muestras no coincidentes

Consideremos una muestra independiente de tamañonortei{\displaystyle n_{i}},

Yi=(Yi1,Yi2,…,Yinortei){\displaystyle Y_{i}=\left(Y_{i1},Y_{i2},\ldots ,Y_{in_{i}}\right)}

desdeiel(i=1,2,…,t){\displaystyle i^{\text{th}}(i=1,2,\ldots ,t)}grupoGRAMOi{\displaystyle G_{i}}.Yi{\displaystyle Y_{i}}son independientes. DejemosY¯i=1nortei∑j=1norteiYij{\displaystyle {\bar {Y}}_{i}={\frac {1}{n_{i}}}\sum _{j=1}^{n_{i}}Y_{ij}},

si2=1nortei−1∑j=1nortei(Yij−Y¯i)2,{\displaystyle s_{i}^{2}={\frac {1}{n_{i}-1}}\sum _{j=1}^{n_{i}}\left(Y_{ij}-{\bar {Y}}_{i}\right)^{2},}
norte=∑i=1tnortei{\displaystyle N=\sum _{i=1}^{t}n_{i}}

y

MSE =1norte−t∑i=1t(nortei−1)si2.{\displaystyle {\text{MSE }}={\frac {1}{Nt}}\sum _{i=1}^{t}\left(n_{i}-1\right)s_{i}^{2}.}

Cuando elt{\displaystyle t}Los grupos tienen varianza desigual, la estimación de máxima verosimilitud (MLE) y la estimación del método de los momentos (MM) de SMCV (λ{\displaystyle \lambda }) son, respectivamente [ 1 ] [ 2 ]

λ^MLE =∑i=1tdoiY¯i∑i=1tnortei−1norteidoi2si2{\displaystyle {\hat {\lambda }}_{\text{MLE }}={\frac {\sum _{i=1}^{t}c_{i}{\bar {Y}}_{i}}{\sqrt {\sum _{i=1}^{t}{\frac {n_{i}-1}{n_{i}}}c_{i}^{2}s_{i}^{2}}}}}

y

λ^MM=∑i=1tdoiY¯i∑i=1tdoi2si2.{\displaystyle {\hat {\lambda }}_{\text{MM}}={\frac {\sum _{i=1}^{t}c_{i}{\bar {Y}}_{i}}{\sqrt {\sum _{i=1}^{t}c_{i}^{2}s_{i}^{2}}}}.}

Cuando elt{\displaystyle t}Los grupos tienen varianza igual, bajo el supuesto de normalidad, la estimación insesgada de varianza mínima uniforme (UMVUE) de SMCV (λ{\displaystyle \lambda }) es [ 1 ] [ 2 ]

λ^UMVUE=Knorte−t∑i=1tdoiY¯i∑i=1tMSE doi2{\displaystyle {\hat {\lambda }}_{\text{UMVUE}}={\sqrt {\frac {K}{N-t}}}{\frac {\sum _{i=1}^{t}c_{i}{\bar {Y}}_{i}}{\sqrt {\sum _{i=1}^{t}{\text{MSE }}c_{i}^{2}}}}}

dóndeK=2(Γ(norte−t2))2(Γ(norte−t−12))2{\displaystyle K={\frac {2\left(\Gamma \left({\frac {N-t}{2}}\right)\right)^{2}}{\left(\Gamma \left({\frac {N-t-1}{2}}\right)\right)^{2}}}}.

El intervalo de confianza de SMCV se puede construir utilizando la siguiente distribución t no central : [ 1 ] [ 2 ]

T=∑i=1tdoiY¯i∑i=1tMSE doi2/nortei∼no central t(norte−t,bλ){\displaystyle T={\frac {\sum _{i=1}^{t}c_{i}{\bar {Y}}_{i}}{\sqrt {\sum _{i=1}^{t}{\text{MSE }}c_{i}^{2}/n_{i}}}}\sim {\text{noncentral }}t(N-t,b\lambda )}

dóndeb=∑i=1tdoi2∑i=1tdoi2/nortei.{\displaystyle b={\sqrt {\frac {\sum _{i=1}^{t}c_{i}^{2}}{\sum _{i=1}^{t}c_{i}^{2}/n_{i}}}}.}

Muestras coincidentes

En el análisis de contrastes emparejados, suponga que haynorte{\displaystyle n}muestras independientes(Y1j,Y2j,⋯,Ytj){\displaystyle \left(Y_{1j},Y_{2j},\cdots ,Y_{tj}\right)}det{\displaystyle t}grupos (GRAMOi{\displaystyle G_{i}}'s), dondei=1,2,⋯,t;j=1,2,⋯,norte{\displaystyle i=1,2,\cdots ,t;j=1,2,\cdots ,n}. Entonces eljel{\displaystyle j^{\text{th}}}valor observado de un contraste V=∑i=1tdoiGRAMOi{\displaystyle V=\sum _{i=1}^{t}c_{i}G_{i}}esvj=∑i=1tdoiYi{\displaystyle v_{j}=\sum _{i=1}^{t}c_{i}Y_{i}}.

DejarV¯{\displaystyle {\bar {V}}}ysV2{\displaystyle s_{V}^{2}}sean la media muestral y la varianza muestral de la variable de contraste.V{\displaystyle V}, respectivamente. Bajo supuestos de normalidad, la estimación UMVUE de SMCV es [ 1 ]

λ^UMVUE=Knorte−1V¯sV{\displaystyle {\hat {\lambda }}_{\text{UMVUE}}={\sqrt {\frac {K}{n-1}}}{\frac {\bar {V}}{s_{V}}}}

dóndeK=2(Γ(norte−12))2(Γ(norte−22))2.{\displaystyle K={\frac {2\left(\Gamma \left({\frac {n-1}{2}}\right)\right)^{2}}{\left(\Gamma \left({\frac {n-2}{2}}\right)\right)^{2}}}.}

Se puede construir un intervalo de confianza para SMCV utilizando la siguiente distribución t no central : [ 1 ]

T=V¯sV/norte∼no central t(norte−1,norteλ).{\displaystyle T={\frac {\bar {V}}{s_{V}/{\sqrt {n}}}}\sim {\text{noncentral }}t\left(n-1,{\sqrt {n}}\lambda \right).}

Véase también

Referencias

  1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Zhang XHD (2011). Cribado óptimo de alto rendimiento: diseño experimental práctico y análisis de datos para la investigación de ARN de interferencia a escala genómica . Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-73444-8.
  2. 1 2 3 4 5 6 7 Zhang XHD (2009). "Un método para comparar eficazmente los efectos genéticos en múltiples condiciones en la investigación de ARN de interferencia y perfiles de expresión". Farmacogenómica . 10 (3): 345– 58. doi : 10.2217/14622416.10.3.345 . PMID 20397965 . 
  3. 1 2 Zhang XHD (2010). "Evaluación del tamaño de los efectos de genes o ARNi en experimentos multifactoriales de alto rendimiento". Farmacogenómica . 11 (2): 199– 213. doi : 10.2217/PGS.09.136 . PMID 20136359 . 
  4. ↑ Rosenthal R, Rosnow RL, Rubin DB (2000). Contrastes y tamaños del efecto en la investigación del comportamiento . Cambridge University Press. ISBN 0-521-65980-9.
  5. ↑ Huberty CJ (2002). "Una historia de los índices del tamaño del efecto". Medición educativa y psicológica . 62 (2): 227– 40. doi : 10.1177/0013164402062002002 .
  6. ↑ Kirk RE (1996). "Importancia práctica: Un concepto cuyo momento ha llegado". Medición educativa y psicológica . 56 (5): 746– 59. doi : 10.1177/0013164496056005002 .
  7. ↑ Cohen J (1962). "El poder estadístico de la investigación en psicología social anormal: una revisión". Journal of Abnormal and Social Psychology . 65 : 145–53 . doi : 10.1037/h0045186 . PMID 13880271 . 
  8. ↑ Glass GV (1976). "Análisis primario, secundario y metaanálisis de la investigación". Educational Researcher . 5 (10): 3– 8. doi : 10.3102/0013189X005010003 .
  9. ↑ Steiger JH (2004). "Más allá de la prueba F: intervalos de confianza del tamaño del efecto y pruebas de ajuste en el análisis de varianza y el análisis de contraste". Métodos Psicológicos . 9 (2): 164– 82. doi : 10.1037/1082-989x.9.2.164 . PMID 15137887 . 
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