Método de aproximación del punto de silla

El método de aproximación del punto de silla, propuesto inicialmente por Daniels (1954) ^{[ 1 ],} es un ejemplo específico de la técnica matemática del punto de silla aplicada a la estadística , en particular a la distribución de la suma de${\displaystyle N}$variables aleatorias independientes. Proporciona una fórmula de aproximación muy precisa para cualquier función de densidad de probabilidad (PDF) o función de masa de probabilidad de una distribución, basada en la función generadora de momentos . También existe una fórmula para la función de distribución acumulada (CDF) de la distribución, propuesta por Lugannani y Rice (1980). ^{[ 2 ]}

Si la función generadora de momentos de una variable aleatoria${\displaystyle X=\sum _{i=1}^{N}X_{i}}$se escribe como${\displaystyle M(t)=E\left[e^{tX}\right]=E\left[e^{t\sum _{i=1}^{N}X_{i}}\right]}$y la función generadora de cumulantes como${\displaystyle K(t)=\log(M(t))=\sum _{i=1}^{N}\log E\left[e^{tX_{i}}\right]}$Luego, la aproximación del punto de silla a la función de densidad de probabilidad de la distribución.${\displaystyle X}$se define como: ^{[ 1 ]}

${\displaystyle {\hat {f}}_{X}(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi K''({\hat {s}})}}}\exp(K({\hat {s}})-{\hat {s}}x)\,\left(1+{\mathcal {R}}\right)}$

dónde${\displaystyle {\mathcal {R}}}$contiene términos de orden superior para refinar la aproximación ^{[ 1 ]} y la aproximación del punto de silla a la CDF se define como: ^{[ 1 ]}

${\displaystyle {\hat {F}}_{X}(x)={\begin{cases}\Phi ({\hat {w}})+\phi ({\hat {w}})\left({\frac {1}{\hat {w}}}-{\frac {1}{\hat {u}}}\right)&{\text{for }}x\neq \mu \\{\frac {1}{2}}+{\frac {K'''(0)}{6{\sqrt {2\pi }}K''(0)^{3/2}}}&{\text{for }}x=\mu \end{cases}}}$

dónde${\displaystyle {\hat {s}}}$es la solución a${\displaystyle K'({\hat {s}})=x}$,${\displaystyle {\hat {w}}=\operatorname {sgn} {\hat {s}}{\sqrt {2({\hat {s}}x-K({\hat {s}}))}}}$,${\displaystyle {\hat {u}}={\hat {s}}{\sqrt {K''({\hat {s}})}}}$, y${\displaystyle \Phi (t)}$y${\displaystyle \phi (t)}$son la función de distribución acumulativa y la función de densidad de probabilidad de una distribución normal , respectivamente, y${\displaystyle \mu }$es la media de la variable aleatoria${\displaystyle X}$:

${\displaystyle \mu \triangleq E\left[X\right]=\int _{-\infty }^{+\infty }xf_{X}(x)\,{\text{d}}x=\sum _{i=1}^{N}E\left[X_{i}\right]=\sum _{i=1}^{N}\int _{-\infty }^{+\infty }x_{i}f_{X_{i}}(x_{i})\,{\text{d}}x_{i}}$.

Cuando la distribución es la de una media muestral, la expansión de punto de silla de Lugannani y Rice para la función de distribución acumulativa${\displaystyle F(x)}$puede diferenciarse para obtener la expansión del punto de silla de Daniels para la función de densidad de probabilidad${\displaystyle f(x)}$(Routledge y Tsao, 1997). Este resultado establece la derivada de una serie de Lugannani y Rice truncada como una aproximación asintótica alternativa para la función de densidad.${\displaystyle f(x)}$. A diferencia de la aproximación original del punto de silla para${\displaystyle f(x)}$, en general, esta aproximación alternativa no necesita ser renormalizada.

• Butler, Ronald W. (2007), Aproximaciones de punto de silla con aplicaciones , Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 9780521872508
• Daniels, HE (1954), "Aproximaciones de punto de silla en estadística", The Annals of Mathematical Statistics , 25 (4): 631– 650, doi : 10.1214/aoms/1177728652
• Daniels, HE (1980), "Aproximaciones exactas del punto de silla", Biometrika , 67 (1): 59– 63, doi : 10.1093/biomet/67.1.59 , JSTOR 2335316 
• Lugannani, R.; Rice, S. (1980), "Aproximación del punto de silla para la distribución de la suma de variables aleatorias independientes", Advances in Applied Probability , 12 (2): 475– 490, doi : 10.2307/1426607 , JSTOR 1426607 , S2CID 124484743  
• Reid, N. (1988), "Métodos de punto de silla e inferencia estadística", Statistical Science , 3 (2): 213– 227, doi : 10.1214/ss/1177012906
• Routledge, RD; Tsao, M. (1997), "Sobre la relación entre dos expansiones asintóticas para la distribución de la media muestral y sus aplicaciones", Annals of Statistics , 25 (5): 2200– 2209, doi : 10.1214/aos/1069362394