ecuación de ionización de Saha

En física, la ecuación de ionización de Saha es una expresión que relaciona el estado de ionización de un gas en equilibrio térmico con la temperatura y la presión. ^{[ 1 ] [ 2 ]} La ecuación es el resultado de combinar ideas de la mecánica cuántica y la mecánica estadística, y se utiliza para explicar la clasificación espectral de las estrellas. La expresión fue desarrollada por el físico Meghnad Saha en 1920. ^{[ 3 ] [ 4 ]} Se discute en muchos libros de texto sobre física estadística y física de plasmas. ^{[ 5 ]}

Para un gas a una temperatura suficientemente alta (medida aquí en unidades de energía, es decir, keV o J) y/o densidad , las colisiones térmicas de los átomos ionizarán algunos de ellos, formando un gas ionizado. Cuando varios o más de los electrones que normalmente están ligados al átomo en órbitas alrededor del núcleo atómico se liberan, forman una nube de gas electrónico independiente que coexiste con el gas circundante de iones atómicos y átomos neutros. Con una ionización suficiente, el gas puede convertirse en el estado de la materia llamado plasma .

La ecuación de Saha describe el grado de ionización de cualquier gas en equilibrio térmico en función de la temperatura, la densidad y las energías de ionización de los átomos.

Para un gas compuesto por una sola especie atómica, la ecuación de Saha se escribe de la siguiente manera:$${\displaystyle {\frac {n_{i+1}n_{\text{e}}}{n_{i}}}={\frac {2}{\lambda _{\text{th}}^{3}}}{\frac {g_{i+1}}{g_{i}}}\exp \left[-{\frac {\varepsilon _{i+1}-\varepsilon _{i}}{k_{\text{B}}T}}\right]}$$dónde:

• ${\displaystyle n_{i}}$es la densidad numérica de átomos en el i- ésimo estado de ionización, es decir, con i electrones eliminados.
• ${\displaystyle g_{i}}$es la degeneración de estado para los iones i .
• ${\displaystyle \varepsilon _ {i}}$es la energía necesaria para extraer i electrones de un átomo neutro, creando un ion de nivel i .
• ${\displaystyle n_{\text{e}}}$es la densidad electrónica
• ${\displaystyle k_{\text{B}}}$es la constante de Boltzmann
• ${\displaystyle \lambda _{\text{th}}}$es la longitud de onda térmica de De Broglie de un electrón$${\displaystyle \lambda _{\text{th}}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {h}{\sqrt {2\pi m_{\text{e}}k_{\text{B}}T}}}}$$
• ${\displaystyle m_{\text{e}}}$es la masa de un electrón
• ${\displaystyle T}$es la temperatura del gas
• ${\displaystyle h}$es la constante de Planck

La expresión${\textstyle (\varepsilon _ {i+1} -\ varepsilon _ {i})}$es la energía requerida para ionizar la especie desde el estado${\displaystyle i}$para declarar${\displaystyle i+1}$. ^{[ 6 ] [ 7 ]}

En el caso en que solo un nivel de ionización es importante, tenemos${\textstyle n_{1}=n_{\text{e}}}$para H ⁺ ; definiendo la densidad total H/H ⁺ como${\textstyle n=n_{0}+n_{1},}$La ecuación de Saha se simplifica a:$${\displaystyle {\frac {n_{\text{e}}^{2}}{n-n_{\text{e}}}}={\frac {2}{\lambda _{\text{th}}^{3}}}{\frac {g_{1}}{g_{0}}}\exp \left[{\frac {-\varepsilon }{k_{\text{B}}T}}\right]}$$dónde${\displaystyle \varepsilon }$es la energía de ionización. Podemos definir el grado de ionización.${\textstyle x=n_{1}/n}$y encontrar$${\displaystyle {\frac {x^{2}}{1-x}}=A={\frac {2}{n\lambda _{\text{th}}^{3}}}{\frac {g_{1}}{g_{0}}}\exp \left[{\frac {-\varepsilon }{k_{\text{B}}T}}\right]}$$Esto da como resultado una ecuación cuadrática que se puede resolver (en forma cerrada):$${\displaystyle x^{2}+Ax-A=0,x=(A{\sqrt {(1+{\tfrac {4}{A}})}}-A)/2}$$Para pequeños${\textstyle A(T),}$baja temperatura,${\textstyle x\approx A^{1/2},\propto n^{-1/2},}$de modo que la ionización disminuye con una mayor densidad numérica (factores 10 en ambos gráficos).

Nótese que, excepto en el caso de plasmas débilmente ionizados, el entorno del plasma afecta la estructura atómica con la consiguiente disminución de los potenciales de ionización y el "corte" de la función de partición . Por lo tanto,${\displaystyle \varepsilon _{i}}$y${\displaystyle g_{i}}$depende, en general, de${\displaystyle T}$y${\displaystyle n_{\text{e}}}$y resolver la ecuación de Saha solo es posible de forma iterativa .

Como ejemplo sencillo, imaginemos un gas de hidrógeno monoatómico, situado${\displaystyle g_{0}=g_{1}}$y dejar${\displaystyle \varepsilon }$=13,6 eV  (158 000  K ) , la energía de ionización del hidrógeno desde su estado fundamental. Sea${\displaystyle n}$=2,69 × 10²⁵ m⁻³  , que es la constante de Loschmidt (n _L para N _{A ), o densidad} ^{de partículas de la} atmósfera terrestre a presión y temperatura estándar.${\displaystyle T}$=A 300  K , la ionización es prácticamente nula:${\displaystyle x}$=5 × 10 ⁻¹¹⁵ y casi con toda seguridad no habría átomos ionizados en el volumen de la atmósfera terrestre. Pero${\displaystyle x}$aumenta rápidamente con${\displaystyle T}$, alcanzando 0,35 para${\displaystyle T}$=20 000  K . ^{[ 8 ]} Hay una ionización sustancial a pesar de que esto${\textstyle k_{B}T}$es mucho menor que la energía de ionización (aunque esto depende un poco de la densidad). Esto es algo común. Físicamente, se debe a que a una temperatura dada, las partículas tienen una distribución de energías, incluyendo algunas con varias veces${\textstyle k_{B}T.}$Estas partículas de alta energía son mucho más eficaces para ionizar átomos.

En la atmósfera terrestre, la ionización no se rige por la ecuación de Saha, sino por rayos cósmicos muy energéticos , en su mayoría muones . Estas partículas no están en equilibrio térmico con la atmósfera, por lo que no se encuentran a su temperatura y la lógica de Saha no se aplica.

Rigurosamente, la ecuación de Saha solo es válida para gases diluidos, debido a la suposición subyacente de gas ideal utilizada en su derivación. Para gases densos, esta suposición ya no es válida, porque las interacciones de partículas se vuelven significativas modifican el potencial químico de las especies. Y la compresibilidad del gas ionizado y del plasma. Por lo tanto, el marco de ionización de Saha se ha extendido para tratar sistemas que son más densos que el límite del gas ideal p/ R T [mol /m ³ ], al incorporar correcciones para estas interacciones no ideales en el potencial termodinámico . ^{[ 9 ]} Esta corrección conduce a estimaciones mejoradas para el grado de ionización en la corona del Sol .

La ecuación de Saha es útil para determinar la relación de densidades de partículas para dos niveles de ionización diferentes. La forma más útil de la ecuación de Saha para este propósito es:$${\displaystyle {\frac {Z_{i}}{N_{i}}}={\frac {Z_{i+1}Z_{e}}{N_{i+1}N_{e}}},}$$donde Z denota la función de partición del átomo/ión o del electrón. La ecuación de Saha puede considerarse como una reformulación de la condición de equilibrio para los potenciales químicos :$${\displaystyle \mu _{i}=\mu _{i+1}+\mu _{e}\,}$$

Esta ecuación simplemente establece que el potencial de ionización de un átomo con estado i es el mismo que el potencial de ionización de un electrón y un átomo con estado i + 1. Los potenciales son iguales, por lo tanto, el sistema está en equilibrio y no se producirá ningún cambio neto de ionización .

A principios de la década de 1920, Ralph H. Fowler (en colaboración con Charles Galton Darwin ) desarrolló un nuevo método en mecánica estadística que permitía el cálculo sistemático de las propiedades de equilibrio de la materia. Lo utilizó para derivar rigurosamente la fórmula de ionización obtenida por Saha, extendiendo a la ionización de átomos el teorema de Jacobus Henricus van 't Hoff , empleado en química física por su aplicación a la disociación molecular. Asimismo, una mejora significativa en la ecuación de Saha, introducida por Fowler, fue la inclusión del efecto de los estados excitados de átomos e iones. Otro avance importante se produjo en 1923, cuando Edward Arthur Milne y R. H. Fowler publicaron un artículo en las Monthly Notices of the Royal Astronomical Society , demostrando que el criterio de la intensidad máxima de las líneas de absorción (pertenecientes a series subordinadas de un átomo neutro) era mucho más útil para obtener información sobre los parámetros físicos de las atmósferas estelares que el criterio empleado por Saha, que consistía en la aparición o desaparición marginal de las líneas de absorción. Este último criterio requiere cierto conocimiento de las presiones relevantes en las atmósferas estelares, y Saha, siguiendo la opinión generalmente aceptada en ese momento, asumió un valor del orden de 1 a 0,1 atmósferas. Milne escribió:

Saha se había concentrado en las apariciones y desapariciones marginales de líneas de absorción en la secuencia estelar, asumiendo un orden de magnitud para la presión en una atmósfera estelar y calculando la temperatura donde el aumento de la ionización, por ejemplo, inhibía una mayor absorción de la línea en cuestión debido a la pérdida del electrón de la serie. Mientras Fowler y yo estábamos un día dando vueltas por mis habitaciones en Trinity y discutiendo esto, de repente se me ocurrió que la intensidad máxima de las líneas de Balmer del hidrógeno , por ejemplo, se explicaba fácilmente considerando que a temperaturas más bajas había muy pocos átomos excitados para dar una absorción apreciable, mientras que a temperaturas más altas quedan muy pocos átomos neutros para dar alguna absorción. ... Esa noche hice un cálculo rápido del orden de magnitud del efecto y encontré que para coincidir con una temperatura de 10000° [K] para las estrellas de tipo A0, donde las líneas de Balmer tienen su máximo, se requería una presión del orden de 10 ⁻⁴ atmósferas. Esto fue muy emocionante, porque se suponía que las determinaciones estándar de presiones en atmósferas estelares a partir de desplazamientos y anchos de línea indicaban una presión del orden de una atmósfera o más, y yo había comenzado a dudar de esto por otros motivos. ^{[ 10 ]}

La opinión generalmente aceptada en aquel entonces asumía que la composición de las estrellas era similar a la de la Tierra. Sin embargo, en 1925, Cecilia Payne utilizó la teoría de ionización de Saha para calcular que la composición de las atmósferas estelares es como la conocemos ahora: principalmente hidrógeno y helio, ampliando así el conocimiento sobre las estrellas. ^{[ 11 ]}

El equilibrio de Saha prevalece cuando el plasma se encuentra en equilibrio termodinámico local , lo cual no ocurre en la corona ópticamente delgada . En este caso, los estados de ionización de equilibrio deben estimarse mediante cálculos estadísticos detallados de las tasas de colisión y recombinación.

La ionización de equilibrio, descrita por la ecuación de Saha, explica la evolución en el universo primitivo. Después del Big Bang , todos los átomos estaban ionizados, quedando principalmente protones y electrones (mirando hacia el pasado). Según el enfoque de Saha, cuando el universo se había expandido y enfriado de tal manera que la temperatura alcanzó aproximadamenteA 3000  K , los electrones se (re)combinaron con protones (10 fm ) formando átomos de hidrógeno  (0,1 nm). En este punto, 700 milenios después de que estuviera a 100 millones de K, el universo se volvió transparente a la mayor parte de la radiación electromagnética. EsoUna superficie a 3000  K , desplazada en el tiempo hacia el rojo por un factor de aproximadamente 1000, generó la radiación cósmica de fondo de microondas a 2,7 K , que impregna el universo actual.

• Derivación y análisis por Hale Bradt www.cambridge.org
• Una derivación detallada del Departamento de Física de la Universidad de Utah
• Apuntes de clase del Departamento de Astronomía de la Universidad de Maryland