El Calculador de Arena

El Calculador de Arena ( en griego : Ψαμμίτης , Psammites ) es una obra de Arquímedes , matemático griego antiguo del siglo III a. C. , en la que se propuso determinar un límite superior para la cantidad de granos de arena que caben en el universo . Para ello, Arquímedes tuvo que estimar el tamaño del universo según el modelo de la época e inventar una forma de hablar de números extremadamente grandes.

La obra, también conocida en latín como Arenarius , tiene aproximadamente ocho páginas en su traducción y está dirigida al rey siracusano Gelón II (hijo de Hierón II ). Se considera la obra más accesible de Arquímedes. ^{[ 1 ]}

Primero, Arquímedes tuvo que inventar un sistema para nombrar números grandes . El sistema numérico en uso en ese momento podía expresar números hasta una miríada (μυριάς — 10 000), y utilizando la palabra miríada misma, se puede extender inmediatamente esto para nombrar todos los números hasta una miríada de miríadas (10⁸ ⁾ . ^{[ 3 ]} Arquímedes llamó a los números hasta ^10⁸ "de primer orden" y llamó a ^10⁸ mismo la "unidad de segundo orden". Los múltiplos de esta unidad se convirtieron entonces en el segundo orden, hasta esta unidad tomada una miríada de miríadas veces, 10⁸ ^· 10⁸ ⁼ 10¹⁶ ^. Esto se convirtió en la "unidad de tercer orden", cuyos múltiplos fueron el tercer orden, y así sucesivamente. Arquímedes continuó nombrando números de esta manera hasta una miríada-miríada de veces la unidad del orden 10 ⁸ , es decir, (10 ⁸ )^(10 ⁸ ).

Después de haber hecho esto, Arquímedes llamó a los órdenes que había definido los "órdenes del primer período", y llamó al último,${\displaystyle (10^{8})^{(10^{8})}}$, la "unidad del segundo período". Luego construyó los órdenes del segundo período tomando múltiplos de esta unidad de manera análoga a como se construyeron los órdenes del primer período. Siguiendo este procedimiento, finalmente llegó a los órdenes del período miríada-miríada. El número más grande nombrado por Arquímedes fue el último número de este período, que es

${\displaystyle \left(\left(10^{8}\right)^{(10^{8})}\right)^{(10^{8})}=10^{8\cdot 10^{16}}.}$

Otra forma de describir este número es un uno seguido de ( escala corta ) ochenta cuatrillones (80·10 ¹⁵ ) de ceros.

El sistema de Arquímedes recuerda a un sistema de numeración posicional de base 10⁸ ^, lo cual es notable porque los antiguos griegos utilizaban un sistema muy simple para escribir números , que empleaba 27 letras diferentes del alfabeto para las unidades del 1 al 9, las decenas del 10 al 90 y las centenas del 100 al 900.

Arquímedes estimó entonces un límite superior para el número de granos de arena necesarios para llenar el Universo. Para ello, utilizó el modelo heliocéntrico de Aristarco de Samos . La obra original de Aristarco se ha perdido. Sin embargo, esta obra de Arquímedes es una de las pocas referencias que se conservan de su teoría, ^{[ 4 ]} según la cual el Sol permanece inmóvil mientras la Tierra orbita a su alrededor. En palabras del propio Arquímedes:

Sus [las de Aristarco] hipótesis son que las estrellas fijas y el Sol permanecen inmóviles, que la Tierra gira alrededor del Sol en la circunferencia de un círculo, con el Sol situado en el centro de la órbita, y que la esfera de estrellas fijas, situada alrededor del mismo centro que el Sol, es tan grande que el círculo en el que supone que gira la Tierra guarda una proporción con la distancia de las estrellas fijas como la que guarda el centro de la esfera con su superficie. ^{[ 5 ]}

La razón del gran tamaño de este modelo es que los griegos no podían observar la paralaje estelar con las técnicas disponibles, lo que implica que cualquier paralaje es extremadamente pequeño y, por lo tanto, las estrellas deben estar situadas a grandes distancias de la Tierra (suponiendo que el heliocentrismo sea cierto).

Según Arquímedes, Aristarco no especificó a qué distancia se encontraban las estrellas de la Tierra. Por lo tanto, Arquímedes tuvo que hacer las siguientes suposiciones:

• El universo era esférico
• La relación entre el diámetro del Universo y el diámetro de la órbita de la Tierra alrededor del Sol era igual a la relación entre el diámetro de la órbita de la Tierra alrededor del Sol y el diámetro de la Tierra.

Esta suposición también puede expresarse diciendo que la paralaje estelar causada por el movimiento de la Tierra alrededor de su órbita es igual a la paralaje solar causada por el movimiento alrededor de la Tierra. Expresado en una proporción:

${\displaystyle {\frac {\text{Diámetro del Universo}}{\text{Diámetro de la órbita terrestre alrededor del Sol}}}={\frac {\text{Diámetro de la órbita terrestre alrededor del Sol}}{\text{Diámetro de la Tierra}}}}$

Para obtener un límite superior, Arquímedes hizo las siguientes suposiciones sobre sus dimensiones:

• que la circunferencia de la Tierra no era mayor que 300 miríadas de estadios (5,55 × 10⁵ ^km , una sobreestimación de aproximadamente un factor de 40).
• que la Luna no era más grande que la Tierra, y que el Sol no era más de treinta veces más grande que la Luna (1,65 × 10⁷ ^km , una sobreestimación de aproximadamente un factor de 10).
• que el diámetro angular del Sol, visto desde la Tierra, era mayor que 1/200 de un ángulo recto (π/400 radianes = 0,45 ° grados , una sobreestimación, pero precisa dentro del 20% del valor real).

Arquímedes concluyó entonces que el diámetro del Universo no superaba los ^10¹⁴ estadios (en unidades modernas, unos 2 años luz ) y que se necesitarían no más de ^10⁶³ granos de arena para llenarlo. Con estas medidas, cada grano de arena en el experimento mental de Arquímedes habría tenido un diámetro aproximado de 19 μm (0,019 mm).

Hay quienes, rey Gelón, creen que la cantidad de arena es infinita; y me refiero no solo a la que existe alrededor de Siracusa y el resto de Sicilia, sino también a la que se encuentra en todas las regiones, habitadas o deshabitadas. Asimismo, hay quienes, sin considerarla infinita, creen que no se ha nombrado ningún número lo suficientemente grande como para superar su magnitud. Y es evidente que quienes sostienen esta opinión, si imaginaran una masa de arena, en otros aspectos tan grande como la Tierra, incluyendo todos los mares y las hondonadas, llena hasta una altura igual a la de las montañas más altas, estarían aún más lejos de reconocer que se puede expresar un número que exceda la multitud de arena así considerada.

Pero intentaré mostraros mediante pruebas geométricas, que podréis seguir, que, de los números que he nombrado y que figuran en la obra que envié a Zeuxippus, algunos superan no solo el número de la masa de arena equivalente en magnitud a la Tierra llenada de la forma descrita, sino también el de la masa equivalente en magnitud al universo. ^{[ 8 ]}

• El medidor de arena , de Gillian Bradshaw . Forge (2000), 348 págs., ISBN 0-312-87581-9Esta es una novela histórica sobre la vida y obra de Arquímedes.

• Texto griego original
• El Calculador de Arena (anotado)
• El Calculador de Arena (Arenario). Traducción italiana anotada, con notas sobre Arquímedes y la notación matemática y las unidades de medida griegas . Archivo fuente del texto griego del Arenario (para LaTeX).
• Arquímedes, El compás de arena , de Ilan Vardi; incluye una versión literal en inglés del texto griego original.