Teorema de Sard

En matemáticas , el teorema de Sard , también conocido como lema de Sard o teorema de Morse - Sard , es un resultado del análisis matemático que afirma que el conjunto de valores críticos (es decir, la imagen del conjunto de puntos críticos ) de una función suave f de un espacio euclidiano o variedad a otro es un conjunto nulo , es decir, tiene medida de Lebesgue 0. Esto hace que el conjunto de valores críticos sea "pequeño" en el sentido de una propiedad genérica . El teorema recibe su nombre de Anthony Morse y Arthur Sard .

Más explícitamente, ^{[ 1 ]} deje

${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{m}}$

ser${\displaystyle C^{k}}$, (eso es,${\displaystyle k}$veces continuamente diferenciable ), donde${\displaystyle k\geq \max\{n-m+1,1\}}$. Dejar${\displaystyle X\subset \mathbb {R} ^{n}}$denotan el conjunto crítico de${\displaystyle f,}$que es el conjunto de puntos${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$en el cual la matriz jacobiana de${\displaystyle f}$tiene rango${\displaystyle <m}$. Luego la imagen${\displaystyle f(X)}$tiene medida de Lebesgue 0 en${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$.

Intuitivamente hablando, esto significa que aunque${\displaystyle X}$puede ser grande, su imagen debe ser pequeña en el sentido de la medida de Lebesgue: mientras que${\displaystyle f}$puede tener muchos puntos críticos en el dominio${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, debe tener pocos valores críticos en la imagen${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$.

En términos más generales, el resultado también es válido para aplicaciones entre variedades diferenciables.${\displaystyle M}$y${\displaystyle N}$de dimensiones${\displaystyle m}$y${\displaystyle n}$, respectivamente. El conjunto crítico${\displaystyle X}$de un${\displaystyle C^{k}}$función

${\displaystyle f:N\rightarrow M}$

consiste en aquellos puntos en los que la diferencial

${\displaystyle df:TN\rightarrow TM}$

tiene un rango menor que${\displaystyle m}$como una transformación lineal. Si${\displaystyle k\geq \max\{n-m+1,1\}}$, entonces el teorema de Sard afirma que la imagen de${\displaystyle X}$tiene medida cero como subconjunto de${\displaystyle M}$Esta formulación del resultado se deriva de la versión para espacios euclidianos tomando un conjunto numerable de parches de coordenadas. La conclusión del teorema es una afirmación local, ya que una unión numerable de conjuntos de medida cero es un conjunto de medida cero, y la propiedad de que un subconjunto de un parche de coordenadas tenga medida cero es invariante bajo difeomorfismos .

Una demostración estándar del teorema de Sard procede reduciendo el enunciado global a uno local y luego analizando el conjunto crítico según cuántas derivadas se anulan en un punto. ^{[ 2 ] [ 3 ]}

Dado que la conclusión es local, primero se reduce al caso de una aplicación suave.

${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$

definido en un subconjunto acotado del espacio euclidiano. De hecho, el dominio puede estar cubierto por una cantidad numerable de piezas acotadas, y una unión numerable de conjuntos de medida cero también tiene medida cero. En el caso de la variedad, se reduce aún más al espacio euclidiano al pasar a cartas de coordenadas, ya que la propiedad de tener medida cero se conserva bajo difeomorfismos. ^{[ 4 ]}

La demostración se realiza entonces por inducción, dividiendo el conjunto crítico en partes según el orden de anulación de las derivadas. Se consideran los puntos donde todas las derivadas parciales hasta un orden dado se anulan, y los puntos donde alguna derivada de orden inferior es distinta de cero. Los primeros son los puntos en los que la aplicación es muy plana, mientras que los segundos pueden tratarse reduciéndola a un problema de menor dimensión. ^{[ 5 ]}

Si alguna derivada de orden positivo no se anula en un punto crítico, entonces, tras un cambio de coordenadas adecuado, se obtiene una factorización local en la que una variable puede separarse de las demás. Esto permite aplicar la hipótesis de inducción a una aplicación de menor dimensión, demostrando que el conjunto correspondiente de valores críticos tiene medida cero. ^{[ 5 ]}

Para los puntos donde muchas derivadas sucesivas se anulan, el teorema de Taylor proporciona la estimación clave. Si todas las derivadas de orden como máximo${\displaystyle r}$desaparecen en un punto, luego en un vecindario suficientemente pequeño el mapa cambia solo en términos de orden${\displaystyle r+1}$. Por lo tanto, la imagen de un pequeño cubo en el dominio está contenida en un conjunto de diámetro muy pequeño en${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$Al cubrir la parte acotada del conjunto crítico con muchos de estos pequeños cubos y sumar las estimaciones de volumen correspondientes, se demuestra que la medida total de la imagen puede hacerse arbitrariamente pequeña y, por lo tanto, es cero. ^{[ 4 ]}

La combinación de estas dos partes del argumento produce el teorema para aplicaciones suaves. Para aplicaciones de clase${\displaystyle C^{k}}$La misma estrategia funciona siempre que solo se utilicen derivados hasta el orden${\displaystyle k}$. La condición

${\displaystyle k\geq \max\{n-m+1,1\}}$

asegura que haya suficiente diferenciabilidad para que la expansión de Taylor y el argumento de cobertura obliguen al conjunto de valores críticos a tener medida cero. ^{[ 4 ] [ 5 ]}

Existen muchas variantes de este lema, que desempeña un papel fundamental en la teoría de singularidades, entre otros campos. El caso${\displaystyle m=1}$fue probado por Anthony P. Morse en 1939, ^{[ 6 ]} y el caso general por Arthur Sard en 1942. ^{[ 1 ]}

Stephen Smale demostró una versión para variedades de Banach de dimensión infinita . ^{[ 7 ]}

La afirmación es bastante contundente, y su demostración implica análisis. En topología se cita con frecuencia —como en el teorema del punto fijo de Brouwer y en algunas aplicaciones de la teoría de Morse— para demostrar el corolario más débil que establece que «una aplicación suave no constante tiene al menos un valor regular».

En 1965, Sard generalizó aún más su teorema para afirmar que si${\displaystyle f:N\rightarrow M}$es${\displaystyle C^{\infty }}$y si${\displaystyle A_{r}\subsetequ N}$es el conjunto de puntos${\displaystyle x\in N}$de tal manera que${\displaystyle df_{x}}$tiene rango menor o igual que${\displaystyle r}$, entonces la dimensión de Hausdorff de${\displaystyle f(A_{r})}$es como máximo${\displaystyle r}$. ^{[ 8 ] [ 9 ]}

• Propiedad genérica

• Hirsch, Morris W. (1976), Topología diferencial , Nueva York: Springer, págs. 67–84 , ISBN  0-387-90148-5.
• Sternberg, Shlomo (1964), Lecciones de geometría diferencial , Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall , MR 0193578 , Zbl 0129.13102 .