Modelo saturado

En lógica matemática , y particularmente en su subcampo teoría de modelos , un modelo saturado es aquel que realiza tantos tipos completos como se puede "esperar razonablemente" dado su tamaño. Por ejemplo, un modelo ultrapotencial de los hiperreales es${\displaystyle \aleph _{1}}$-saturado, lo que significa que cada secuencia anidada descendente de conjuntos internos tiene una intersección no vacía. ^{[ 1 ]}

Sea κ un número cardinal finito o infinito y M un modelo en algún lenguaje de primer orden . Entonces M se llama κ -saturado si para todos los subconjuntos A ⊆ M de cardinalidad estrictamente menor que κ , el modelo M realiza todos los tipos completos sobre A. El modelo M se llama saturado si es | M |-saturado, donde | M | denota la cardinalidad de M. Es decir, realiza todos los tipos completos sobre conjuntos de parámetros de tamaño menor que | M |. Según algunos autores, un modelo M se llama numerablemente saturado si es${\displaystyle \aleph _{1}}$-saturado; es decir, realiza todos los tipos completos sobre conjuntos numerables de parámetros. ^{[ 2 ]} Según otros, es numerablemente saturado si es numerable y saturado. ^{[ 3 ]}

La noción aparentemente más intuitiva —que todos los tipos completos del lenguaje se realizan— resulta ser demasiado débil (y se denomina apropiadamente saturación débil , que es lo mismo que 1-saturación). La diferencia radica en que muchas estructuras contienen elementos que no son definibles (por ejemplo, cualquier elemento trascendental de R es, por definición de la palabra, no definible en el lenguaje de los cuerpos ). Sin embargo, siguen formando parte de la estructura, por lo que necesitamos tipos para describir las relaciones con ellos. Así, permitimos conjuntos de parámetros de la estructura en nuestra definición de tipos. Este argumento nos permite analizar características específicas del modelo que de otro modo podríamos pasar por alto; por ejemplo, una cota en una secuencia creciente específica c _n puede expresarse como la realización del tipo { x ≥ c _n  : n ∈ ω}, que utiliza una cantidad numerable de parámetros. Si la secuencia no es definible, este hecho sobre la estructura no se puede describir utilizando el lenguaje base, por lo que una estructura débilmente saturada puede no delimitar la secuencia, mientras que una estructura saturada ℵ _{1 sí lo hará.}

La razón por la que solo requerimos conjuntos de parámetros estrictamente menores que el modelo es trivial: sin esta restricción, ningún modelo infinito está saturado. Consideremos un modelo M y el tipo { x ≠ m  : m ∈ M }. Cada subconjunto finito de este tipo se realiza en el modelo (infinito) M , por lo que, por compacidad, es consistente con M , pero trivialmente no se realiza. Cualquier definición que no se satisfaga universalmente es inútil; de ahí la restricción.

Existen modelos saturados para ciertas teorías y cardinalidades:

• ( Q , <)—el conjunto de los números racionales con su ordenación habitual—está saturado. Intuitivamente, esto se debe a que cualquier tipo compatible con la teoría está implícito en el tipo de ordenación; es decir, el orden en que aparecen las variables revela todo lo que hay que saber sobre su función en la estructura.
• ( R , <)—el conjunto de números reales con su ordenación usual— no está saturado. Por ejemplo, tomemos el tipo (en una variable x ) que contiene la fórmula${\displaystyle \textstyle {x>-{\frac {1}{n}}}}$para cada número natural n , así como la fórmula${\displaystyle \textstyle {x<0}}$Este tipo utiliza ω parámetros diferentes de R. Cada subconjunto finito del tipo se realiza en R mediante algún x real , por lo que, por compacidad, el tipo es consistente con la estructura, pero no se realiza, ya que eso implicaría una cota superior para la secuencia −1/ n que es menor que 0 (su cota superior mínima). Por lo tanto, ( R , <) no es ω1 _- saturado y no está saturado. Sin embargo, es ω-saturado, por esencialmente la misma razón que Q : cada tipo finito está dado por el tipo de orden, que, si es consistente, siempre se realiza, debido a la densidad del orden.
• Un conjunto denso totalmente ordenado sin puntos finales es un conjunto η _α si y solo si es ℵ _α -saturado.
• El grafo aleatorio contable , cuyo único símbolo no lógico es la relación de existencia de aristas, también está saturado, porque cualquier tipo completo está aislado (implícito) por el subgrafo finito que consta de las variables y parámetros utilizados para definir el tipo.

Tanto la teoría de Q como la teoría del grafo aleatorio numerable pueden demostrarse como ω-categóricas mediante el método de ida y vuelta . Esto puede generalizarse de la siguiente manera: el modelo único de cardinalidad κ de una teoría κ -categórica numerable está saturado.

Sin embargo, la afirmación de que todo modelo tiene una extensión elemental saturada no es demostrable en ZFC . De hecho, esta afirmación es equivalente a la existencia de una clase propia de cardinales κ tales que κ ^{< κ} = κ . Esta última identidad es equivalente a κ = λ ⁺ = 2 ^λ para algún λ , o κ es fuertemente inaccesible .  

La noción de modelo saturado es dual a la noción de modelo primo de la siguiente manera: sea T una teoría numerable en un lenguaje de primer orden (es decir, un conjunto de oraciones mutuamente consistentes en ese lenguaje) y sea P un modelo primo de T. Entonces P admite una incrustación elemental en cualquier otro modelo de T. La noción equivalente para modelos saturados es que cualquier modelo "razonablemente pequeño" de T está incrustado elementalmente en un modelo saturado, donde "razonablemente pequeño" significa una cardinalidad no mayor que la del modelo en el que se va a incrustar. Cualquier modelo saturado es también homogéneo . Sin embargo, mientras que para las teorías numerables hay un único modelo primo, los modelos saturados son necesariamente específicos de una cardinalidad particular. Dadas ciertas suposiciones de teoría de conjuntos, existen modelos saturados (aunque de cardinalidad muy grande) para teorías arbitrarias. Para teorías λ - estables , existen modelos saturados de cardinalidad λ .

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• Poizat, Bruno; (traducción: Klein, Moses) (2000), Un curso de teoría de modelos , Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-98655-3
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