Solución de campo escalar

En la relatividad general , una solución de campo escalar es una solución exacta de la ecuación de campo de Einstein en la que el campo gravitatorio se debe enteramente a la energía y el momento de un campo escalar . Dicho campo puede o no ser sin masa , y puede considerarse que tiene un acoplamiento de curvatura mínimo , o alguna otra opción, como un acoplamiento conforme .

En la relatividad general, el marco geométrico para los fenómenos físicos es una variedad lorentziana , que se interpreta físicamente como un espaciotiempo curvo y que se especifica matemáticamente definiendo un tensor métrico.${\displaystyle g_{ab}}$(o definiendo un campo de marco ). El tensor de curvatura${\displaystyle R^{a}{}_{bcd}}$de esta variedad y cantidades asociadas como el tensor de Einstein${\displaystyle G_{ab}}$, están bien definidos incluso en ausencia de cualquier teoría física, pero en la relatividad general adquieren una interpretación física como manifestaciones geométricas del campo gravitatorio .

Además, debemos especificar un campo escalar dando una función.${\displaystyle \psi }$Esta función debe cumplir las dos condiciones siguientes:

1. La función debe satisfacer la ecuación de onda sin fuente (espaciotiempo curvo).${\displaystyle g^{ab}\psi _{;ab}=0}$,
2. El tensor de Einstein debe coincidir con el tensor de energía-impulso para el campo escalar, que en el caso más simple, un campo escalar sin masa acoplado mínimamente , se puede escribir

${\displaystyle G_{ab}=\kappa \left(\psi _{;a}\psi _{;b}-{\frac {1}{2}}\psi _{;m}\psi ^{;m}g_{ab}\right)}$.

Ambas condiciones se derivan de variar la densidad lagrangiana para el campo escalar, que en el caso de un campo escalar sin masa acoplado mínimamente es

${\displaystyle L=-g^{mn}\,\psi _{;m}\,\psi _{;n}}$

Aquí,

${\displaystyle {\frac {\delta L}{\delta \psi }}=0}$

da la ecuación de onda, mientras que

${\displaystyle {\frac {\delta L}{\delta g^{ab}}}=0}$

da la ecuación de Einstein (en el caso en que la energía del campo escalar es la única fuente del campo gravitatorio).

Los campos escalares suelen interpretarse como aproximaciones clásicas, en el sentido de la teoría de campos efectiva , a algún campo cuántico. En la relatividad general, el campo de quintaesencia especulativa puede aparecer como un campo escalar. Por ejemplo, un flujo de piones neutros puede modelarse, en principio, como un campo escalar sin masa acoplado mínimamente.

Los componentes de un tensor calculados con respecto a un campo de referencia en lugar de la base de coordenadas se denominan a menudo componentes físicos , porque son los componentes que (en principio) pueden ser medidos por un observador.

En el caso especial de un campo escalar sin masa acoplado mínimamente , un marco adaptado

${\displaystyle {\vec {e}}_{0},\;{\vec {e}}_{1},\;{\vec {e}}_{2},\;{\vec {e}}_{3}}$

(el primero es un campo vectorial unitario de tipo temporal , los últimos tres son campos vectoriales unitarios de tipo espacial ) siempre se pueden encontrar en los que el tensor de Einstein toma la forma simple

${\displaystyle G_{{\hat {a}}{\hat {b}}}=8\pi \sigma \,\left[{\begin{matrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{matrix}}\right]}$ dónde${\displaystyle \sigma }$es la densidad de energía del campo escalar.

El polinomio característico del tensor de Einstein en una solución de campo escalar sin masa acoplada mínimamente debe tener la forma

${\displaystyle \chi (\lambda )=(\lambda +8\pi \sigma )^{3}\,(\lambda -8\pi \sigma )}$

En otras palabras, tenemos un autovalor simple y un autovalor triple, cada uno el negativo del otro. Al desarrollar la expresión y usar métodos de bases de Gröbner , encontramos que los siguientes tres invariantes deben anularse idénticamente:

${\displaystyle a_{2}=0,\;\;a_{1}^{3}+4a_{3}=0,\;\;a_{1}^{4}+16a_{4}=0}$

Utilizando las identidades de Newton , podemos reescribirlas en términos de las trazas de las potencias. Encontramos que

${\displaystyle t_{2}=t_{1}^{2},\;t_{3}=t_{1}^{3}/4,\;t_{4}=t_{1}^{4}/4}$

Podemos reescribir esto en términos de gimnasia de índices como criterios manifiestamente invariantes:

${\displaystyle {G^{a}}_{a}=-R}$

${\displaystyle {G^{a}}_{b}\,{G^{b}}_{a}=R^{2}}$

${\displaystyle {G^{a}}_{b}\,{G^{b}}_{c}\,{G^{c}}_{a}=R^{3}/4}$

${\displaystyle {G^{a}}_{b}\,{G^{b}}_{c}\,{G^{c}}_{d}\,{G^{d}}_{a}=R^{4}/4}$

Entre las soluciones de campo escalar individuales más destacadas se incluyen:

• la solución de campo escalar de Janis-Newman-Winicour , que es la única solución de campo escalar sin masa acoplada mínimamente, estática y con simetría esférica .

• Soluciones exactas en la relatividad general
• Grupo Lorentz

• Stephani, H.; Kramer, D.; MacCallum, M.; Hoenselaers, C. y Herlt, E. (2003). Soluciones exactas de las ecuaciones de campo de Einstein (2ª ed.) . Cambridge: Prensa de la Universidad de Cambridge . ISBN 0-521-46136-7.
• Hawking, SW y Ellis, GFR (1973). La estructura a gran escala del espacio-tiempo . Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-09906-4.Consulte la sección 3.3 para obtener el tensor de energía-impulso de un campo escalar acoplado mínimamente.