Gas ideal sin escala

El gas ideal sin escala (SFIG) es un modelo físico que asume un conjunto de elementos que no interactúan entre sí y que presentan un crecimiento proporcional estocástico . Es la versión invariante a escala de un gas ideal . Algunos casos, como la población de las ciudades, los resultados electorales y las citas a revistas científicas, pueden considerarse aproximadamente gases ideales sin escala. ^{[ 1 ]}

En un modelo discreto unidimensional con parámetro de tamaño k , donde k ₁ y k _M son los tamaños mínimo y máximo permitidos respectivamente, y v  = dk / dt es el crecimiento, la función de densidad de probabilidad global F ( k , v ) de un gas ideal sin escala sigue:  

${\displaystyle F(k,v)={\frac {N}{\Omega k^{2}}}{\frac {\exp \left[-(v/k-{\overline {w}})^{2}/2\sigma _{w}^{2}\right]}{{\sqrt {2\pi }}\sigma _{w}}},}$

donde N es el número total de elementos, Ω  =  ln k ₁ / k _M es el "volumen" logarítmico del sistema, ${\displaystyle {\overline {w}}=\langle v/k\rangle }$es el crecimiento relativo medio y${\displaystyle \sigma _{w}}$es la desviación estándar del crecimiento relativo. La ecuación de estado de la entropía es

${\displaystyle S=N\kappa \left\{\ln {\frac {\Omega }{N}}{\frac {{\sqrt {2\pi }}\sigma _{w}}{H'}}+{\frac {3}{2}}\right\},}$

dónde${\displaystyle \kappa }$es una constante que tiene en cuenta la dimensionalidad y${\displaystyle H'=1/M\Delta \tau }$es el volumen elemental en el espacio de fases , con${\displaystyle \Delta \tau }$el tiempo elemental y M el número total de tamaños discretos permitidos. Esta expresión tiene la misma forma que el gas ideal unidimensional, cambiando las variables termodinámicas ( N , V , T ) por ( N ​​, Ω, σ _w ).   

La ley de Zipf puede surgir en los límites externos de la densidad, ya que es un régimen especial de gases ideales sin escala. ^{[ 2 ]}