Distribución chi-cuadrado inversa escalada

La distribución chi-cuadrado inversa escalada${\displaystyle \psi \,{\mbox{inv-}}\chi ^{2}(\nu )}$, dónde${\displaystyle \psi }$es el parámetro de escala, igual a la distribución inversa de Wishart univariada${\displaystyle {\mathcal {W}}^{-1}(\psi,\nu)}$con grados de libertad${\displaystyle \nu }$.

Esta familia de distribuciones chi-cuadrado inversas escaladas está vinculada a la distribución chi-cuadrado inversa y a la distribución chi-cuadrado :

Si${\displaystyle X\sim \psi \,{\mbox{inv-}}\chi ^{2}(\nu )}$entonces${\displaystyle X/\psi \sim {\mbox{inv-}}\chi ^{2}(\nu )}$así como${\displaystyle \psi /X\sim \chi ^{2}(\nu )}$y${\displaystyle 1/X\sim \psi ^{-1}\chi ^{2}(\nu )}$.

En lugar de${\displaystyle \psi }$Sin embargo, la distribución chi-cuadrado inversa escalada se parametriza con mayor frecuencia mediante el parámetro de escala.${\displaystyle \tau ^{2}=\psi /\nu }$y la distribución${\displaystyle \nu \tau ^{2}\,{\mbox{inv-}}\chi ^{2}(\nu )}$se denota por${\displaystyle {\mbox{Escala-inv-}}\chi ^{2}(\nu ,\tau ^{2})}$.

En términos de${\displaystyle \tau ^{2}}$Las relaciones anteriores se pueden escribir de la siguiente manera:

Si${\displaystyle X\sim {\mbox{Escala-inv-}}\chi ^{2}(\nu ,\tau ^{2})}$entonces${\displaystyle {\frac {X}{\nu \tau ^{2}}}\sim {\mbox{inv-}}\chi ^{2}(\nu )}$así como${\displaystyle {\frac {\nu \tau ^{2}}{X}}\sim \chi ^{2}(\nu )}$y${\displaystyle 1/X\sim {\frac {1}{\nu \tau ^{2}}}\chi ^{2}(\nu )}$.

Esta familia de distribuciones chi-cuadrado inversas escaladas es una reparametrización de la distribución gamma inversa .

Específicamente, si

${\displaystyle X\sim \psi \,{\mbox{inv-}}\chi ^{2}(\nu )={\mbox{Escala-inv-}}\chi ^{2}(\nu ,\tau ^{2})}$  entonces  ${\displaystyle X\sim {\textrm {Inv-Gamma}}\left({\frac {\nu }{2}},{\frac {\psi }{2}}\right)={\textrm {Inv-Gamma}}\left({\frac {\nu }{2}},{\frac {\nu \tau ^{2}}{2}}\right)}$

Cualquiera de las dos formas puede utilizarse para representar la distribución de entropía máxima para un primer momento inverso fijo.${\displaystyle (E(1/X))}$y primer momento logarítmico${\displaystyle (E(\ln(X))}$.

La distribución chi-cuadrado inversa escalada también tiene una utilidad particular en la estadística bayesiana . Específicamente, la distribución chi-cuadrado inversa escalada puede utilizarse como una distribución a priori conjugada para el parámetro de varianza de una distribución normal . La misma distribución a priori, en una parametrización alternativa, viene dada por la distribución gamma inversa .

La función de densidad de probabilidad de la distribución chi-cuadrado inversa escalada se extiende sobre el dominio${\displaystyle x>0}$y es

${\displaystyle f(x;\nu ,\tau ^{2})={\frac {(\tau ^{2}\nu /2)^{\nu /2}}{\Gamma (\nu /2)}}~{\frac {\exp \left[{\frac {-\nu \tau ^{2}}{2x}}\right]}{x^{1+\nu /2}}}}$

dónde${\displaystyle \nu }$es el parámetro de grados de libertad y${\displaystyle \tau ^{2}}$es el parámetro de escala . La función de distribución acumulativa es

${\displaystyle F(x;\nu ,\tau ^{2})=\Gamma \left({\frac {\nu }{2}},{\frac {\tau ^{2}\nu }{2x}}\right)\left/\Gamma \left({\frac {\nu }{2}}\right)\right.}$

${\displaystyle =Q\left({\frac {\nu }{2}},{\frac {\tau ^{2}\nu }{2x}}\right)}$

dónde${\displaystyle \Gamma (a,x)}$es la función gamma incompleta ,${\displaystyle \Gamma (x)}$ es la función gamma y${\displaystyle Q(a,x)}$es una función gamma regularizada . La función característica es

${\displaystyle \varphi (t;\nu ,\tau ^{2})=}$

${\displaystyle {\frac {2}{\Gamma ({\frac {\nu }{2}})}}\left({\frac {-i\tau ^{2}\nu t}{2}}\right)^{\!\!{\frac {\nu }{4}}}\!\!K_{\frac {\nu }{2}}\left({\sqrt {-2i\tau ^{2}\nu t}}\right),}$

dónde${\displaystyle K_{\frac {\nu }{2}}(z)}$es la función de Bessel modificada de segundo tipo .

La estimación de máxima verosimilitud de${\displaystyle \tau ^{2}}$es

${\displaystyle \tau ^{2}=n/\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{x_{i}}}.}$

La estimación de máxima verosimilitud de${\displaystyle {\frac {\nu }{2}}}$se puede encontrar utilizando el método de Newton en:

${\displaystyle \ln \left({\frac {\nu }{2}}\right)-\psi \left({\frac {\nu }{2}}\right)={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\ln \left(x_{i}\right)-\ln \left(\tau ^{2}\right),}$

dónde${\displaystyle \psi (x)}$es la función digamma . Se puede obtener una estimación inicial tomando la fórmula de la media y resolviéndola para${\displaystyle \nu .}$ Dejar${\displaystyle {\bar {x}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}}$sea ​​la media de la muestra. Entonces, una estimación inicial para${\displaystyle \nu }$está dado por:

${\displaystyle {\frac {\nu }{2}}={\frac {\bar {x}}{{\bar {x}}-\tau ^{2}}}.}$

La distribución chi-cuadrado inversa escalada tiene una segunda aplicación importante: la estimación bayesiana de la varianza de una distribución normal.

Según el teorema de Bayes , la distribución de probabilidad posterior para las cantidades de interés es proporcional al producto de una distribución previa para las cantidades y una función de verosimilitud :

${\displaystyle p(\sigma ^{2}|D,I)\propto p(\sigma ^{2}|I)\;p(D|\sigma ^{2})}$

donde D representa los datos e I representa cualquier información inicial sobre σ ² que ya podamos tener.

El escenario más sencillo se da si la media μ ya se conoce; o, alternativamente, si se busca la distribución condicional de σ ² para un valor supuesto particular de μ .

Entonces, el término de verosimilitud L ( σ ² | D ) = p ( D | σ ² ) tiene la forma familiar

${\displaystyle {\mathcal {L}}(\sigma ^{2}|D,\mu )={\frac {1}{\left({\sqrt {2\pi }}\sigma \right)^{n}}}\;\exp \left[-{\frac {\sum _{i}^{n}(x_{i}-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right]}$

Al combinar esto con la distribución a priori invariante al reescalamiento p( σ ² | I ) = 1/ σ ² , que se puede argumentar (por ejemplo, siguiendo a Jeffreys ) que es la distribución a priori menos informativa posible para σ ² en este problema, se obtiene una probabilidad a posteriori combinada.

${\displaystyle p(\sigma ^{2}|D,I,\mu )\propto {\frac {1}{\sigma ^{n+2}}}\;\exp \left[-{\frac {\sum _{i}^{n}(x_{i}-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right]}$

Esta forma puede reconocerse como la de una distribución chi-cuadrado inversa escalada, con parámetros ν = n y τ ² = s ² = (1/ n ) Σ (x _i - μ ) ²

Gelman y sus coautores señalan que la reaparición de esta distribución, vista previamente en un contexto de muestreo, puede parecer notable; pero dada la elección de la distribución a priori, "este resultado no es sorprendente". ^{[ 1 ]}

En particular, la elección de una distribución a priori invariante al reescalamiento para σ ² tiene como resultado que la probabilidad para la razón de σ ² / s ² tiene la misma forma (independiente de la variable de condicionamiento) cuando está condicionada a s ² que cuando está condicionada a σ ² :

${\displaystyle p({\tfrac {\sigma ^{2}}{s^{2}}}|s^{2})=p({\tfrac {\sigma ^{2}}{s^{2}}}|\sigma ^{2})}$

En el caso de la teoría del muestreo, condicionada a σ ² , la distribución de probabilidad para (1/s ² ) es una distribución chi-cuadrado inversa escalada; y por lo tanto, la distribución de probabilidad para σ ² condicionada a s ² , dada una distribución a priori independiente de la escala, también es una distribución chi-cuadrado inversa escalada.

• Si${\displaystyle X\sim {\mbox{Scale-inv-}}\chi ^{2}(\nu ,\tau ^{2})}$entonces${\displaystyle kX\sim {\mbox{Scale-inv-}}\chi ^{2}(\nu ,k\tau ^{2})\,}$
• Si${\displaystyle X\sim {\mbox{inv-}}\chi ^{2}(\nu )\,}$( Distribución chi-cuadrado inversa ) entonces${\displaystyle X\sim {\mbox{Scale-inv-}}\chi ^{2}(\nu ,1/\nu )\,}$
• Si${\displaystyle X\sim {\mbox{Scale-inv-}}\chi ^{2}(\nu ,\tau ^{2})}$entonces${\displaystyle {\frac {X}{\tau ^{2}\nu }}\sim {\mbox{inv-}}\chi ^{2}(\nu )\,}$( Distribución chi-cuadrado inversa )
• Si${\displaystyle X\sim {\mbox{Scale-inv-}}\chi ^{2}(\nu ,\tau ^{2})}$entonces${\displaystyle X\sim {\textrm {Inv-Gamma}}\left({\frac {\nu }{2}},{\frac {\nu \tau ^{2}}{2}}\right)}$( Distribución gamma inversa )
• La distribución chi cuadrado inversa escalada es un caso especial de la distribución de Pearson de tipo 5.

• Gelman, Andrew; et  al. (2014). Análisis de datos bayesianos (Tercera  ed.). Boca Raton: CRC Press. p.  583. ISBN 978-1-4398-4095-5.