Escalado (geometría)

En geometría afín , el escalado uniforme (o escalado isotrópico ^{[ 1 ]} ) es una transformación lineal que agranda (aumenta) o reduce (disminuye) objetos mediante un factor de escala que es el mismo en todas las direcciones ( isotrópicamente ). El resultado del escalado uniforme es similar (en el sentido geométrico) al original. Normalmente se permite un factor de escala de 1, de modo que las formas congruentes también se clasifican como similares. El escalado uniforme se produce, por ejemplo, al ampliar o reducir una fotografía , o al crear una maqueta de un edificio, un coche, un avión, etc.

Más general es el escalado con un factor de escala independiente para cada eje. El escalado no uniforme ( escalado anisotrópico ) se obtiene cuando al menos uno de los factores de escala es diferente de los demás; un caso especial es el escalado o estiramiento direccional (en una dirección). El escalado no uniforme cambia la forma del objeto; por ejemplo, un cuadrado puede transformarse en un rectángulo o en un paralelogramo si los lados del cuadrado no son paralelos a los ejes de escalado (los ángulos entre líneas paralelas a los ejes se conservan, pero no todos los ángulos). Esto ocurre, por ejemplo, cuando se observa una valla publicitaria lejana desde un ángulo oblicuo o cuando la sombra de un objeto plano cae sobre una superficie que no es paralela a él.

Cuando el factor de escala es mayor que 1 (uniforme o no uniforme), el escalado también se denomina a veces dilatación o ampliación . Cuando el factor de escala es un número positivo menor que 1, el escalado también se denomina a veces contracción o reducción .

En el sentido más general, un escalado incluye el caso en que las direcciones de escalado no son perpendiculares. También incluye el caso en que uno o más factores de escala son iguales a cero ( proyección ), y el caso de uno o más factores de escala negativos (un escalado direccional por -1 es equivalente a una reflexión ).

El escalado es una transformación lineal y un caso especial de transformación homotética (escalado alrededor de un punto). En la mayoría de los casos, las transformaciones homotéticas son transformaciones no lineales.

Un factor de escala suele ser un decimal que escala, o multiplica, alguna cantidad. En la ecuación y  = Cx , C es el factor de escala de x . C también es el coeficiente de x y puede denominarse constante de proporcionalidad de y con respecto a x . Por ejemplo, duplicar distancias corresponde a un factor de escala de dos para la distancia, mientras que cortar un pastel por la mitad da como resultado trozos con un factor de escala de volumen de la mitad. La ecuación básica es imagen sobre preimagen.

En el ámbito de la metrología, el factor de escala de un instrumento se denomina a veces sensibilidad. La relación entre dos longitudes correspondientes en dos figuras geométricas semejantes también se conoce como escala.

Un escalado puede representarse mediante una matriz de escalado . Para escalar un objeto mediante un vector v = ( v _x , v _y , v _z ), cada punto p = ( p _x , p _y , p _z ) debería multiplicarse por esta matriz de escalado:

${\displaystyle S_{v}={\begin{bmatrix}v_{x}&0&0\\0&v_{y}&0\\0&0&v_{z}\\\end{bmatrix}}.}$

Como se muestra a continuación, la multiplicación dará el resultado esperado:

${\displaystyle S_{v}p={\begin{bmatrix}v_{x}&0&0\\0&v_{y}&0\\0&0&v_{z}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}p_{x}\\ p_{y}\\p_{z}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}v_{x}p_{x}\\v_{y}p_{y}\\v_{z}p_{z}\end{bmatrix}}.}$

Este tipo de escala modifica el diámetro de un objeto por un factor comprendido entre los factores de escala, el área por un factor comprendido entre el producto más pequeño y el más grande de dos factores de escala, y el volumen por el producto de los tres.

La escala es uniforme si y solo si los factores de escala son iguales ( v _x = v _y = v _z ). Si todos los factores de escala, excepto uno, son iguales a 1, tenemos una escala direccional.

En el caso en que v _x = v _y = v _z = k , el escalado aumenta el área de cualquier superficie por un factor de k ² y el volumen de cualquier objeto sólido por un factor de k ³ .

En geometría proyectiva , frecuentemente utilizada en gráficos por computadora , los puntos se representan mediante coordenadas homogéneas . Para escalar un objeto mediante un vector v = ( v _x , v _y , v _z ), cada vector de coordenadas homogéneas p = ( p _x , p _y , p _z , 1) debería multiplicarse por esta matriz de transformación proyectiva :

${\displaystyle S_{v}={\begin{bmatrix}v_{x}&0&0&0\\0&v_{y}&0&0\\0&0&v_{z}&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}.}$

Como se muestra a continuación, la multiplicación dará el resultado esperado:

${\displaystyle S_{v}p={\begin{bmatrix}v_{x}&0&0&0\\0&v_{y}&0&0\\0&0&v_{z}&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}p_{ x}\\p_{y}\\p_{z}\\1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}v_{x}p_{x}\\v_{y}p_{y}\\v_{z}p_{z}\\1\end{bmatrix}}.}$

Dado que el último componente de una coordenada homogénea puede considerarse como el denominador de los otros tres componentes, se puede lograr un escalado uniforme por un factor común s (escalado uniforme) utilizando esta matriz de escalado:

${\displaystyle S_{v}={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&{\frac {1}{s}}\end{bmatrix}}.}$

Para cada vector p = ( p _x , p _y , p _z , 1) tendríamos

${\displaystyle S_{v}p={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&{\frac {1}{s}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}p_{x}\\p_{y}\\p_{z}\\1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}p_{x}\\p_{y}\\p_{z}\\{\frac {1}{s}}\end{bmatrix}},}$

lo cual sería equivalente a

${\displaystyle {\begin{bmatrix}sp_{x}\\sp_{y}\\sp_{z}\\1\end{bmatrix}}.}$

Dado un punto${\displaystyle P(x,y)}$, la dilatación lo asocia con el punto${\displaystyle P'(x',y')}$a través de las ecuaciones

${\displaystyle {\begin{cases}x'=mx\\y'=ny\end{cases}}}$para${\displaystyle m,n\in \mathbb {R} ^{+}}$.

Por lo tanto, dada una función${\displaystyle y=f(x)}$, la ecuación de la función dilatada es

${\displaystyle y=nf\left({\frac {x}{m}}\right).}$

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