Espacio disperso

En matemáticas, un espacio disperso es un espacio topológico X que no contiene ningún subconjunto no vacío denso en sí mismo . ^{[ 1 ] [ 2 ]} Equivalentemente, todo subconjunto no vacío A de X contiene un punto aislado en A .

Un subconjunto de un espacio topológico se denomina conjunto disperso si es un espacio disperso con la topología de subespacio .

• Cada espacio discreto está disperso.
• Todo número ordinal con la topología de orden está disperso. De hecho, todo subconjunto no vacío A contiene un elemento mínimo, y ese elemento está aislado en A.
• Un espacio X con la topología de punto particular , en particular el espacio de Sierpinski , es disperso. Este es un ejemplo de un espacio disperso que no es un espacio T ₁ .
• El cierre de un conjunto disperso no es necesariamente disperso. Por ejemplo, en el plano euclidiano.${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$Consideremos un conjunto discreto infinito numerable A en el disco unitario , donde la densidad de puntos aumenta a medida que nos acercamos al límite. Por ejemplo, consideremos la unión de los vértices de una serie de n -gonos centrados en el origen, con un radio que se aproxima cada vez más a 1. Entonces, la clausura de A contendrá todo el círculo de radio 1, que es denso en sí mismo.

• En un espacio topológico X, la clausura de un subconjunto denso en sí mismo es un conjunto perfecto . Por lo tanto, X es disperso si y solo si no contiene ningún conjunto perfecto no vacío.
• Cada subconjunto de un espacio disperso está disperso. Estar disperso es una propiedad hereditaria .
• Todo espacio disperso X es un espacio T ₀ . ( Demostración: Dados dos puntos distintos x , y en X , al menos uno de ellos, digamos x , estará aislado en${\displaystyle \{x,y\}}$Eso significa que existe un entorno de x en X que no contiene a y .
• En un espacio T ₀ la unión de dos conjuntos dispersos está dispersa. ^{[ 3 ] [ 4 ]} Nótese que la suposición T ₀ es necesaria aquí. Por ejemplo, si${\displaystyle X=\{a,b\}}$con la topología indiscreta ,${\displaystyle \{a\}}$y${\displaystyle \{b\}}$ambos están dispersos, pero su unión,${\displaystyle X}$, no está disperso ya que no tiene ningún punto aislado.
• Cada espacio disperso T _{1 está} totalmente desconectado .
  ( Prueba: Si C es un subconjunto conexo no vacío de X , contiene un punto x aislado en C. Por lo tanto, el conjunto unitario es${\displaystyle \{x\}}$es a la vez abierto en C (porque x está aislado) y cerrado en C (debido a la propiedad T ₁ ). Como C es conexo, debe ser igual a${\displaystyle \{x\}}$Esto demuestra que cada componente conexa de X tiene un único punto.
• Cada segundo espacio disperso contable es contable . ^{[ 5 ]}
• Todo espacio topológico X puede escribirse de forma única como la unión disjunta de un conjunto perfecto y un conjunto disperso. ^{[ 6 ] [ 7 ]}
• Cada segundo espacio numerable X puede escribirse de una manera única como la unión disjunta de un conjunto perfecto y un conjunto abierto disperso numerable.
  ( Demostración: Utilice la descomposición perfecta + dispersa y el hecho anterior sobre espacios dispersos numerables de segundo orden, junto con el hecho de que un subconjunto de un espacio numerable de segundo orden es numerable de segundo orden).
  Además, todo subconjunto cerrado de un segundo numerable X puede escribirse de forma única como la unión disjunta de un subconjunto perfecto de X y un subconjunto disperso numerable de X. ^{[ 8} ] Esto se cumple en particular en cualquier espacio polaco , que es el contenido del teorema ^de Cantor-Bendixson .

• Engelking, Ryszard , Topología general , Heldermann Verlag Berlin, 1989. ISBN 3-88538-006-4
• Steen, Lynn Arthur ; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978]. Contraejemplos en topología ( reimpresión de Dover de la edición de 1978  ). Berlín, Nueva York: Springer-Verlag . ISBN 978-0-486-68735-3. MR 0507446 . 
• Willard, Stephen (2004) [1970], Topología general ( reimpresión de Dover  de la edición de 1970), Addison-Wesley