Amplitud de dispersión

En física cuántica , la amplitud de dispersión es la amplitud de probabilidad de la onda esférica saliente en relación con la onda plana incidente en un proceso de dispersión en estado estacionario . ^{[ 1 ]}

La dispersión en mecánica cuántica comienza con un modelo físico basado en la ecuación de onda de Schrödinger para la amplitud de probabilidad.${\displaystyle \psi }$: $${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2\mu }}\nabla ^{2}\psi +V\psi =E\psi }$$ dónde${\displaystyle \mu }$es la masa reducida de dos partículas dispersoras y E es la energía del movimiento relativo. Para problemas de dispersión, se busca una función de onda estacionaria (independiente del tiempo) con un comportamiento a grandes distancias ( forma asintótica ) en dos partes. Primero, una onda plana representa la fuente incidente y, segundo, una onda esférica que emana del centro de dispersión situado en el origen de coordenadas representa la onda dispersada: ^{[ 2 ] : 114}$${\displaystyle \psi (r\rightarrow \infty )\sim e^{i\mathbf {k} _{i}\cdot \mathbf {r} }+f(\mathbf {k} _{f},\mathbf {k} _{i}){\frac {e^{i\mathbf {k} _{f}\cdot \mathbf {r} }}{r}}}$$ La amplitud de dispersión,${\ Displaystyle f (\ mathbf {k} _ {f}, \ mathbf {k} _ {i})}$, representa la amplitud con la que el objetivo dispersará la luz en la dirección${\displaystyle \mathbf {k} _{f}}$. ^{[ 3 ] : 194} En general, la amplitud de dispersión requiere conocer la función de onda de dispersión completa: $${\displaystyle f(\mathbf {k} _{f},\mathbf {k} _{i})=-{\frac {\mu }{2\pi \hbar ^{2}}}\int \psi _{f}^{*}V(\mathbf {r} )\psi _{i}d^{3}r}$$ Para interacciones débiles se puede aplicar una serie de perturbaciones ; el orden más bajo se denomina aproximación de Born .

Para un centro de dispersión con simetría esférica, la onda plana se describe mediante la función de onda ^{[ 4 ].}

${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )=e^{ikz}+f(\theta ){\frac {e^{ikr}}{r}}\;,}$

dónde${\displaystyle \mathbf {r} \equiv (x,y,z)}$es el vector de posición;${\displaystyle r\equiv |\mathbf {r} |}$;${\displaystyle e^{ikz}}$ es la onda plana incidente con número de onda k a lo largo del eje z ;${\displaystyle e^{ikr}/r}$es la onda esférica saliente; θ es el ángulo de dispersión (ángulo entre la dirección incidente y la dispersada); y${\displaystyle f(\theta )}$es la amplitud de dispersión.

La dimensión de la amplitud de dispersión es longitud . La amplitud de dispersión es una amplitud de probabilidad ; la sección transversal diferencial en función del ángulo de dispersión se da como su módulo al cuadrado ,

${\displaystyle d\sigma =|f(\theta )|^{2}\;d\Omega .}$

Cuando se cumple la conservación del número de partículas durante la dispersión, se llega a una condición unitaria para la amplitud de dispersión. En el caso general, tenemos ^{[ 4 ]}

${\displaystyle f(\mathbf {n} ,\mathbf {n} ')-f^{*}(\mathbf {n} ',\mathbf {n} )={\frac {ik}{2\pi }}\int f(\mathbf {n} ,\mathbf {n} '')f^{*}(\mathbf {n} ,\mathbf {n} '')\,d\Omega ''}$

El teorema óptico se deduce de aquí estableciendo${\displaystyle \mathbf {n} =\mathbf {n} '.}$

En el campo centralmente simétrico , la condición unitaria se convierte en

${\displaystyle \mathrm {Im} f(\theta )={\frac {k}{4\pi }}\int f(\gamma )f(\gamma ')\,d\Omega ''}$

dónde${\displaystyle \gamma }$y${\displaystyle \gamma '}$son los ángulos entre${\displaystyle \mathbf {n} }$y${\displaystyle \mathbf {n} '}$y alguna dirección${\displaystyle \mathbf {n} ''}$Esta condición impone una restricción a la forma permitida para${\displaystyle f(\theta )}$, es decir, la parte real e imaginaria de la amplitud de dispersión no son independientes en este caso. Por ejemplo, si${\displaystyle |f(\theta )|}$en${\displaystyle f=|f|e^{2i\alpha }}$se conoce (por ejemplo, a partir de la medición de la sección transversal), entonces${\displaystyle \alpha (\theta )}$puede determinarse de tal manera que${\displaystyle f(\theta )}$está determinado de forma única dentro de la alternativa${\displaystyle f(\theta )\rightarrow -f^{*}(\theta )}$. ^{[ 4 ]}

En la expansión de ondas parciales, la amplitud de dispersión se representa como una suma sobre las ondas parciales, ^{[ 5 ]}

${\displaystyle f=\sum _{\ell =0}^{\infty }(2\ell +1)f_{\ell }P_{\ell }(\cos \theta )}$,

donde f _ℓ es la amplitud de dispersión parcial y P _ℓ son los polinomios de Legendre . La amplitud parcial se puede expresar mediante el elemento de la matriz S de onda parcial S _ℓ (${\displaystyle =e^{2i\delta _{\ell }}}$) y el desplazamiento de fase de dispersión δ _ℓ como

${\displaystyle f_{\ell }={\frac {S_{\ell }-1}{2ik}}={\frac {e^{2i\delta _{\ell }}-1}{2ik}}={\frac {e^{i\delta _{\ell }}\sin \delta _{\ell }}{k}}={\frac {1}{k\cot \delta _{\ell }-ik}}\;.}$

Luego, la sección transversal total ^{[ 6 ]}

${\displaystyle \sigma =\int |f(\theta )|^{2}d\Omega }$,

puede expandirse como ^{[ 4 ]}

${\displaystyle \sigma =\sum _{l=0}^{\infty }\sigma _{l},\quad {\text{where}}\quad \sigma _{l}=4\pi (2l+1)|f_{l}|^{2}={\frac {4\pi }{k^{2}}}(2l+1)\sin ^{2}\delta _{l}}$

es la sección transversal parcial. La sección transversal total también es igual a${\displaystyle \sigma =(4\pi /k)\,\mathrm {Im} f(0)}$debido al teorema óptico .

Para${\displaystyle \theta \neq 0}$, podemos escribir ^{[ 4 ]}

${\displaystyle f={\frac {1}{2ik}}\sum _{\ell =0}^{\infty }(2\ell +1)e^{2i\delta _{l}}P_{\ell }(\cos \theta ).}$

La longitud de dispersión para los rayos X es la longitud de dispersión de Thomson o radio clásico del electrón , r ₀ .

El proceso de dispersión de neutrones nucleares implica la longitud de dispersión coherente de neutrones, a menudo descrita por b .

Un enfoque de la mecánica cuántica viene dado por el formalismo de la matriz S.

La amplitud de dispersión puede determinarse mediante la longitud de dispersión en el régimen de baja energía.

• Teorema de Levinson
• Expansión de onda plana
• Amplitud veneciana