Tasa de dispersión

En física , la tasa de dispersión describe la velocidad a la que un haz de partículas se dispersa al pasar a través de un material. Representa la probabilidad por unidad de tiempo de que una partícula se desvíe de su trayectoria original por una interacción, como con impurezas o fonones en una red cristalina . La tasa de dispersión, a menudo denotada por${\displaystyle w}$o${\displaystyle \Gamma }$, es un concepto crucial en la física del estado sólido y la física de la materia condensada , ya que determina varias propiedades de los materiales, incluyendo la conductividad eléctrica y la conductividad térmica .

Defina el hamiltoniano no perturbado mediante${\displaystyle H_{0}}$, el hamiltoniano perturbador dependiente del tiempo por${\displaystyle H_{1}}$y hamiltoniano total por${\displaystyle H}$.

Se supone que los autoestados del hamiltoniano no perturbado son

${\displaystyle H=H_{0}+H_{1}\ }$

${\displaystyle H_{0}|k\rangle =E(k)|k\rangle }$

En la imagen de interacción , el estado ket se define por

${\displaystyle |k(t)\rangle _{I}=e^{iH_{0}t/\hbar }|k(t)\rangle _{S}=\sum _{k'}c_{k'}(t)|k'\rangle }$

Mediante una ecuación de Schrödinger , vemos:

${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|k(t)\rangle _{I}=H_{1I}|k(t)\rangle _{I}}$

que es una ecuación tipo Schrödinger con el total${\displaystyle H}$reemplazado por${\displaystyle H_{1I}}$.

Resolviendo la ecuación diferencial , podemos encontrar el coeficiente del estado n.

${\displaystyle c_{k'}(t)=\delta _{k,k'}-{\frac {i}{\hbar }}\int _{0}^{t}dt'\;\langle k'|H_{1}(t')|k\rangle \,e^{-i(E_{k}-E_{k'})t'/\hbar }}$

donde el término de orden cero y el término de primer orden son

${\displaystyle c_{k'}^{(0)}=\delta _{k,k'}}$

${\displaystyle c_{k'}^{(1)}=-{\frac {i}{\hbar }}\int _{0}^{t}dt'\;\langle k'|H_{1}(t')|k\rangle \,e^{-i(E_{k}-E_{k'})t'/\hbar }}$

La probabilidad de encontrar${\displaystyle |k'\rangle }$se encuentra mediante evaluación${\displaystyle |c_{k'}(t)|^{2}}$.

En caso de perturbación constante,${\displaystyle c_{k'}^{(1)}}$se calcula mediante

${\displaystyle c_{k'}^{(1)}={\frac {\langle \ k'|H_{1}|k\rangle }{E_{k'}-E_{k}}}(1-e^{i(E_{k'}-E_{k})t/\hbar })}$

${\displaystyle |c_{k'}(t)|^{2}=|\langle \ k'|H_{1}|k\rangle |^{2}{\frac {sin^{2}({\frac {E_{k'}-E_{k}}{2\hbar }}t)}{({\frac {E_{k'}-E_{k}}{2\hbar }})^{2}}}{\frac {1}{\hbar ^{2}}}}$

Usando la ecuación que es

${\displaystyle \lim _{\alpha \rightarrow \infty }{\frac {1}{\pi }}{\frac {sin^{2}(\alpha x)}{\alpha x^{2}}}=\delta (x)}$

La tasa de transición de un electrón desde el estado inicial${\displaystyle k}$al estado final${\displaystyle k'}$es dado por

${\displaystyle P(k,k')={\frac {2\pi }{\hbar }}|\langle \ k'|H_{1}|k\rangle |^{2}\delta (E_{k'}-E_{k})}$

dónde${\displaystyle E_{k}}$y${\displaystyle E_{k'}}$son las energías de los estados inicial y final, incluido el estado de perturbación, y aseguran que${\displaystyle \delta }$-La función indica la conservación de la energía.

La tasa de dispersión w(k) se determina sumando todos los posibles estados finitos k' de dispersión de electrones desde un estado inicial k hasta un estado final k', y se define por

${\displaystyle w(k)=\sum _{k'}P(k,k')={\frac {2\pi }{\hbar }}\sum _{k'}|\langle \ k'|H_{1}|k\rangle |^{2}\delta (E_{k'}-E_{k})}$

La forma integral es

${\displaystyle w(k)={\frac {2\pi }{\hbar }}{\frac {L^{3}}{(2\pi )^{3}}}\int d^{3}k'|\langle \ k'|H_{1}|k\rangle |^{2}\delta (E_{k'}-E_{k})}$

• C. Hamaguchi (2001). Física básica de semiconductores . Springer. págs. 196–253 . 
• JJ Sakurai. Mecánica cuántica moderna . Addison Wesley Longman. págs. 316–319 .