Estimaciones de Schauder

En matemáticas , y más precisamente, en análisis funcional y ecuaciones diferenciales parciales , las estimaciones de Schauder son una colección de resultados debidos a Juliusz Schauder  (1934, 1937) sobre la regularidad de las soluciones de ecuaciones diferenciales parciales lineales y uniformemente elípticas . Las estimaciones dicen que cuando la ecuación tiene términos apropiadamente suaves y soluciones apropiadamente suaves, entonces la norma de Hölder de la solución puede ser controlada en términos de las normas de Hölder para los términos de coeficiente y fuente. Dado que estas estimaciones suponen por hipótesis la existencia de una solución, se denominan estimaciones a priori .

Existe un resultado interior , que proporciona una condición de Hölder para la solución en dominios interiores alejados del límite, y un resultado límite , que proporciona la condición de Hölder para la solución en todo el dominio. El primer límite depende únicamente de la dimensión espacial, la ecuación y la distancia al límite; el segundo depende también de la suavidad del límite.

Las estimaciones de Schauder son una condición previa necesaria para utilizar el método de continuidad para demostrar la existencia y regularidad de soluciones al problema de Dirichlet para ecuaciones diferenciales parciales elípticas. Este resultado indica que cuando los coeficientes de la ecuación y la naturaleza de las condiciones de contorno son suficientemente suaves, existe una solución clásica suave para la ecuación diferencial parcial.

Las estimaciones de Schauder se dan en términos de normas de Hölder ponderadas; la notación seguirá la dada en el texto de D. Gilbarg y Neil Trudinger  (1983).

La norma suprema de una función continua está dada por ${\displaystyle f\en C(\Omega )}$

${\displaystyle |f|_{0;\Omega}=\sup_{x\in \Omega}|f(x)|}$

Para una función que es Hölder continua con exponente , es decir , la seminorma de Hölder usual está dada por ${\estilo de visualización \alpha}$${\displaystyle f\in C^{0,\alpha }(\Omega )}$

${\displaystyle [f]_{0,\alpha ;\Omega }=\sup _{x,y\in \Omega }{\frac {|f(x)-f(y)|}{|xy|^{\alpha }}}.}$

La suma de los dos es la norma completa de Hölder de f

${\displaystyle |f|_{0,\alpha;\Omega}=|f|_{0;\Omega}+[f]_{0,\alpha;\Omega}=\sup _{x\in \Omega}|f(x)|+\sup _{x,y\in \Omega} {\frac {|f(x)-f(y)|}{|xy|^{\alpha}}}.}$

Para funciones diferenciables u , es necesario considerar las normas de orden superior, que involucran derivadas. La norma en el espacio de funciones con k derivadas continuas, , está dada por ${\displaystyle C^{k}(\Omega )}$

${\displaystyle |u|_{k;\Omega }=\sum _{|\beta |\leq k}\sup _{x\in \Omega }|D^{\beta }u(x)|}$

donde abarca todos los multiíndices de órdenes apropiados. Para funciones con derivadas de orden k que son continuas en el sentido de Hölder con exponente , la seminorma apropiada está dada por ${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle [u]_{k,\alpha ;\Omega }=\sup _{\stackrel {x,y\in \Omega }{|\beta |=k}}{\frac {|D^{\beta }u(x)-D^{\beta }u(y)|}{|x-y|^{\alpha }}}}$

lo que da una norma completa de

${\displaystyle |u|_{k,\alpha ;\Omega }=|u|_{k;\Omega }+[u]_{k,\alpha ;\Omega }=\sum _{|\beta |\leq k}\sup _{x\in \Omega }|D^{\beta }u(x)|+\sup _{\stackrel {x,y\in \Omega }{|\beta |=k}}{\frac {|D^{\beta }u(x)-D^{\beta }u(y)|}{|x-y|^{\alpha }}}.}$

Para las estimaciones interiores, las normas se ponderan por la distancia al límite.

${\displaystyle d_{x}=d(x,\partial \Omega )}$

elevado a la misma potencia que la derivada, y las seminomas están ponderadas por

${\displaystyle d_{x,y}=\min(d_{x},d_{y})}$

elevado a la potencia adecuada. La norma interior ponderada resultante para una función está dada por

${\displaystyle |u|_{k,\alpha ;\Omega }^{*}=|u|_{k;\Omega }^{*}+[u]_{k,\alpha ;\Omega }^{*}=\sum _{|\beta |\leq k}\sup _{x\in \Omega }|d_{x}^{|\beta |}D^{\beta }u(x)|+\sup _{\stackrel {x,y\in \Omega }{|\beta |=k}}d_{x,y}^{k+\alpha }{\frac {|D^{\beta }u(x)-D^{\beta }u(y)|}{|x-y|^{\alpha }}}}$

Ocasionalmente es necesario agregar potencias "extra" del peso, denotadas por

${\displaystyle |u|_{k,\alpha ;\Omega }^{(m)}=|u|_{k;\Omega }^{(m)}+[u]_{k,\alpha ;\Omega }^{(m)}=\sum _{|\beta |\leq k}\sup _{x\in \Omega }|d_{x}^{|\beta |+m}D^{\beta }u(x)|+\sup _{\stackrel {x,y\in \Omega }{|\beta |=k}}d_{x,y}^{m+k+\alpha }{\frac {|D^{\beta }u(x)-D^{\beta }u(y)|}{|x-y|^{\alpha }}}.}$

Las formulaciones de esta sección están tomadas del texto de D. Gilbarg y Neil Trudinger  (1983).

Consideremos una solución acotada en el dominio de la ecuación diferencial parcial elíptica de segundo orden. ${\displaystyle u\in C^{2,\alpha }(\Omega )}$${\displaystyle \Omega }$

${\displaystyle \sum _{i,j}a_{i,j}(x)D_{i}D_{j}u(x)+\sum _{i}b_{i}(x)D_{i}u(x)+c(x)u(x)=f(x)}$

donde el término fuente satisface . Si existe una constante tal que sean estrictamente elípticas, ${\displaystyle f\in C^{\alpha }(\Omega )}$${\displaystyle \lambda >0}$${\displaystyle a_{i,j}}$

${\displaystyle \sum a_{i,j}(x)\xi _{i}\xi _{j}\geq \lambda |\xi |^{2}}$a pesar de${\displaystyle x\in \Omega ,\xi \in \mathbb {R} ^{n}}$

y los coeficientes de las normas pertinentes están todos limitados por otra constante${\displaystyle \Lambda }$

${\displaystyle |a_{i,j}|_{0,\alpha ;\Omega },|b_{i}|_{0,\alpha ;\Omega }^{(1)},|c|_{0,\alpha ;\Omega }^{(2)}\leq \Lambda .}$

Entonces la norma ponderada de u está controlada por el supremo de u y la norma de Hölder de f : ${\displaystyle C^{2,\alpha }}$

${\displaystyle |u|_{2,\alpha ;\Omega }^{*}\leq C(n,\alpha ,\lambda ,\Lambda )(|u|_{0,\Omega }+|f|_{0,\alpha ;\Omega }^{(2)}).}$

Sea un dominio (es decir, alrededor de cualquier punto en el límite del dominio, la hipersuperficie límite puede realizarse, después de una rotación apropiada de coordenadas, como una función), con datos de borde de Dirichlet que coinciden con una función que también es al menos . Entonces, sujeta a condiciones análogas en los coeficientes como en el caso de la estimación interior, la norma de Hölder no ponderada de u está controlada por las normas no ponderadas del término fuente, los datos de borde y la norma suprema de u : ${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle C^{2,\alpha }}$${\displaystyle C^{2,\alpha }}$${\displaystyle \phi (x)}$${\displaystyle C^{2,\alpha }}$

${\displaystyle |u|_{2,\alpha ;\Omega }\leq C(n,\alpha ,\lambda ,\Lambda ,\Omega )(|u|_{0,\Omega }+|f|_{0,\alpha ;\Omega }+|\phi |_{2,\alpha ;\partial \Omega }).}$

Cuando la solución u satisface el principio de máximo , se puede descartar el primer factor del lado derecho.

• Gilbarg, D.; Trudinger, Neil (1983), Ecuaciones diferenciales parciales elípticas de segundo orden , Nueva York: Springer, ISBN 3-540-41160-7
• Schauder, Juliusz (1934), "Über lineare elliptische Differentialgleichungen zweiter Ordnung", Mathematische Zeitschrift (en alemán), vol. 38, núm. 1, Berlín, Alemania: Springer-Verlag, págs. 257–282, doi :10.1007/BF01170635, S2CID  120461752 Señor 1545448
• Schauder, Juliusz (1937), "Numerische Abschätzungen in elliptischen linearen Differentialgleichungen" (PDF) , Studia Mathematica (en alemán), vol. 5, Lwów, Polonia: Polska Akademia Nauk. Instytut Matematyczny, págs. 34-42

• Courant, Richard ; Hilbert, David (1989), Métodos de física matemática , vol. 2 (1.ª edición en inglés), Nueva York: Wiley-Interscience, ISBN 0-471-50439-4
• Han, Qing; Lin, Fanghua (1997), Ecuaciones diferenciales parciales elípticas , Nueva York: Courant Institute of Mathematical Sciences , ISBN 0-9658703-0-8, OCLC  38168365 Señor 1669352