Teorema del punto fijo de Schauder

El teorema de punto fijo de Schauder es una extensión del teorema de punto fijo de Brouwer a los espacios vectoriales topológicos , que pueden ser de dimensión infinita. Afirma que si es un subconjunto cerrado convexo no vacío de un espacio vectorial topológico de Hausdorff y es una aplicación continua de en sí mismo tal que está contenido en un subconjunto compacto de , entonces tiene un punto fijo . ${\estilo de visualización K}$${\estilo de visualización V}$${\estilo de visualización f}$${\estilo de visualización K}$${\estilo de visualización f(K)}$${\estilo de visualización K}$${\estilo de visualización f}$

Una consecuencia, llamada teorema del punto fijo de Schaefer , es particularmente útil para demostrar la existencia de soluciones a ecuaciones diferenciales parciales no lineales . El teorema de Schaefer es, de hecho, un caso especial del teorema de Leray-Schauder de gran alcance, que fue demostrado anteriormente por Juliusz Schauder y Jean Leray . El enunciado es el siguiente:

Sea una aplicación continua y compacta de un espacio de Banach en sí mismo, tal que el conjunto ${\estilo de visualización f}$${\estilo de visualización X}$

${\displaystyle \{x\in X:x=\lambda f(x){\mbox{ para algún }}0\leq \lambda \leq 1\}}$

está acotado. Entonces tiene un punto fijo. (Una aplicación compacta en este contexto es aquella para la cual la imagen de cada conjunto acotado es relativamente compacta ). ${\estilo de visualización f}$

El teorema fue conjeturado y demostrado para casos especiales, como los espacios de Banach, por Juliusz Schauder en 1930. Su conjetura para el caso general fue publicada en el libro escocés . En 1934, Tychonoff demostró el teorema para el caso en el que K es un subconjunto convexo compacto de un espacio localmente convexo . Esta versión se conoce como el teorema de punto fijo de Schauder-Tychonoff . BV Singbal demostró el teorema para el caso más general en el que K puede ser no compacto; la prueba se puede encontrar en el apéndice del libro de Bonsall (ver referencias).

• Teoremas de punto fijo
• Teorema del punto fijo de Banach
• Teorema del punto fijo de Kakutani

• J. Schauder, Der Fixpunktsatz in Funktionalräumen , Studia Math. 2 (1930), 171–180
• A. Tychonoff, Ein Fixpunktsatz , Mathematische Annalen 111 (1935), 767–776
• FF Bonsall, Conferencias sobre algunos teoremas de punto fijo del análisis funcional , Bombay 1962
• D. Gilbarg, N. Trudinger , Ecuaciones diferenciales parciales elípticas de segundo orden . ISBN  3-540-41160-7 .
• E. Zeidler, Análisis funcional no lineal y sus aplicaciones, I - Teoremas de punto fijo

• "Teorema de Schauder", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• "Teorema del punto fijo de Schauder". PlanetMath .
• "Prueba del teorema del punto fijo de Schauder". PlanetMath ..