Método de Scheffé

En estadística , el método de Scheffé , que lleva el nombre del estadístico estadounidense Henry Scheffé , es un método para ajustar los niveles de significancia en un análisis de regresión lineal para tener en cuenta las comparaciones múltiples . Es particularmente útil en el análisis de varianza (un caso especial del análisis de regresión ) y en la construcción de intervalos de confianza simultáneos para regresiones que involucran funciones base .

El método de Scheffé es un procedimiento de comparación múltiple de un solo paso que se aplica al conjunto de estimaciones de todos los contrastes posibles entre las medias de los niveles factoriales, no solo a las diferencias por pares consideradas por el método de Tukey-Kramer . Funciona con principios similares al procedimiento de Working-Hotelling para estimar las respuestas medias en regresión, que se aplica al conjunto de todos los niveles factoriales posibles.

Dejar${\textstyle \mu _{1},\ldots ,\mu _{r}}$ser el medio de alguna variable en${\textstyle r}$poblaciones disjuntas.

Un contraste arbitrario se define por

${\displaystyle C=\sum _{i=1}^{r}c_{i}\mu _{i}}$

dónde

${\displaystyle \sum _{i=1}^{r}c_{i}=0.}$

Si${\textstyle \mu _{1},\ldots ,\mu _{r}}$Si todos son iguales entre sí, entonces todos los contrastes entre ellos son 0. De lo contrario, algunos contrastes difieren de 0 .

Técnicamente existen infinitos contrastes. El coeficiente de confianza simultáneo es exactamente${\textstyle 1-\alpha }$, ya sean iguales o desiguales los tamaños de muestra a nivel de factor. (Normalmente solo interesa un número finito de comparaciones. En este caso, el método de Scheffé suele ser bastante conservador, y la tasa de error familiar (tasa de error experimental) generalmente será mucho menor que${\textstyle \alpha }$.) ^{[ 1 ] [ 2 ]}

Estimamos${\textstyle C}$por

${\displaystyle {\hat {C}}=\sum _{i=1}^{r}c_{i}{\bar {Y}}_{i}}$

para la cual la varianza estimada es

${\displaystyle s_{\hat {C}}^{2}={\hat {\sigma }}_{e}^{2}\sum _{i=1}^{r}{\frac {c_{i}^{2}}{n_{i}}},}$

dónde

• ${\textstyle n_{i}}$es el tamaño de la muestra tomada de la${\textstyle i}$^población (aquella cuya media es${\textstyle \mu _{i}}$), y
• ${\displaystyle {\hat {\sigma }}_{e}^{2}}$es la varianza estimada de los errores .

Se puede demostrar que la probabilidad es${\textstyle 1-\alpha }$que todos los límites de confianza del tipo

${\displaystyle {\hat {C}}\pm \,s_{\hat {C}}{\sqrt {\left(r-1\right)F_{\alpha ;r-1;Nr}}}}$

son simultáneamente correctas, mientras que como es habitual${\textstyle N}$es el tamaño de toda la población. Norman R. Draper y Harry Smith, en su 'Análisis de regresión aplicada' (ver referencias), indican que${\textstyle r}$debería estar en la ecuación en lugar de${\textstyle r-1}$El resbalón con${\textstyle r-1}$es el resultado de no tener en cuenta el efecto adicional del término constante en muchas regresiones. Que el resultado basado en${\textstyle r-1}$Está mal, se ve fácilmente al considerar${\textstyle r=2}$, como en una regresión lineal simple estándar . Esa fórmula se reduciría entonces a una con la habitual${\textstyle t}$-distribución, que es apropiada para predecir/estimar para un solo valor de la variable independiente, no para construir una banda de confianza para un rango de valores de la variable independiente. También tenga en cuenta que la fórmula es para trabajar con los valores medios para un rango de valores independientes, no para compararlos con valores individuales como los valores de datos observados individualmente. ^{[ 3 ]}

Con frecuencia, se utilizan subíndices para indicar qué valores son significativamente diferentes según el método de Scheffé. Por ejemplo, cuando se presentan en una tabla los valores medios de las variables analizadas mediante un ANOVA , se les asigna un subíndice diferente según el contraste de Scheffé. Los valores que no son significativamente diferentes según el contraste post hoc de Scheffé tendrán el mismo subíndice, y los valores que sí lo son tendrán subíndices diferentes (por ejemplo, 15a _, 17a _, 34b _{significaría} que la primera y la segunda variable difieren de la tercera, pero no entre sí, ya que a ambas se les asigna el subíndice "a").

Si solo se va a realizar un número fijo de comparaciones por pares, el método de Tukey-Kramer proporcionará un intervalo de confianza más preciso. En el caso general, cuando muchos o todos los contrastes son de interés, el método de Scheffé es más apropiado y ofrecerá intervalos de confianza más estrechos en el caso de un gran número de comparaciones.

• Bohrer, Robert (1967). "Sobre el afinamiento de los límites de Scheffé". Journal of the Royal Statistical Society . Serie B. 29 (1): 110– 114. JSTOR 2984571 . 
• Scheffé, H. (1999) [1959]. Análisis de varianza . Nueva York: Wiley. ISBN 0-471-34505-9.

• Método de Scheffé

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