Teorema de Schilder

En matemáticas , el teorema de Schilder es una generalización del método de Laplace a partir de integrales en${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$a la integración funcional de Wiener. El teorema se utiliza en la teoría de grandes desviaciones de procesos estocásticos . En términos generales, a partir del teorema de Schilder se obtiene una estimación de la probabilidad de que una trayectoria de muestra (a escala reducida) de movimiento browniano se desvíe mucho de la trayectoria media (que es constante con valor 0). Esta afirmación se precisa utilizando funciones de tasa . El teorema de Schilder se generaliza mediante el teorema de Freidlin-Wentzell para difusiones de Itō .

Sea C ₀  = C ₀ ([0, T ]; R ^d ) el espacio de Banach de funciones continuas    ${\displaystyle f:[0,T]\longrightarrow \mathbf {R} ^{d}}$de tal manera que${\displaystyle f(0)=0}$, equipado con la norma suprema || ⋅ || _∞ y${\displaystyle C_{0}^{\ast }}$sea ​​el subespacio de funciones absolutamente continuas cuya derivada está en${\displaystyle L^{2}}$(el llamado espacio de Cameron-Martin ). Definir la función de tasa

${\displaystyle I(\omega )={\frac {1}{2}}\int _{0}^{T}\|{\dot {\omega }}(t)\|^{2}\,\mathrm {d} t}$

en${\displaystyle C_{0}^{\ast }}$y dejar${\displaystyle F:C_{0}\to \mathbb {R} ,G:C_{0}\to \mathbb {C} }$sean dos funciones dadas, tales que${\displaystyle S:=I+F}$(la "acción") tiene un mínimo único${\displaystyle \Omega \in C_{0}^{\ast }}$.

Luego, bajo ciertas suposiciones de diferenciabilidad y crecimiento en${\displaystyle F,G}$que se detallan en Schilder 1966 , uno tiene

${\displaystyle \lim _{\lambda \to \infty }{\frac {\mathbb {E} \left[\exp \left(-\lambda F(\lambda ^{-1/2}\omega )\right)G(\lambda ^{-1/2}\omega )\right]}{\exp \left(-\lambda S(\Omega )\right)}}=G(\Omega )\mathbb {E} \left[\exp \left(-{\frac {1}{2}}\langle \omega ,D(\Omega )\omega \rangle \right)\right]}$

dónde${\displaystyle \mathbb {E} }$denota la expectativa con respecto a la medida de Wiener${\displaystyle \mathbb {P} }$en${\displaystyle C_{0}}$y${\displaystyle D(\Omega )}$es el hessiano de${\displaystyle F}$como mínimo${\displaystyle \Omega }$;${\displaystyle \langle \omega ,D(\Omega )\omega \rangle }$se entiende en el sentido de un${\displaystyle L^{2}([0,T])}$producto interno.

Sea B un movimiento browniano estándar en el espacio euclidiano d - dimensional R ^d que comienza en el origen, 0 ∈ R ^d ; sea W la ley de B , es decir, la medida de Wiener clásica . Para ε > 0, sea W _ε la ley del proceso reescalado √ ε B . Entonces, en el espacio de Banach C ₀ = C ₀ ([0, T ]; R ^d ) de funciones continuas         ${\displaystyle f:[0,T]\longrightarrow \mathbf {R} ^{d}}$de tal manera que${\displaystyle f(0)=0}$, equipadas con la norma suprema || ⋅ || _∞ , las medidas de probabilidad W _ε satisfacen el principio de grandes desviaciones con una buena función de tasa I  : C ₀ → R ∪ {+ ∞ } dada por     

${\displaystyle I(\omega )={\frac {1}{2}}\int _{0}^{T}|{\dot {\omega }}(t)|^{2}\,\mathrm {d} t}$

si ω es absolutamente continua , e I ( ω )  =  + ∞ en caso contrario. En otras palabras, para cada conjunto abierto G ⊆ C ₀ y cada conjunto cerrado F ⊆ C ₀ ,    

${\displaystyle \limsup _{\varepsilon \downarrow 0}\varepsilon \log \mathbf {W} _{\varepsilon }(F)\leq -\inf _{\omega \in F}I(\omega )}$

y

${\displaystyle \liminf _{\varepsilon \downarrow 0}\varepsilon \log \mathbf {W} _{\varepsilon }(G)\geq -\inf _{\omega \in G}I(\omega ).}$

Tomando ε  =  1/ c ² , se puede usar el teorema de Schilder para obtener estimaciones de la probabilidad de que un movimiento browniano estándar B se desvíe más de c de su punto de partida en el intervalo de tiempo [0, T ], es decir, la probabilidad 

${\displaystyle \mathbf {W} (C_{0}\smallsetminus \mathbf {B} _{c}(0;\|\cdot \|_{\infty }))\equiv \mathbf {P} {\big [}\|B\|_{\infty }>c{\big ]},}$

cuando c tiende a infinito. Aquí B _c (0;  || ⋅ || _∞ ) denota la bola abierta de radio c alrededor de la función cero en C ₀ , tomada con respecto a la norma del supremo . Primero observe que

${\displaystyle \|B\|_{\infty }>c\iff {\sqrt {\varepsilon }}B\in A:=\left\{\omega \in C_{0}\mid |\omega (t)|>1{\text{ para algún }}t\in [0,T]\right\}.}$

Dado que la función de tasa es continua en A , el teorema de Schilder produce

${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{c\to \infty }{\frac {\log \left(\mathbf {P} \left[\|B\|_{\infty }>c\right]\right)}{c^{2}}}&=\lim _{\varepsilon \to 0}\varepsilon \log \left(\mathbf {P} \left[{\sqrt {\varepsilon }}B\in A\right]\right)\\[6pt]&=-\inf \left\{\left.{\frac {1}{2}}\int _{0}^{T}|{\dot {\omega }}(t)|^{2}\,\mathrm {d} t\,\right|\,\omega \in A\right\}\\[6pt]&=-{\frac {1}{2}}\int _{0}^{T}{\frac {1}{T^{2}}}\,\mathrm {d} t\\[6pt]&=-{\frac {1}{2T}},\end{aligned}}}$

aprovechando el hecho de que el ínfimo sobre caminos en la colección A se alcanza para ω ( t ) = ⁠ t / T ⁠ . Este resultado puede interpretarse heurísticamente como que, para c grande y/o T grande

${\displaystyle {\frac {\log \left(\mathbf {P} \left[\|B\|_{\infty }>c\right]\right)}{c^{2}}}\approx -{\frac {1}{2T}}\qquad {\text{or}}\qquad \mathbf {P} \left[\|B\|_{\infty }>c\right]\approx \exp \left(-{\frac {c^{2}}{2T}}\right).}$

De hecho, la probabilidad anterior se puede estimar con mayor precisión: para B un movimiento browniano estándar en R ⁿ , y cualquier T , c y ε > 0 , tenemos:

${\displaystyle \mathbf {P} \left[\sup _{0\leq t\leq T}\left|{\sqrt {\varepsilon }}B_{t}\right|\geq c\right]\leq 4n\exp \left(-{\frac {c^{2}}{2nT\varepsilon }}\right).}$

• Dembo, Amir; Zeitouni, Ofer (1998). Técnicas y aplicaciones de grandes desviaciones . Aplicaciones de las matemáticas (Nueva York) 38 (Segunda  ed.). Nueva York: Springer-Verlag. pp.  xvi+396. ISBN 0-387-98406-2. MR 1619036 . (Véase el teorema 5.2)