descomposición de Schmidt

La descomposición de Schmidt es esencialmente una reformulación de la descomposición en valores singulares en un contexto diferente. Fijemos bases ortonormales.${\displaystyle \{e_{1},\ldots ,e_{n}\}\subset H_{1}}$y${\displaystyle \{f_{1},\ldots ,f_{m}\}\subset H_{2}}$Podemos identificar un tensor elemental${\displaystyle e_{i}\otimes f_{j}}$con la matriz${\displaystyle e_{i}f_{j}^{\mathsf {T}}}$, dónde${\displaystyle f_{j}^{\mathsf {T}}}$es la transpuesta de${\displaystyle f_{j}}$Un elemento general del producto tensorial

${\displaystyle w=\sum _{1\leq i\leq n,1\leq j\leq m}\beta _{ij}e_{i}\otimes f_{j}}$

entonces puede verse como la matriz n × m

${\displaystyle \;M_{w}=(\beta _ {ij}).}$

Mediante la descomposición en valores singulares , existen una matriz unitaria U de n × n , una matriz unitaria V de m × m y una matriz diagonal semidefinida positiva Σ de m × m tales que

${\displaystyle M_{w}=U{\begin{bmatrix}\Sigma \\0\end{bmatrix}}V^{*}.}$

Escribir${\displaystyle U={\begin{bmatrix}U_{1}&U_{2}\end{bmatrix}}}$dónde${\displaystyle U_{1}}$es n × m y tenemos

${\displaystyle \;M_{w}=U_{1}\Sigma V^{*}.}$

Dejar${\displaystyle \{u_{1},\ldots ,u_{m}\}}$sean los m vectores columna de${\displaystyle U_{1}}$,${\displaystyle \{v_{1},\ldots,v_{m}\}}$los vectores columna de${\displaystyle {\overline {V}}}$, y${\displaystyle \alpha _{1},\ldots ,\alpha _{m}}$los elementos diagonales de Σ. La expresión anterior es entonces

${\displaystyle M_{w}=\sum _{k=1}^{m}\alpha _{k}u_{k}v_{k}^{\mathsf {T}},}$

Entonces

${\displaystyle w=\sum _{k=1}^{m}\alpha _{k}u_{k}\otimes v_{k},}$

lo cual prueba la afirmación.

Consideremos un vector${\displaystyle w}$del producto tensorial

${\displaystyle H_{1}\otimes H_{2}}$

en forma de descomposición de Schmidt

${\displaystyle w=\sum _{i=1}^{m}\alpha _{i}u_{i}\otimes v_{i}.}$

Formar la matriz de rango 1${\displaystyle \rho =ww^{*}}$. Luego el rastro parcial de${\displaystyle \rho }$, con respecto al sistema A o B , es una matriz diagonal cuyos elementos diagonales no nulos son${\displaystyle |\alpha _ {i}|^{2}}$. En otras palabras, la descomposición de Schmidt muestra que los estados reducidos de${\displaystyle \rho }$En ambos subsistemas tienen el mismo espectro.

Los valores estrictamente positivos${\displaystyle \alpha _{i}}$en la descomposición de Schmidt de${\displaystyle w}$son sus coeficientes de Schmidt , o números de Schmidt . El número total de coeficientes de Schmidt de${\displaystyle w}$, contado con multiplicidad, se denomina su rango de Schmidt .

Si${\displaystyle w}$puede expresarse como un producto

${\displaystyle u\otimes v}$

entonces${\displaystyle w}$se denomina estado separable . De lo contrario,${\displaystyle w}$Se dice que es un estado entrelazado . A partir de la descomposición de Schmidt, podemos ver que${\displaystyle w}$está enredado si y solo si${\displaystyle w}$tiene rango de Schmidt estrictamente mayor que 1. Por lo tanto, dos subsistemas que dividen un estado puro están entrelazados si y solo si sus estados reducidos son estados mixtos.

Una consecuencia de los comentarios anteriores es que, para estados puros, la entropía de von Neumann de los estados reducidos es una medida bien definida de entrelazamiento . Para la entropía de von Neumann de ambos estados reducidos de${\displaystyle \rho }$es${\textstyle -\sum _{i}|\alpha _{i}|^{2}\log \left(|\alpha _{i}|^{2}\right)}$y esto es cero si y solo si${\displaystyle \rho }$es un estado producto (no entrelazado).

El concepto de vector de rango de Schmidt también puede extenderse a sistemas compuestos por más de tres subsistemas mediante el uso de tensores .

Fuente: ^{[ 2 ]}

Consideremos el estado cuántico tripartito.${\displaystyle |\psi _{4,2,2}\rangle ={\frac {1}{2}}{\big (}|0,0,0\rangle +|1,0,1\rangle +|2,1,0\rangle +|3,1,1\rangle {\big )}}$

Este tipo de sistema es posible gracias a la codificación del valor de un qudit en el momento angular orbital (OAM) de un fotón en lugar de en su espín , ya que este último solo puede tomar dos valores.

El vector de rango de Schmidt para este estado cuántico es${\displaystyle (4,2,2)}$.