Grupo Schnorr

Un grupo de Schnorr , propuesto por Claus P. Schnorr , es un subgrupo grande de orden primo de${\displaystyle \mathbb {Z} _ {p}^{\times }}$, el grupo multiplicativo de enteros módulo${\displaystyle p}$para algunos principiante${\displaystyle p}$. ^{[ 1 ]}

Para generar dicho grupo, genere${\displaystyle p}$,${\displaystyle q}$,${\displaystyle r}$de tal manera que

${\displaystyle p=qr+1}$

con${\displaystyle p}$,${\displaystyle q}$primo. Luego elige cualquiera${\displaystyle h}$en el rango${\displaystyle 1<h<p}$hasta que encuentres uno de esos

${\displaystyle h^{r}\not \equiv 1\;({\text{mod}}\;p)}$.

Este valor

${\displaystyle g=h^{r}{\text{ mod }}p}$

es un generador de un subgrupo de${\displaystyle \mathbb {Z} _ {p}^{\times }}$del orden${\displaystyle q}$. ^{[ 2 ]}

Los grupos de Schnorr son útiles en criptosistemas basados ​​en registros discretos , incluidas las firmas de Schnorr y DSA . En tales aplicaciones, típicamente${\displaystyle p}$se elige que sea lo suficientemente grande como para resistir el cálculo de índices y los métodos relacionados para resolver el problema del logaritmo discreto (quizás de 1024 a 3072 bits), mientras que${\displaystyle q}$es lo suficientemente grande como para resistir el ataque de cumpleaños en problemas de logaritmo discreto, que funciona en cualquier grupo (quizás de 160 a 256 bits). Debido a que el grupo de Schnorr es de orden primo, no tiene subgrupos propios no triviales, lo que frustra los ataques de confinamiento debido a subgrupos pequeños. Las implementaciones de protocolos que utilizan grupos de Schnorr deben verificar, cuando corresponda, que los enteros proporcionados por otras partes sean de hecho miembros del grupo de Schnorr;${\displaystyle x}$es miembro del grupo si${\displaystyle 0<x<p}$y${\displaystyle x^{q}\equiv 1\;({\text{mod }}p)}$. Cualquier miembro del grupo excepto el elemento${\displaystyle 1}$También es un generador del grupo.