Teorema de Schottky

En el análisis matemático complejo , el teorema de Schottky , introducido por Schottky ( 1904 ) , es una versión cuantitativa del teorema de Picard . Este teorema establece que para una función holomorfa f en el disco unitario abierto que no toma los valores 0 o 1, el valor de | f ( z )| puede acotarse en términos de z y f (0). 

El teorema original de Schottky no proporcionó una cota explícita para f . Ostrowski ( 1931 , 1933 ) dio algunas cotas explícitas débiles. Ahlfors (1938 , teorema B) dio una cota explícita fuerte, mostrando que si f es holomorfa en el disco unitario abierto y no toma los valores 0 o 1, entonces 

${\displaystyle \log |f(z)|\leq {\frac {1+|z|}{1-|z|}}(7+\max(0,\log |f(0)|))}$.

Varios autores, como Jenkins (1955) , han dado variaciones de la cota de Ahlfors con mejores constantes: en particular, Hempel (1980) dio algunas cotas cuyas constantes son en cierto sentido las mejores posibles.

• Ahlfors, Lars V. (1938), "Una extensión del lema de Schwarz", Transactions of the American Mathematical Society , 43 (3): 359– 364, doi : 10.2307/1990065 , ISSN 0002-9947 , JSTOR 1990065  
• Hempel, Joachim A. (1980), "Límites precisos en los teoremas de Schottky y Picard", Journal of the London Mathematical Society , 21 (2): 279– 286, doi : 10.1112/jlms/s2-21.2.279 , ISSN 0024-6107 , MR 0575385  
• Jenkins, JA (1955), "Sobre límites explícitos en el teorema de Schottky", Canadian Journal of Mathematics , 7 : 76–82 , doi : 10.4153/CJM-1955-010-4 , ISSN 0008-414X , MR 0066460  
• Ostrowski, AM (1931), Studien über den schottkyschen satz , Basilea, B. Wepf & cie.
• Ostrowski, Alexander (1933), "Asymptotische Abschätzung des absolutn Betrages einer Funktion, die die Werte 0 und 1 nicht annimmt", Commentarii Mathematici Helvetici , 5 : 55–87 , doi : 10.1007/bf01297506 , ISSN 0010-2571 , S2CID 119852055  
• Schottky, F. (1904), "Über den Picardschen Satz und die Borelschen Ungleichungen", Sitzungsberichte der Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin : 1244-1263