Grupo Schottky

En matemáticas , un grupo Schottky es un tipo especial de grupo kleiniano , estudiado por primera vez por Friedrich Schottky  (1877).

Fijemos un punto p en la esfera de Riemann . Cada curva de Jordan que no pase por p divide la esfera de Riemann en dos partes, y llamamos a la parte que contiene p el "exterior" de la curva, y a la otra parte su "interior". Supongamos que hay 2 g curvas de Jordan disjuntas A ₁ , B ₁ ,..., A _g , B _g en la esfera de Riemann con interiores disjuntos. Si hay transformaciones de Möbius T _i que llevan el exterior de A _i al interior de B _i , entonces el grupo generado por estas transformaciones es un grupo kleiniano . Un grupo de Schottky es cualquier grupo kleiniano que se pueda construir de esta manera.

Según el trabajo de Maskit (1967), un grupo kleiniano finitamente generado es Schottky si y sólo si es finitamente generado , libre , tiene un dominio de discontinuidad no vacío y todos los elementos no triviales son loxodrómicos .

Un dominio fundamental para la acción de un grupo Schottky G sobre sus puntos regulares Ω( G ) en la esfera de Riemann está dado por el exterior de las curvas de Jordan que lo definen. El espacio cociente correspondiente Ω( G )/ G se da uniendo las curvas de Jordan en pares, por lo que es una superficie de Riemann compacta de género g . Este es el límite de la 3-variedad dada al tomar el cociente ( H ∪Ω( G ))/ G del espacio hiperbólico tridimensional H más el conjunto regular Ω( G ) por el grupo Schottky G , que es un cuerpo de manija de género g . A la inversa, cualquier superficie de Riemann compacta de género g se puede obtener a partir de algún grupo Schottky de género g .

Un grupo Schottky se denomina clásico si todas las curvas de Jordan disjuntas correspondientes a algún conjunto de generadores pueden elegirse como círculos. Marden (1974, 1977) dio una prueba indirecta y no constructiva de la existencia de grupos Schottky no clásicos, y Yamamoto (1991) dio un ejemplo explícito de uno. Doyle (1988) ha demostrado que todos los grupos Schottky clásicos finitamente generados tienen conjuntos límite de dimensión de Hausdorff acotados superiormente estrictamente por una constante universal menor que 2. Por el contrario, Hou (2010) ha demostrado que existe un límite inferior universal en la dimensión de Hausdorff de los conjuntos límite de todos los grupos Schottky no clásicos.

El conjunto límite de un grupo Schottky, el complemento de Ω( G ), siempre tiene medida de Lebesgue cero, pero puede tener medida de Hausdorff d -dimensional positiva para d < 2. Es perfecto y en ninguna parte denso con capacidad logarítmica positiva.

La afirmación sobre las medidas de Lebesgue se desprende para los grupos Schottky clásicos de la existencia de la serie de Poincaré.

${\displaystyle \displaystyle {P(z)=\sum (c_{i}z+d_{i})^{-4}.}}$

Poincaré demostró que la serie | c _i | ⁻⁴ es sumable sobre los elementos no idénticos del grupo. De hecho, tomando un disco cerrado en el interior del dominio fundamental, sus imágenes bajo diferentes elementos del grupo son disjuntas y están contenidas en un disco fijo alrededor de 0. Por lo tanto, la suma de las áreas es finita. Por la fórmula de los cambios de variables, el área es mayor que una constante multiplicada por | c _i | ⁻⁴ . ^[1]

Un argumento similar implica que el conjunto límite tiene medida de Lebesgue cero. ^[2] Porque está contenido en el complemento de la unión de las imágenes de la región fundamental por elementos de grupo con longitud de palabra acotada por n . Esta es una unión finita de círculos, por lo que tiene área finita. Esa área está acotada arriba por una constante multiplicada por la contribución a la suma de Poincaré de elementos de longitud de palabra n , por lo que disminuye a 0.

El espacio Schottky (de algún género g ≥ 2) es el espacio de grupos Schottky marcados de género g , es decir el espacio de conjuntos de g elementos de PSL ₂ ( C ) que generan un grupo Schottky, hasta equivalencia bajo transformaciones de Möbius (Bers 1975). Es una variedad compleja de dimensión compleja 3 g −3. Contiene al espacio Schottky clásico como el subconjunto correspondiente a los grupos Schottky clásicos.

El espacio Schottky de género g no está simplemente conexo en general, sino que su espacio de recubrimiento universal puede identificarse con el espacio de Teichmüller de superficies de Riemann compactas de género g .

• Ecuación de Beltrami
• Rebanada de Riley

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• Gilman, Jane , Un estudio de los grupos Schottky (PDF)
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• Tres transformaciones que generan un grupo Schottky a partir de (Fricke & Klein 1897, p. 442).