El método de Schrödinger

En matemáticas combinatorias y teoría de la probabilidad , se utiliza el método de Schrödinger , llamado así en honor al físico austríaco Erwin Schrödinger , para resolver algunos problemas de distribución y ocupación.

Suponer

${\displaystyle X_{1},\puntos ,X_{n}\,}$

son variables aleatorias independientes que se distribuyen uniformemente en el intervalo [0, 1]. Sea

${\displaystyle X_{(1)},\puntos ,X_{(n)}\,}$

sean las estadísticas de orden correspondientes , es decir, el resultado de ordenar estas n variables aleatorias en orden creciente. Buscamos la probabilidad de algún evento A definido en términos de estas estadísticas de orden. Por ejemplo, podríamos buscar la probabilidad de que en un cierto período de siete días haya como máximo dos días en los que solo se haya recibido una llamada telefónica, dado que el número de llamadas telefónicas durante ese tiempo fue 20. Esto supone una distribución uniforme de los tiempos de llegada.

El método de Schrödinger comienza asignando una distribución de Poisson con valor esperado λt al número de observaciones en el intervalo [0,  t ], siendo independiente el número de observaciones en subintervalos no superpuestos (véase el proceso de Poisson ). El número N de observaciones se distribuye por Poisson con valor esperado  λ . Luego nos basamos en el hecho de que la probabilidad condicional

${\displaystyle P(A\mid N=n)\,}$

no depende de λ (en el lenguaje de los estadísticos , N es un estadístico suficiente para esta familia parametrizada de distribuciones de probabilidad para las estadísticas de orden). Procedemos de la siguiente manera:

${\displaystyle P_{\lambda }(A)=\sum _{n=0}^{\infty }P(A\mid N=n)P(N=n)=\sum _{n=0}^ {\infty }P(A\mid N=n){\lambda ^{n}e^{-\lambda } \over n!},}$

de modo que

${\displaystyle e^{\lambda }\,P_{\lambda }(A)=\sum _{n=0}^{\infty }P(A\mid N=n){\lambda ^{n} \ sobre n!}.}$

Ahora bien, la falta de dependencia de P ( A  |  N  =  n ) respecto de λ implica que la última suma mostrada arriba es una serie de potencias en λ y P ( A  |  N  =  n ) es el valor de su derivada n en λ  = 0, es decir,

${\displaystyle P(A\mid N=n)=\left[{d^{n} \sobre d\lambda ^{n}}\left(e^{\lambda }\,P_{\lambda }(A)\right)\right]_{\lambda =0}.}$

Para que este método sea de alguna utilidad para hallar P ( A  |  N  = n ), debe ser posible hallar P _λ ( A ) de manera más directa que P ( A  |  N  =  n ). Lo que hace esto posible es la independencia de los números de llegadas en subintervalos no superpuestos.