Función convexa de Schur

En matemáticas, una función Schur-convexa , también conocida como S-convexa , función isotónica y función que preserva el orden, es una función${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{d}\rightarrow \mathbb {R} }$que para todos${\displaystyle x,y\in \mathbb {R} ^{d}}$de tal manera que${\displaystyle x}$está mayoritariamente por${\displaystyle y}$, uno tiene eso${\displaystyle f(x)\leq f(y)}$Las funciones schur-convexas , que reciben su nombre de Issai Schur , se utilizan en el estudio de la mayorización .

Una función f es 'cóncava de Schur' si su opuesta, − f , es convexa de Schur.

Toda función que sea convexa y simétrica (bajo permutaciones de los argumentos) es también Schur-convexa.

Toda función Schur-convexa es simétrica, pero no necesariamente convexa. ^{[ 1 ]}

Si${\displaystyle f}$es (estrictamente) Schur-convexa y${\displaystyle g}$es (estrictamente) monótonamente creciente, entonces${\displaystyle g\circ f}$es (estrictamente) Schur-convexa.

Si${\displaystyle g}$es una función convexa definida en un intervalo real, entonces${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}g(x_{i})}$es Schur-convexa.

• ${\displaystyle f(x)=\min(x)}$es cóncava de Schur mientras${\displaystyle f(x)=\max(x)}$es Schur-convexa. Esto se puede ver directamente en la definición.
• La función de entropía de Shannon${\displaystyle \sum _{i=1}^{d}{P_{i}\cdot \log _{2}{\frac {1}{P_{i}}}}}$es cóncava de Schur.
• La función de entropía de Rényi también es cóncava de Schur.
• ${\displaystyle x\mapsto \sum _ {i=1}^{d}{x_{i}^{k}},k\geq 1}$es Schur-convexa si${\displaystyle k\geq 1}$y cóncava de Schur si${\displaystyle k\in (0,1)}$.
• La función${\displaystyle f(x)=\prod _{i=1}^{d}x_{i}}$es cóncava de Schur, cuando asumimos que todo${\displaystyle x_{i}>0}$. Del mismo modo, todas las funciones simétricas elementales son cóncavas de Schur, cuando${\displaystyle x_{i}>0}$.
• Una interpretación natural de la mayorización es que si${\displaystyle x\succ y}$entonces${\displaystyle x}$está más extendido que${\displaystyle y}$Por lo tanto, es natural preguntarse si las medidas estadísticas de variabilidad son Schur-convexas. La varianza y la desviación estándar son funciones Schur-convexas, mientras que la desviación absoluta mediana no lo es.
• Un ejemplo de probabilidad: Si ${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{n}}$son variables aleatorias intercambiables , entonces la función${\displaystyle {\text{E}}\prod _{j=1}^{n}X_{j}^{a_{j}}}$es Schur-convexa en función de${\displaystyle a=(a_{1},\dots ,a_{n})}$, suponiendo que existan las expectativas.
• El coeficiente de Gini es estrictamente convexo de Schur.

• función cuasiconvexa