Función Schur-convexa

En matemáticas, una función Schur-convexa , también conocida como S-convexa , función isotónica y función que preserva el orden, es una función que para todas aquellas que están mayorizadas por , se tiene que . Las funciones Schur-convexas, que reciben su nombre de Issai Schur , se utilizan en el estudio de la mayorización . ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{d}\rightarrow \mathbb {R} }$${\displaystyle x,y\in \mathbb {R} ^{d}}$${\estilo de visualización x}$${\estilo de visualización y}$${\displaystyle f(x)\leq f(y)}$

Una función f es 'Schur-cóncava' si su negativo, − f , es Schur-convexo.

Toda función que sea convexa y simétrica (bajo permutaciones de los argumentos) es también Schur-convexa.

Toda función Schur-convexa es simétrica, pero no necesariamente convexa. ^[1]

Si es (estrictamente) Schur-convexo y es (estrictamente) monótonamente creciente, entonces es (estrictamente) Schur-convexo. ${\estilo de visualización f}$${\estilo de visualización g}$${\estilo de visualización g\circ f}$

Si es una función convexa definida en un intervalo real, entonces es Schur-convexa. ${\estilo de visualización g}$${\displaystyle \suma _{i=1}^{n}g(x_{i})}$

Si f es simétrica y existen todas las primeras derivadas parciales, entonces f es Schur-convexa si y sólo si

${\displaystyle (x_{i}-x_{j})\left({\frac {\parcial f}{\parcial x_{i}}}-{\frac {\parcial f}{\parcial x_{j}}}\right)\geq 0}$a pesar de${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{d}}$

se cumple para todos los 1 ≤ i ≠ j ≤ d . ^[2]

• ${\displaystyle f(x)=\min(x)}$es Schur-cóncava mientras que es Schur-convexa. Esto se puede ver directamente en la definición.${\displaystyle f(x)=\max(x)}$
• La función de entropía de Shannon es cóncava de Schur.${\displaystyle \sum _{i=1}^{d}{P_{i}\cdot \log _{2}{\frac {1}{P_{i}}}}}$
• La función de entropía de Rényi también es cóncava respecto a Schur.
• ${\displaystyle x\mapsto \suma _{i=1}^{d}{x_{i}^{k}},k\geq 1}$es Schur-convexo si , y Schur-cóncavo si .${\displaystyle k\geq 1}$${\displaystyle k\en (0,1)}$
• La función es Schur-cóncava, cuando suponemos que todas . De la misma manera, todas las funciones simétricas elementales son Schur-cóncavas, cuando .${\displaystyle f(x)=\prod_{i=1}^{d}x_{i}}$${\displaystyle x_{i}>0}$${\displaystyle x_{i}>0}$
• Una interpretación natural de la mayorización es que si entonces está menos dispersa que . Por lo tanto, es natural preguntarse si las medidas estadísticas de variabilidad son funciones Schur-convexas. La varianza y la desviación estándar son funciones Schur-convexas, mientras que la desviación absoluta mediana no lo es.${\displaystyle x\succ y}$${\estilo de visualización x}$${\estilo de visualización y}$
• Un ejemplo de probabilidad: si son variables aleatorias intercambiables , entonces la función es Schur-convexa en función de , asumiendo que existen las expectativas.${\displaystyle X_{1},\puntos ,X_{n}}$${\displaystyle {\text{E}}\prod _{j=1}^{n}X_{j}^{a_{j}}}$${\displaystyle a=(a_{1},\puntos ,a_{n})}$
• El coeficiente de Gini es estrictamente convexo de Schur.

• Función cuasiconvexa